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在前面的文章中，介绍了全连接神经网络(DNN)和卷积神经网络(CNN)，以及它们的训练和使用。回忆一下，它们都是能单独的处理一个个的输入，前一个输入和后一个输入是完全没有关系的。然后，现实当中是，某些任务需要能够更好的处理序列性质的信息，即前面的输入和后面的输入是有关系的。例如，当我们理解一句话意思时，孤立的理解这句话的每个词都是不够的，我们需要处理这些词连接起来的整个序列；当我们处理视频时，也不能只单独的去分析每一帧，而要分析这些帧连接起来的整个序列。这时，使用我们前文介绍的DNN和CNN是不够的，而需要用到深度学习领域中另一类非常重要的神经网络：循环神经网络(Recurrent Neural Network, RNN)。RNN种类繁多，过程繁琐，本部分首先对其结构进行剥茧抽丝，以理解RNNs及其训练算法；进一步地，介绍两中常见的RNN类型：长短时记忆网络(Long Short-Term Memory Network,LSTM)，门控循环单元(Gated Recurrent Unit, GRU)。
为什么要从语言模型开始呢？因为，RNN是在自然语言处理领域中最先被用起来的，例如，RNN可以构建语言模型。那什么是语言模型呢？
我们可以让电脑做这样一个练习：写出一个句子前面的一些词，然后，让电脑帮我们写出接下来的一个词。比如下面这句话：
我昨天上学迟到了，老师批评了____。
在这个句子中，接下来的词最有可能的是“我”，而不是“小明”，更不会是“吃饭”。
在这个例子中，语言模型是这样的一个东西：给定一个一句话前面的部分，预测接下来最有可能的一个词是什么。
语言模型是对一种语言的特征进行建模，它有很多用处。比如在语音转文本(STT)的应用中，声学模型输出的结果，往往是若干个可能的候选词，这时候就需要语言模型来从这些候选词中选择一个最有可能的。当然，它同样也可以用在图像到文本的识别中国(OCR)。
在使用RNN之前，语言模型主要采用N-Gram算法。N是一个自然数，比如2或者3.它的含义是：假设一个词出现的概率只与前面N个词相关。我们以2-Gram为例，对这句话给出部分进行分词：
我|昨天|上学|迟到|了|，|老师|批评|了|____。
如果用2-Gram进行建模，那么电脑在预测的时候，只会看到前面的“了”，然后，电脑会在语料库中，搜索“了”后面最有可能的一个词。不管最后电脑选择的是不是“我”，显然这个模型是不靠谱的，因为“了”前面说了那么一大推实际上是没有用到的。如果使用3-Gram模型呢，会搜索“批评了”后面最有可能的词，感觉比2-Gram靠谱了不少，但还是远远不够的。因为这句话最关键的信息“我”，远在9个词之前。
看到这儿，大家可能会想，可以继续提升N的值呀，比如4-Gram、5-Gram、\dots…。实际上，大家再深入想一下就会发现，这个想法是没有实用性的，因为当我们想处理任意长度的句子时，N设为多少都是不合适的；另外，模型的大小和N的关系是指数级的，4-Gram模型就会占用海量的存储空间。
所以，就该轮到RNN出场了，RNN理论上可以往前看（或往后看）任意多个词。
循环神经网络种类繁多，我们先从最简单的基础循环神经网络开始吧～
下图是一个简单的循环神经网络，它由输入层、一个隐藏层和一个输出层组成：
循环神经网络的实在是太难画出来了，网上所有大神们都不得不用了这种抽象的手法。不过，仔细看的话，如果把上面有WW的那个带箭头的圈去掉，它就变成了最普通的全连接网络了。xx是一个向量，它表示输入层的值（这里没有画出来表示输入层神经元节点的圆圈），ss是一个向量，它表示隐藏层的值（这里隐藏层画了一个节点，你也可以想象这一层其实是多个节点，节点数目与向量ss的维度相同）；UU是输入层到隐藏层的权重矩阵；OO也是一个向量，它表示输出层的值；VV是隐藏层到输出层的权重矩阵。那么，现在我们来看看WW是什么，循环神经网络的隐藏层的值ss不仅仅取决于当前这次输入xx，还取决于上一次隐藏层的值ss。权重矩阵WW就是隐藏层上一次的值作为这一次的输入的权重。
如果我们把上面的图展开，循环神经网络的也可以画成下面的样子：
现在看上去就比较清晰了，这个网络在tt时刻接收到输入x_txt之后，隐藏层的值是s_tst，输出值是o_tot。关键一点是，s_tst的值不仅仅取决于x_txt，还取决于s_{t-1}st−1。我们可以用下面的公式来表示循环神经网络的计算方法：
o_t=g(Vs_t) \tag{1}ot=g(Vst)(1)
s_t = f(Ux_t+Ws_{t-1}) \tag{2}st=f(Uxt+Wst−1)(2)
