经验正交函数分析法（EOF）在matlab上的实现

原理与计算步骤

数据准备

    数据集为福建省28个气象站1960-2013年的年际降水量数据，行为站点编号，列为年份时间。部分数据如下：

matlab代码

[plain] view plain copy print?

1. clc;clear;  

2. data=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\福建降水量.xls');  

3. [r1,c1]=size(data);  

4. x=data(2:end,2:end);  

5. [m,n]=size(x);  

6. for i=1:m  

7.     x(i,:)=x(i,:)-mean(x(i,:));  

8. end  

9. c=x*x'/n;  

10. [EOF,E]=eig(c);  

11. PC=EOF'*x;  

12. E=fliplr(flipud(E));  

13. lambda=diag(E); %特征值  

14. EOF=fliplr(EOF);%每列代表特征向量（模态）  

15. PC=flipud(PC);%每行时间系数  

16. r=lambda/sum(lambda);%方差贡献率  

17. e0=lambda*sqrt(2/m);  

18. e(:,1)=lambda-e0;%特征根误差下限  

19. e(:,2)=lambda+e0;%特征根误差上限  

clc;clear;
data=xlsread('C:\Users\Administrator\Desktop\福建降水量.xls');
[r1,c1]=size(data);
x=data(2:end,2:end);
[m,n]=size(x);
for i=1:m
    x(i,:)=x(i,:)-mean(x(i,:));
end
c=x*x'/n;
[EOF,E]=eig(c);
PC=EOF'*x;
E=fliplr(flipud(E));
lambda=diag(E); %特征值
EOF=fliplr(EOF);%每列代表特征向量（模态）
PC=flipud(PC);%每行时间系数
r=lambda/sum(lambda);%方差贡献率
e0=lambda*sqrt(2/m);
e(:,1)=lambda-e0;%特征根误差下限
e(:,2)=lambda+e0;%特征根误差上限

运行结果及分析

空间分布特征分析

      前5个特征向量特征值的累积贡献率达到85.4%，但只有前两个特征根的误差范围不重叠通过North显著性检验，累积贡献率接近75%，因此这两个特征根可以很好地解释福建省近1960-2013年降水的两种分布类型。

表1 福建省年降水量EOF分解的前5个特征向量贡献率

模态	特征值	方差贡献率%	累计方差贡献率%	特征根误差范围
下限	上限
1	1679316.03	0.6232	0.6232	1230499.94	2128132.12
2	324813.75	0.1205	0.7437	238003.62	411623.87
3	131434.39	0.0488	0.7925	96307.07	266561.71
4	96314.33	0.0357	0.8282	70573.24	122055.42
5	69212.62	0.0257	0.8539	50714.77	87710.47

      运用Arcgis作模态1和模态2空间分布图（图1、图2）。作图数据如下：

表2 模态1、模态2作图数据

站号	站名	纬度	经度	模态1	模态2
58725	邵武	27.33	117.47	0.23	0.27
58730	武夷山	27.72	118.00	0.24	0.31
58731	浦城	27.92	118.53	0.21	0.24
58734	建阳	27.33	118.12	0.20	0.23
58737	建瓯	27.05	118.32	0.21	0.18
58744	寿宁	27.53	119.42	0.21	-0.02
58754	福鼎	27.33	120.20	0.17	-0.15
58818	宁化	26.23	116.63	0.24	0.10
58820	泰宁	26.88	117.15	0.24	0.23
58834	南平	26.65	118.17	0.22	0.19
58837	尤溪	26.17	118.15	0.15	0.06
58843	霞浦	26.88	120.00	0.18	-0.11
58846	宁德	26.67	119.52	0.20	-0.16
58847	福州	26.08	119.28	0.16	-0.12
58911	长汀	25.85	116.37	0.22	0.04
58918	上杭	25.05	116.42	0.16	-0.15
58921	永安	25.97	117.35	0.18	0.03
58926	漳平	25.30	117.40	0.17	-0.10
58927	龙岩	25.10	117.02	0.17	-0.15
58931	九仙山	25.72	118.10	0.15	-0.15
58933	屏南	26.92	118.98	0.23	0.10
58936	仙游	25.35	118.68	0.17	-0.22
58944	平潭	25.52	119.78	0.12	-0.08
59113	永定	24.85	116.82	0.18	-0.26
59126	漳州	24.50	117.65	0.16	-0.26
59133	崇武	24.90	118.92	0.10	-0.24
59134	厦门	24.52	118.15	0.15	-0.29
59321	东山	23.78	117.50	0.17	-0.29

