4. 松弛向量与软间隔
前面讨论的情况都是样本分布都可以被超平面完美分割的情况，但是在现实任务中，经常会有难以完美划分的情况，就算正好完美划分了样本点，也很难判断这个结果是不是过拟合造成的。 
（图来自https://blog.csdn.net/zouxy09/article/details/17291543）
上左图中如果我们要考虑点A，得到的超平面就是红线那样，上右图中若是要考虑在class2中的红点，得到的超平面就是蓝线那样，如此精确的划分每个点很容易导致模型过拟合，为了缓解这个问题，我们引入软间隔的概念，软间隔允许某些样本不满足约束：
yi(ωTxi+b)≥1(4.1)(4.1)yi(ωTxi+b)≥1
于是我们修改了优化目标：
min.12∥ω∥2+C∑i=1ml0/1(yi(ωTxi+b)−1)(4.2)(4.2)min.12‖ω‖2+C∑i=1ml0/1(yi(ωTxi+b)−1)
其中C>0是一个常数，l0/1(z)l0/1(z)是“0/1损失函数”
l0/1(z)={1,0,if z<0otherwisel0/1(z)={1,if z<00,otherwise
当C无穷大时，式(4.2)后面的部分迫使所有样本均满足式(4.1)的约束条件，式(4.2)则等价于(1.2)，也就是说C越大，拟合非线性的能力越强，同时过拟合的风险也越高。引入l0/1(z)l0/1(z)的目的是，我们只希望那些不满足(4.1)约束条件的点被算入优化目标中，但是l0/1(z)l0/1(z)非凸，非连续，导致这样的目标函数不容易求解，我们可以使用近似的曲线替代，常用的损失函数为hinge函数：
lhinge(z)=max(0,1−z)lhinge(z)=max(0,1−z)
若采用hinge损失函数，则式(4.2)变成了：
min.12∥ω∥2+C∑i=1mmax(0,1−yi(ωTxi+b))(4.3)(4.3)min.12‖ω‖2+C∑i=1mmax(0,1−yi(ωTxi+b))
引入松弛变量ξi≥0ξi≥0后，原来的约束条件就变为：
{yi(ωTxi+b)≥1−ξiξi≥0(4.4)(4.4){yi(ωTxi+b)≥1−ξiξi≥0
同时式(4.3)也可以改写为
min.12∥ω∥2+C∑i=1mξi(4.5)(4.5)min.12‖ω‖2+C∑i=1mξi
我们重新引入拉格朗日乘子αi≥0 i=1,2,...,mαi≥0 i=1,2,...,m，可得：
L(ω,b,α,ξ,β)=12∥ω∥2+C∑i=1mξi+∑i=1mαi(1−ξi+yi(ωTφ(xi)+b))−∑i=1mβiξiL(ω,b,α,ξ,β)=12‖ω‖2+C∑i=1mξi+∑i=1mαi(1−ξi+yi(ωTφ(xi)+b))−∑i=1mβiξi
对ω,b,ξiω,b,ξi分别求偏导，得：
ω=∑mi=1αiyiφ(xi)0=∑mi=1αiyiC=αi+βi{ω=∑i=1mαiyiφ(xi)0=∑i=1mαiyiC=αi+βi
将结果带入原式得对偶问题：
max.∑i=1mαi−12∑i=1,y=1mαiαjyiyjκ(xi,xj)s.t. ∑i=1mαiyi=0 0≤αi≤C(4.6)(4.6)max.∑i=1mαi−12∑i=1,y=1mαiαjyiyjκ(xi,xj)s.t. ∑i=1mαiyi=0 0≤αi≤C
和前面说的KKT条件类似，这个对偶问题同样需要满足以下KKT条件：
αi≥0yif(xi)−1+ξi≥0αi(yif(xi)−1+ξi)=0ξi≥0βi≥0βiξi=0(4.7)(4.7){αi≥0βi≥0yif(xi)−1+ξi≥0αi(yif(xi)−1+ξi)=0ξi≥0βiξi=0
5. SMO算法
SMO(Sequential Minimal Optimization)被用来求解SVM问题，该算法的思想是先固定αiαi以外的参数，然后求αiαi上的极值，由于存在(4.6)中的约束，我们可以先固定2个变量αiαi和αjαj,然后利用约束条件∑mi=1αiyi=0∑i=1mαiyi=0可以用αiαi代表αjαj，然后更新αiαi和αjαj，再重新选择2个参数，直到收敛。
注意到只需选取的αiαi和αjαj中有一个不满足KKT(4.7)条件，目标函数(4.6)就会在迭代后变大，因此我们要根据KKT条件来选择要更新的αiαi和αjαj，下面我们分析一下如何选取：
当αi=0αi=0时，βi=Cβi=C,则ξi=0ξi=0，得yif(xi)≥1yif(xi)≥1