式1是输出层的计算公式，输出层是全连接层，也就是它的节点都是和隐藏层的每个节点相连。VV是一个输出层的权重矩阵，gg是激活函数。式2是隐藏层的计算公式，它是循环层。UU是输入xx的权重矩阵，WW是上一次输出值s_{t-1}st−1作为这一次输入的权重矩阵，ff是激活函数。
从上面的公式我们可以看出，循环层和全连接层的区别就是循环层多了一个权重矩阵WW。
如果反复把式2带入到式1，我们可以得到：
\begin{aligned}o_t &=g(Vs_t) \ &=Vf(Ux_1+Ws_{t-1})\ &=Vf(Ux_t+Wf(Ux_{t-1}+Ws_{t-2}))\&=Vf(Ux_t+Wf(Ux_{t-1}+Wf(Ux_{t-2}+Ws_{t-3})))\ &=Vf(Ux_t+Wf(Ux_{t-1}+Wf(Ux_{t-2}+Wf(Ux_{t-3}+\dots)))) \end{aligned}ot=g(Vst)=Vf(Ux1+Wst−1)=Vf(Uxt+Wf(Uxt−1+Wst−2))=Vf(Uxt+Wf(Uxt−1+Wf(Uxt−2+Wst−3)))=Vf(Uxt+Wf(Uxt−1+Wf(Uxt−2+Wf(Uxt−3+…))))
从上面可以看出，循环神经网络的输出值o_tot，是受前面历次输入值X_tXt、X_{t-1}Xt−1、X_{t-2}Xt−2、\dots…影响的，这也是为什么循环神经网络可以往前看任意多个输入值的原因。
对于语言模型来说，很多时候光看前面的词是不够的，比如下面这句话：
我的手机坏了，我打算____一部新手机。
可以想象的是，如果我们只看到横线前面的词，手机坏了，那么我是打算修一修？换一部新的手机？还是哭哭？这些都是无法确定的。但是如果我们还看到横线后面的词是“一部新手机”，那么，横线上的词填“买”的概率就大得多了。
在上一节中的基本循环神经网络是无法对此进行建模的，因此，我们需要双向循环神经网络，如下图所示：
当遇到这种从未来穿越回来的场景时，难免处于懵逼的状态。不过我们还是可以用屡试不爽的老办法：先分析一个特殊场景，然后再总结一般的规律。我们先考虑上图中，y_2y2的计算。
从上图可以看出，双向循环神经网络的隐藏层要保存两个值，一个AA参与正向计算，另一个值A’A′参与计算。最终的输出值y_2y2取决于A_2A2和A_2’A2′。其计算方法为：
y_2=g(VA_2+V’A_2’)y2=g(VA2+V′A2′)
其中A_2A2和A_2’A2′的计算为：
A_2=f(WA_1+UX_2)A2=f(WA1+UX2)
A_2’=f(W’A_3’+U’X_2)A2′=f(W′A3′+U′X2)
至此，我们已经可以看出一般的规律：正向计算时，隐藏层的值S_tSt与S_{t-1}St−1有关；反向计算时，隐藏层的值S_t’St′与S_{t+1}'St+1′有关；最终的输出取决于正向和反向计算的加和。现在，我们仿照式1和式2，写出双向循环神经网络的计算方法：
O_t=g(VS_t+V’S_t’)Ot=g(VSt+V′St′)
S_t=f(UX_t+WS_{t-1})St=f(UXt+WSt−1)
S_t’=f(U’X_t+W’S_{t+1}’)St′=f(U′Xt+W′St+1′)
从上面的三个公式可以看到，正向计算和反向计算不共享权重，也就是说UU和U’U′，WW和W’W′，VV和V’V′都是不同的权重矩阵。
前面我们介绍的循环神经网络只有一个隐藏层，当然了，也可以堆叠两个以上的隐藏层，这样就得到了深度循环神经网络。如下图所示：
我们把第ii个隐藏层的值表示为S_t{(i)}St(i)、S_t’{(i)}St′(i)，则深度循环神经网络的计算方式可以表示为：
O_t=g(V{(i)}S_t{(i)}+V’{(i)}S_t’{(i)})Ot=g(V(i)St(i)+V′(i)St′(i))
S_t{(i)}=f(U{(i)}S_t{i-1}+W{(i)}S_{t-1})St(i)=f(U(i)Sti−1+W(i)St−1)
S_t’{(i)}=f(U’{(i)}S_t’{(i-1)}+W’{(i)}S_{t+1}’)St′(i)=f(U′(i)St′(i−1)+W′(i)St+1′)
\cdots⋯
S_t{(1)}=f(U{(1)}X_t+W^{(1)}S_{t-1})St(1)=f(U(1)Xt+W(1)St−1)
S_t’{(1)}=f(U’{(1)}X_t+W’^{(1)}S_{t+1}’)St′(1)=f(U′(1)Xt+W′(1)St+1′)
BPTTBPTT算法是针对循环层的训练算法，它的基本原理和BPBP算法是一样的，也包含同样的三个步骤：
前向计算每个神经元的输出值；
反向计算每个神经元的误差项\delta_jδj值，它是误差函数EE对神经元jj的加权输入net_jnetj的偏导数；
计算每个权重的梯度。
循环层如下图所示：