      模态1特征向量的方差贡献率为62.32%，远高于其他模态的贡献率，是福建省降水场的主要空间分布形式。图1显示，模态1站点的特征值均为正值，表明1960~2013年间福建省的降水变化趋势具有高度的一致性，即呈现全省全年要么都多雨，要么都少雨的降水分布特征。高值中心位于闽西北地区，反映该区域降水变化量大，低值中心位于东南地区。整个闽西北地区的降水变化程度远高于闽东南地区，闽中则为过度区。

      模态2特征向量的方差贡献率为12.05%，也是典型的降水主要空间分布形式。图2显示，这种分布格局以鹫峰山-戴云山-玳瑁山为界，向北为正值区，向南为负值区，正值中心出现在西北武夷山地区，负值中心出现在东南厦漳泉地区，呈现西北-东南反向分布模式，即要么闽西北地区降水量增多，闽东南地区降水量减少，要么闽西北地区降水量减少，闽东南地区降水量增多。特征向量值从西北向东南依次减小，反映福建省降水量变化也是由西北向东南递减。

时间分布特征分析

      根据空间分布特征分析，福建省降水场主要有4种表现类型：模态1决定全年全省多雨或者全省少雨2种类型；模态2决定全年闽西北地区降水偏多东南地区降水偏少，或者闽西北地区降水偏少东南地区降水偏多2种类型。时间系数代表了所对应特征向量空间分布模态的时间变化特征，系数符号决定模态的方向，正号表示与模态同方向，负号则相反，且系数绝对值越大，表明这一时刻这一类模态越典型。对54a来的4种降水空间模态分布类型做统计分析，取每年时间系数绝对最大所对应的特征向量作为当年降水空间分布模态，得出有14a全年全省多雨，19a全年全省少雨；闽西北地区多雨东南地区少雨的为7a，闽西北地区少雨东南地区多雨的为4a，具体年份见表3。可以看出54a来降水场的分布模式以模态1为主，有33a，占总年数61.11%，且模态1的时间系数趋势斜率大于零，在一定程度上说明福建省54a来年降水量有增多的趋势；模态2出现11a，占总年数20.37%，模态2时间系数趋势斜率小于零，说明54a来闽西北地区降水量有增加的趋势，东南地区有减少的趋势。其余零散不典型模态类型出现10年，占总年数18.52%。时间系数所反映的与特征向量反映的典型降水场程度基本一致。

表4 四种降水场表现类型年份分布

模态1	全省多雨	1961	1973	1975	1983	1992	1994	1997	1998	1999	2000	2005	2006	2010	2012
全省少雨	1963	1965	1966	1967	1971	1974	1977	1979	1984	1986	1991	1993	1996	2003
	2004	2007	2008	2009	2011
模态2	西北多东南少	1962	1970	1976	1980	1982	1995	2002
西北少东南多	1972	1985	1990	2013

表3 模态1、模态2时间系数

时间	模态1时间系数	模态2时间系数
1960	-158.14	-650.41
1961	1652.81	-541.87
1962	788.88	1110.46
1963	-1830.29	-112.63
1964	223.57	-321.01
1965	-215.72	-0.34
1966	-735.88	293.32
1967	-2354.93	601.72
1968	-28.73	653.56
1969	2.94	293.82
1970	624.00	946.78
1971	-2599.28	-440.43
1972	-90.89	-561.47
1973	1839.88	-456.35
1974	-739.77	-10.85
1975	2274.88	277.39
1976	-363.66	639.93
1977	-816.71	628.96
1978	-437.53	-223.47
1979	-837.96	169.88
1980	-73.27	453.39
1981	-140.65	114.34
1982	-99.95	570.71
1983	1297.81	-911.78
1984	-1218.47	161.46
1985	-1.66	-499.80
1986	-1039.53	34.22
1987	13.19	295.07
1988	292.29	138.44
1989	-453.98	37.69
1990	905.54	-1865.65
1991	-2041.42	-43.99
1992	1846.41	-274.80
1993	-631.25	100.03
1994	556.50	123.75
1995	-274.32	737.85
1996	-853.52	-604.67
1997	2240.64	-201.37
1998	2819.40	723.27
1999	544.71	347.52
2000	1016.44	-489.25
2001	418.54	201.46
2002	638.70	693.94
2003	-2812.45	16.29
2004	-1519.38	-86.82
2005	1269.29	-361.10
2006	2245.40	-1006.72
2007	-789.83	-724.74
2008	-634.49	-346.52
2009	-1206.84	232.69
2010	2009.48	768.07
2011	-1882.11	-424.01
2012	1817.91	790.38
2013	-456.57	-996.32

原文出处