当αi=Cαi=C时，βi=0βi=0,则ξi≥0ξi≥0，且yif(xi)−1+ξi=0yif(xi)−1+ξi=0，得yif(xi)≤1yif(xi)≤1
当0<αi<C0<αi<C时，0<βi<C0<βi<C,则ξi=0ξi=0，且yif(xi)−1+ξi=0yif(xi)−1+ξi=0，得yif(xi)=1yif(xi)=1
我们在编程时只需要选择的αiαi对应的yi,xiyi,xi违背上面的约束就可以让目标函数变大。
假如我们根据违背KKT条件选择了α1,α2α1,α2,则：
y1α1+y2α2=NN=−∑i≠1,2myiαi(5.1)(5.1)y1α1+y2α2=NN=−∑i≠1,2myiαi
因为yiyi=1yiyi=1,则有：
α1=Ny1−y1y2α2(5.2)(5.2)α1=Ny1−y1y2α2
将αiαi和αjαj代入式(4.6)，得：
W(α1,α2)=α1+α2−12α21y21κ11−12α22y22κ22−∑i=3mα1αiy1yiκ(1,i)−∑i=3mα2αiy2yiκ(2,i)+C(5.3)(5.3)W(α1,α2)=α1+α2−12α12y12κ11−12α22y22κ22−∑i=3mα1αiy1yiκ(1,i)−∑i=3mα2αiy2yiκ(2,i)+C
C为一些常数的和
我们令v1=∑mi=3α1αiy1yiκ(1,i)v1=∑i=3mα1αiy1yiκ(1,i),v2=∑mi=3α2αiy2yiκ(2,i)v2=∑i=3mα2αiy2yiκ(2,i),则式(5.3)改为：
W(α1,α2)=α1+α2−12α21y21κ11−12α22y22κ22−α1y1v1−α2y2v2+CW(α1,α2)=α1+α2−12α12y12κ11−12α22y22κ22−α1y1v1−α2y2v2+C
代入式(5.2)得
W(α2)=−12y21(Ny1−y1y2α2)2κ1,1−12α22y22κ2,2−(Ny1−y1y2α2)α2y1y2κ1,2−(Ny1−y1y2α2)y1v1−α2y2v2+α1+α2+C=−12(N−y2α2)2κ1,2−12α22κ1,2−(y2Nα2−α22)κ1,2−(N−y2α2)v1−α2y2v2+Ny1−y1y2α2+α2+C(5.4)(5.4)W(α2)=−12y12(Ny1−y1y2α2)2κ1,1−12α22y22κ2,2−(Ny1−y1y2α2)α2y1y2κ1,2−(Ny1−y1y2α2)y1v1−α2y2v2+α1+α2+C=−12(N−y2α2)2κ1,2−12α22κ1,2−(y2Nα2−α22)κ1,2−(N−y2α2)v1−α2y2v2+Ny1−y1y2α2+α2+C
对(5.4)求导得0：
∂W(α2)∂α2=Ny2κ1,1−α2κ1,1−α2k2,2−y2Nκ1,2+2α2κ1,2+y2v1−y2v2−y1y2+1=−(κ1,1+κ2,2−2κ1,2)α2+κ1,1Ny2−κ1,2Ny2+v1y2−v2y2−y1y2+1=0(5.5)(5.5)∂W(α2)∂α2=Ny2κ1,1−α2κ1,1−α2k2,2−y2Nκ1,2+2α2κ1,2+y2v1−y2v2−y1y2+1=−(κ1,1+κ2,2−2κ1,2)α2+κ1,1Ny2−κ1,2Ny2+v1y2−v2y2−y1y2+1=0
由于f(x)=∑mi=1αiyiκ(xi,x)+bf(x)=∑i=1mαiyiκ(xi,x)+b，则有：
v1=∑i=3mαiyiκi,1=f(x1)−αold1y1κ1,1−αold2y2κ1,2−bv2=f(x2)−αold1y1κ1,2−αold2y2κ2,2−b
又因为αold1=(N−αold2y2)y1,则：
v1−v2=f(x1)−f(x2)−κ1,1N+κ1,2N+(κ1,1+κ2,2−2κ1,2)αold2y2
代入(5.5)：
∂W(α2)∂α2=−(κ1,1+κ2,2−2κ1,2)αnew2+(κ1,1+κ2,2−2κ1,2)αold2+y2(y2−y1+f(x1)−f(x2))(5.6)
令η=κ1,1+κ2,2−2κ1,2，E=f(x)−y，则：
∂W(α2)∂α2=−ηαnew2+ηαold2+y2(E2−E1)=0
αnew2=αold2+y2(E1−E2)η(5.7)
未完待续
原文出处：https://blog.csdn.net/z962013489/article/details/82559626
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