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最后再用随机梯度下降算法更新权重。
前向计算
使用前面的式2对循环层进行前向计算：
S_t=f(UX_t+WS_{t-1})St=f(UXt+WSt−1)
注意：上面的S_tSt、X_tXt、S_{t-1}St−1都是向量，用黑体字母表示（在这里都用大写替代表示了😂，将就看吧❤️）；而UU、VV是矩阵，用大写字母表示。向量的下标表示时刻，例如，S_tSt表示在tt时刻向量SS的值。
我们假设输入向量XX的维度是mm，输出向量SS的维度是nn，则矩阵UU的维度是nn x mm，矩阵WW的维度是nn x nn。下面是我们上式展开成矩阵的样子，看起来更直观一些：
\left[ \begin{matrix} s_1^t \ s_2^t \ \vdots \ s_n^t \end{matrix} \right]=f(\left[ \begin{matrix} u_{11} & u_{12} & \cdots & u_{1m}\ u_{21} & u_{22} & \cdots & u_{2m} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ u_{n1} & u_{n2} & \cdots & u_{nm} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_m \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1n}\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ w_{n1} & w_{n2} & \cdots & w_{nm} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \ s_2^{t-1} \ \vdots \ s_n^{t-1} \end{matrix} \right])⎣⎢⎢⎢⎡s1ts2t⋮snt⎦⎥⎥⎥⎤=f(⎣⎢⎢⎢⎡u11u21⋮un1u12u22⋮un2⋯⋯⋱⋯u1mu2m⋮unm⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xm⎦⎥⎥⎥⎤+⎣⎢⎢⎢⎡w11w21⋮wn1w12w22⋮wn2⋯⋯⋱⋯w1nw2n⋮wnm⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡s1t−1s2t−1⋮snt−1⎦⎥⎥⎥⎤)
上式中，手写体字母表示向量的一个元素，它的下标表示它是这个向量的第几个元素，它的上标表示第几个时刻。例如，s_j^tsjt表示向量SS的第jj个元素在tt时刻的值；u_{ji}uji表示输入层第ii个神经元到循环层第jj个神经元的权重；w_{ji}wji表示循环层第t-1t−1时刻的第ii个神经元到循环层第tt个时刻的第jj个神经元的权重。
误差项的计算
BTPPBTPP算法将第ll层tt时刻的**误差项\delta_tlδtl**值沿两个方向传播，一个方向是其传递到上一层网络，得到\delta_t{l-1}δtl−1，这一部分只和权重矩阵UU相关；另一个方向是将其沿时间线传递到初始时刻t_1t1，得到\delta_1^lδ1l，这部分只和权重矩阵WW相关。
我们用向量net_tnett表示神经元在tt时刻的加权输入，得到：
net_t=UX_t+WS_{t-1}nett=UXt+WSt−1
S_{t-1}=f(net_{t-1})St−1=f(nett−1)
因此：
\frac{\partial net_t}{\partial net_{t-1}}=\frac{\partial net_t}{\partial S_{t-1}}\frac{\partial S_{t-1}}{\partial net_{t-1}}∂nett−1∂nett=∂St−1∂nett∂nett−1∂St−1
约定：我们使用aa表示列向量，用a^TaT表示行向量。
上式第一项是向量函数对向量求导，其结果为JacobianJacobian矩阵：
