一、启发式搜索：A算法
1）评价函数的一般形式 : f(n) = g(n) + h(n)
g(n):从S0到Sn的实际代价(搜索的横向因子)
h(n):从N到目标节点的估计代价,称为启发函数(搜索的纵向因子);
特点: 效率高, 无回溯,
搜索算法
OPEN表 : 存放待扩展的节点.
CLOSED表 : 存放已被扩展过的节点.
2）评价函数 f(x) = g(x) + h(x)
当f(x) = g(x) 时，为宽度优先搜索
当f(x) = 1/g(x)时，为深度优先搜索
当f(x) = h(x) 时，为全局优先搜索
比较f(x)大小，决定节点搜索顺序，即在OPEN表中的顺序
3)Step1: 把初始节点S0放入OPEN表中;
Step2: 若OPEN表为空,则搜索失败,退出.
Step3: 移出OPEN中第一个节点N放入CLOSED表中, 并标以顺序号n;
Step4: 若目标节点Sg=N, 则搜索成功,结束.
Step5: 若N不可扩展, 则转Step2;
Step6: 扩展N, 生成一组子节点, 对这组子节点作如下处理后, 放入 OPEN表, 按f值重新排序OPEN表, 转 Step2;
删除重复节点和修改返回指针处理.
二、启发式搜索：A*算法
1）评价函数的一般形式:
f(n) = g(n) + h(n) 且 h(n) <= h*(n)
g(n),h(n):定义同A算法;
h*(n):从N到目标节点的最短路径; 称此时的A算法为A*算法.
2）程序关键点
节点的扩展：close表存放已经扩展后的状态，open表存放未扩展的状态。首先获取节点能扩展的方向，扩展后将父节点放入close表中，如果转移之后的节点，既不在close表也不再open表，表明该节点还未被扩展，则插入open表，如果在close表中表明之前已经扩展过该状态，为了避免无限扩展应将该状态从open表舍弃，如果在open表则比较这两个矩阵的f值（选取最优解），留小的在open表，之后对open表中的节点根据f值进行排序，pop出f值最小的节点进行扩展，依次进行该过程，直至该节点为目标状态。
解的路径的输出：通过目标状态节点向上回溯找其父节点，直至开始状态。
三、python代码实现
1 # -*- coding: utf-8 -*- 2 """ 3 Created on Sun Sep 16 14:31:40 2018 4 A*算法解决N数码问题 5 运行程序后如下是输入格式: 6 请输入矩阵的行数 7 8 3 输入对应的N 9 请输入初始矩阵A
10 11 1 0 2 一行行输入，每行数字空格隔开，每行最后一个数字输入完成后直接回车开始输入第二行 12 13 4 5 6 14 15 3 7 8 16 请输入目标矩阵B 17 18 1 2 3 19 20 8 0 4 21 22 7 6 5 23 24 """ 25 import numpy as np 26 import copy 27 import time 28 from operator import itemgetter 29 30 goal = {} 31 32 def get_location(vec, num): #根据num元素获取num在矩阵中的位置 33 row_num = vec.shape[0] #numpy-shape函数获得矩阵的维数 34 line_num = vec.shape[1] 35 36 for i in range(row_num): 37 for j in range(line_num): 38 if num == vec[i][j]: 39 return i, j 40 41 def get_actions(vec): #获取当前位置可以移动的下一个位置，返回移动列表 42 row_num = vec.shape[0] 43 line_num = vec.shape[1] 44 45 (x, y) = get_location(vec, 0) #获取0元素的位置 46 action = [(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)] 47 48 if x == 0: #如果0在边缘则依据位置情况，减少0的可移动位置 49 action.remove((-1, 0)) 50 if y == 0: 51 action.remove((0, -1)) 52 if x == row_num - 1: 53 action.remove((1, 0)) 54 if y == line_num - 1: 55 action.remove((0, 1)) 56 57 return list(action) 58 59 def result(vec, action): #移动元素，进行矩阵转化 60 (x, y) = get_location(vec, 0) #获取0元素的位置 61 (a, b) = action #获取可移动位置 62 63 n = vec[x+a][y+b] #位置移动，交换元素 64 s = copy.deepcopy(vec) 65 s[x+a][y+b] = 0 66 s[x][y] = n 67 68 return s 69 70 def get_ManhattanDis(vec1, vec2): #计算两个矩阵的曼哈顿距离,vec1为目标矩阵,vec2为当前矩阵 71 row_num = vec1.shape[0] 72 line_num = vec1.shape[1] 73 dis = 0 74 75 for i in range(row_num): 76 for j in range(line_num): 77 if vec1[i][j] != vec2[i][j] and vec2[i][j] != 0: 78 k, m = get_location(vec1, vec2[i][j]) 79 d = abs(i - k) + abs(j - m) 80 dis += d 81 82 return dis 83 84 def expand(p, actions, step): #actions为当前矩阵的可扩展状态列表,p为当前矩阵,step为已走的步数 85 children = [] #children用来保存当前状态的扩展节点 86 for action in actions: 87 child = {} 88 child['parent'] = p 89 child['vec'] = (result(p['vec'], action)) 90 child['dis'] = get_ManhattanDis(goal['vec'], child['vec']) 91 child['step'] = step + 1 #每扩展一次当前已走距离加1 92 child['dis'] = child['dis'] + child['step'] #更新该节点的f值 f=g+h（step+child[dis]） 93 child['action'] = get_actions(child['vec']) 94 children.append(child) 95 96 return children 97 98 def node_sort(nodelist): #按照节点中字典的距离字段对列表进行排序,从大到小 99 return sorted(nodelist, key = itemgetter('dis'), reverse=True)100 101 def get_input(num):102 A = []103 for i in range(num):104 temp = []105 p = []106 s = input()107 temp = s.split(' ')108 for t in temp:109 t = int(t)110 p.append(t)111 A.append(p)112 113 return A
