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线段树 Segment Tree
今天来讲一下经典的线段树。
线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
简单的说，线段树是一种基于分治思想的数据结构，用来维护序列的区间特殊值，相对于树状数组，线段树可以做到更加通用，解决更多的区间问题。
性质
1.线段树的每一个节点都代表了一个区间
2.线段树是一棵二叉树，具有唯一的根节点，其中，根节点代表的是整个区间[1,n][1,n]
3.线段树的每一个叶节点代表的是长度为11的元区间[x,x][x,x]
4.对于每一个节点[l,r][l,r]，它的左儿子被定义为[l,mid][l,mid]，右儿子被定义为[mid+1,r][mid+1,r]
如图，这就是一棵维护了区间[1,10][1,10]的线段树。
我们还可以发现，线段树层数为log2nlog2n层，除去最后一层，线段树是一棵完全二叉树。
建树 (build)
我们来考虑一下如何储存并建立一棵线段树。
由于线段树是二叉树，所以我们可以直接用数组存储结点的编号，即对于节点xx储存在a[p]a[p]处，我们令xx的左儿子储存在a[p∗2]a[p∗2]处，右儿子储存在a[p∗2+1]a[p∗2+1]处，这样就可以快速地找到节点之间的父子关系。
理想状态下，nn个叶节点的满二叉树有(∑2i=ni=02i)=2n−1(∑i=02i=n2i)=2n−1个节点，但由于最后一层至多还可能有2n2n个节点，所以数组空间要开到4n4n大小。
我们先来看一个维护区间最大值的例子。
对于线段树的每一个节点，我们可以额外的设置一个变量MaxMax代表该节点所代表区间中的最大值，显然有:Max(p)=max(Max(p∗2),Max(p∗2+1))Max(p)=max(Max(p∗2),Max(p∗2+1))，那么我们可以用如下方法建树。
Code:Code:
struct SegmentTree{
int p,l,r,Max; #define l(x) tree[x].l
#define r(x) tree[x].r
#define p(x) tree[x].p
#define Max(x) tree[x].Max}tree[N*4];inline void build(int p,int l,int r)//对于节点p，代表的区间为[l,r]{
l(p)=l,r(p)=r;//左右边界赋值
if(l==r){Max(p)=0;return;}//如果为叶节点，直接赋值为权值
int mid=(l+r)/2; //递归构建子树
build(p*2,l,mid);
build(p*2+1,mid+1,r);
Max(p)=max(Max(p*2),Max(p*2+1));//回溯更新最大值}修改 (modify)
线段树支持节点的动态修改。
对于如 "将节点xx修改权值为vv" 的指令，线段树可以以自下向上的方式修改。具体地，可以从根节点作为入口进入，递归向下找到需要修改的节点，再在回溯过程中更新沿路祖先节点的最值信息。时间复杂度O(log2n)O(log2n)。
Code:Code:
inline void modify(int p,int x,int v){ if(l(p)==r(p))
{
Max(p)=v; return;
} int mid=(l(p)+r(p))/2; if(x<=mid)modify(p*2,x,v); if(x>mid)modify(p*2+1,x,v);
Max(p)=max(Max(p*2),Max(p*2+1));
}查询 (query)
线段树还需要能够解决区间最值查询问题。
对于如 "查询区间[l,r][l,r]的最大值" 的指令，线段树可以递归查找得到最大值。具体地，从根节点开始，递归执行以下过程：
1.若[l,r][l,r]完全覆盖了当前结点所代表的区间，返回当前结点区间中的最大值作为备选答案
2.若左子节点与[l,r][l,r]有重合部分，递归访问左子节点
3.若右子节点与[l,r][l,r]有重合部分，递归访问右子节点
可以证明，区间查询的时间复杂度至多为O(2log2n)O(2log2n)。
Code:Code:
inline int query(int p,int l,int r){ if(l<=l(p)&&r>=r(p))return Max(p); int mid=(l(p)+r(p))/2; int res=-INF; if(l<=mid)res=max(res,query(p*2,l,r)); if(r>mid)res=max(res,query(p*2+1,l,r)); return res;
}至此，线段树的基本模型已经构成，我们通过一道模板题展示一下代码。
Description
给定一个包含n个数的序列，初值全为0，现对这个序列有两种操作：
操作1：把 给定 第k1 个数改为k2;
操作2：查询 从第k1个数到第k2个数得最大值。（k1<=k2<=n）
所有的数都 <=100000
Input Format
第一行给定一个整数n，表示有n个操作。
以下接着n行，每行三个整数，表示一个操作。
第一个树表示操作序号，第二个数为k1，第三个数为k2
Output Format
若干行，查询一次，输出一次。
Sample Input
31 2 21 3 32 2 3
Sample Output
3
Code:Code:
#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int N=100000+200,INF=0x3f3f3f3f;int n;struct SegmentTree{
int p,l,r,Max; #define l(x) tree[x].l
#define r(x) tree[x].r
#define p(x) tree[x].p
#define Max(x) tree[x].Max}tree[N*4];inline void build(int p,int l,int r){
l(p)=l,r(p)=r; if(l==r){Max(p)=0;return;} int mid=(l+r)/2;
build(p*2,l,mid);
build(p*2+1,mid+1,r);
Max(p)=max(Max(p*2),Max(p*2+1));
}inline void modify(int p,int x,int v){ if(l(p)==r(p))
{
Max(p)=v; return;
} int mid=(l(p)+r(p))/2; if(x<=mid)modify(p*2,x,v); if(x>mid)modify(p*2+1,x,v);
Max(p)=max(Max(p*2),Max(p*2+1));
}inline int query(int p,int l,int r){ if(l<=l(p)&&r>=r(p))return Max(p); int mid=(l(p)+r(p))/2; int res=-INF; if(l<=mid)res=max(res,query(p*2,l,r)); if(r>mid)res=max(res,query(p*2+1,l,r)); return res;
}inline void input(void){ scanf("%d",&n);
build(1,1,n);
}inline void solve(void){ for(int i=1;i<=n;i++)
{ int index,k1,k2; scanf("%d%d%d",&index,&k1,&k2); if(index==1)modify(1,k1,k2); else printf("%d\n",query(1,k1,k2));
}
}int main(void){
input();
solve(); return 0;
}<后记>