\begin{aligned}\frac{\partial net_t}{\partial S_{t-1}} &=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial net_1^t}{\partial S_1^{t-1}} & \frac{\partial net_1^t}{\partial S_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial net_1^t}{\partial S_n^{t-1}} \ \frac{\partial net_2^t}{\partial S_1^{t-1}} & \frac{\partial net_2^t}{\partial S_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial net_2^t}{\partial S_n^{t-1}} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial net_n^t}{\partial S_1^{t-1}} & \frac{\partial net_n^t}{\partial S_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial net_n^t}{\partial S_n^{t-1}} \end{matrix} \right] \ &=\left[ \begin{matrix} w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1n}\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ w_{n1} & w_{n2} & \cdots & w_{nm} \end{matrix} \right]\ &=W \end{aligned}∂St−1∂nett=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡∂S1t−1∂net1t∂S1t−1∂net2t⋮∂S1t−1∂netnt∂S2t−1∂net1t∂S2t−1∂net2t⋮∂S2t−1∂netnt⋯⋯⋱⋯∂Snt−1∂net1t∂Snt−1∂net2t⋮∂Snt−1∂netnt⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡w11w21⋮wn1w12w22⋮wn2⋯⋯⋱⋯w1nw2n⋮wnm⎦⎥⎥⎥⎤=W
同理，上式第二项也是一个JacobianJacobian矩阵：
\begin{aligned}\frac{\partial S_{t-1}}{\partial net_{t-1}} &=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial S_1^{t-1}}{\partial net_1^{t-1}} & \frac{\partial S_1^{t-1}}{\partial net_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial S_1^{t-1}}{\partial net_n^{t-1}} \ \frac{\partial S_2^{t-1}}{\partial net_1^{t-1}} & \frac{\partial S_2^{t-1}}{\partial net_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial S_2^{t-1}}{\partial net_n^{t-1}} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial S_n^{t-1}}{\partial net_1^{t-1}} & \frac{\partial S_n^{t-1}}{\partial net_2^{t-1}} & \cdots & \frac{\partial S_n^{t-1}}{\partial net_n^{t-1}} \end{matrix} \right] \ &=\left[ \begin{matrix} f’(net_1^{t-1}) & 0 & \cdots & 0 \ 0 & f’(net_2^{t-1}) & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & f’(net_n^{t-1}) \end{matrix} \right]\ &=diag[f’(net_{t-1})] \end{aligned}∂nett−1∂St−1=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡∂net1t−1∂S1t−1∂net1t−1∂S2t−1⋮∂net1t−1∂Snt−1∂net2t−1∂S1t−1∂net2t−1∂S2t−1⋮∂net2t−1∂Snt−1⋯⋯⋱⋯∂netnt−1∂S1t−1∂netnt−1∂S2t−1⋮∂netnt−1∂Snt−1⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡f′(net1t−1)0⋮00f′(net2t−1)⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮f′(netnt−1)⎦⎥⎥⎥⎤=diag[f′(nett−1)]