114 115 def get_parent(node):116 q = {}117 q = node['parent']
118 return q119 120 def test():121 openlist = [] #open表122 close = [] #存储扩展的父节点123 124 print('请输入矩阵的行数')125 num = int(input())
126 127 print("请输入初始矩阵A")128 A = get_input(num)129 130 print("请输入目标矩阵B")131 B = get_input(num)132 133 print("请输入结果文件名")134 resultfile = input()135 136 goal['vec'] = np.array(B) #建立矩阵137 138 p = {}139 p['vec'] = np.array(A)140 p['dis'] = get_ManhattanDis(goal['vec'], p['vec'])141 p['step'] = 0142 p['action'] = get_actions(p['vec'])143 p['parent'] = {}144 145 if (p['vec'] == goal['vec']).all():146 return147 148 openlist.append(p)149 150 start_CPU = time.clock() #开始扩展时CPU开始计算151 152 while openlist:153 154 children = []155 156 node = openlist.pop() #node为字典类型，pop出open表的最后一个元素157 close.append(node) #将该元素放入close表158 159 if (node['vec'] == goal['vec']).all(): #比较当前矩阵和目标矩阵是否相同160 end_CPU = time.clock() #CPU结束计算161 162 h = open(resultfile,'w',encoding='utf-8',) #将结果写入文件 并在控制台输出163 h.write('搜索树规模：' + str(len(openlist)+len(close)) + '\n')164 h.write('close：' + str(len(close)) + '\n')165 h.write('openlist：' + str(len(openlist)) + '\n')166 h.write('cpu运行时间：' + str(end_CPU - start_CPU) + '\n')167 h.write('路径长：' + str(node['dis']) + '\n')168 169 h.write('解的路径：' + '\n')170 i = 0171 way = []172 while close:173 way.append(node['vec']) #从最终状态开始依次向上回溯将其父节点存入way列表中174 node = get_parent(node)175 if(node['vec'] == p['vec']).all():176 way.append(node['vec'])177 break178 while way:179 i += 1180 h.write(str(i) + '\n')181 h.write(str(way.pop()) + '\n')182 h.close()183 f = open(resultfile,'r',encoding='utf-8',)184 print(f.read())185 186 return187 188 children = expand(node, node['action'], node['step']) #如果不是目标矩阵，对当前节点进行扩展，取矩阵的可能转移情况189 190 for child in children: #如果转移之后的节点，既不在close表也不再open表则插入open表，如果在close表中则舍弃，如果在open表则比较这两个矩阵的f值，留小的在open表191 f = False192 flag = False193 j = 0194 for i in range(len(openlist)):195 if (child['vec'] == openlist[i]['vec']).all():196 j = i197 flag = True198 break199 for i in range(len(close)):200 if(child['vec'] == close[i]).all():201 f = True202 break203 if f == False and flag == False :204 openlist.append(child)205 206 elif flag == True:207 if child['dis'] < openlist[j]['dis']:208 del openlist[j]209 openlist.append(child)210 211 212 openlist = node_sort(openlist) #对open表进行从大到小排序213 214 test()
四、程序运行结果如下图所示
图 1
图 2
图 3
五、总结
通过这次编程了解到了搜索具有探索性，要提高搜索效率(尽快地找到目标节点)，或要找最佳路径(最佳解)就必须注意搜索策略。对于状态图搜索，已经提出了许多策略，它们大体可分为盲目搜索（bland search)和启发式搜索（heuristic search）两大类。其中盲目搜索是无向导搜索。启发式搜索是有向导搜索，即利用启发信息（函数）引导去寻找问题解。通过A*算法解决N数码问题实验过程中也遇到很多问题，比如节点扩展的方向问题等，通过这次实验不仅锻炼了自己python编程能力，也让自己对N数码求解最优路径问题有了更清晰的认识，希望自己能在老师和同学的帮助下，能不断进步，当然最重要的是自己得付出，只会幻想而不行动的人,永远也体会不到收获果实时的喜悦。加油！！