diag[a]diag[a]表示根据向量aa创建一个对角矩阵，即
\begin{aligned}diag(a) &=\left[ \begin{matrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & a_2 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{matrix} \right] \end{aligned}diag(a)=⎣⎢⎢⎢⎡a10⋮00a2⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮an⎦⎥⎥⎥⎤
最后，将两项合在一起，得到：
\begin{aligned}\frac{\partial net_t}{\partial net_{t-1}} &=\frac{\partial net_t}{\partial S_{t-1}}\frac{\partial S_{t-1}}{\partial net_{t-1}} \ &=Wdiag[f’(net_{t-1})] \ &=\left[ \begin{matrix} w_{11}f’(net_1^{t-1}) & w_{12}f’(net_2^{t-1}) & \cdots & w_{1n}f’(net_n^{t-1})\ w_{21}f’(net_1^{t-1}) & w_{22}f’(net_2^{t-1}) & \cdots & w_{2n}f’(net_n^{t-1}) \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ w_{n1}f’(net_1^{t-1}) & w_{n2}f’(net_2^{t-1}) & \cdots & w_{nm}f’(net_n^{t-1}) \end{matrix} \right] \end{aligned}∂nett−1∂nett=∂St−1∂nett∂nett−1∂St−1=Wdiag[f′(nett−1)]=⎣⎢⎢⎢⎡w11f′(net1t−1)w21f′(net1t−1)⋮wn1f′(net1t−1)w12f′(net2t−1)w22f′(net2t−1)⋮wn2f′(net2t−1)⋯⋯⋱⋯w1nf′(netnt−1)w2nf′(netnt−1)⋮wnmf′(netnt−1)⎦⎥⎥⎥⎤
上式描述了将\deltaδ沿着时间往前传递一个时刻的规律，有了这个规律，我们就可以求得任意时刻kk的误差项\delta_kδk：
\begin{aligned}\delta_k^T &=\frac{\partial E}{\partial net_k} \ &=\frac{\partial E}{\partial net_t}\frac{\partial net_t}{\partial net_k} \ &=\frac{\partial E}{\partial net_t}\frac{\partial net_t}{\partial net_{t-1}}\frac{\partial net_{t-1}}{\partial net_{t-2}} \cdots \frac{\partial net_{k+1}}{\partial net_k} \ &=Wdiag[f’(net_{t-1})]Wdiag[f’(net_{t-2})] \cdots Wdiag[f’(net_k)]\delta_t^l \ &=\delta_tT\prod_{i=k}{t-1}Wdiag[f’(net_i)] \end{aligned} \tag{3}δkT=∂netk∂E=∂nett∂E∂netk∂nett=∂nett∂E∂nett−1∂nett∂nett−2∂nett−1⋯∂netk∂netk+1=Wdiag[f′(nett−1)]Wdiag[f′(nett−2)]⋯Wdiag[f′(netk)]δtl=δtTi=k∏t−1Wdiag[f′(neti)](3)
上式就是将误差沿时间反向传播的算法。
误差项传递到上一层
循环层将误差项反向传播到上一层网络，与普通的全连接是完全一样的，这在全面的文章中已经详细介绍过，此处仅简要介绍：
循环层的加权输入netlnetl与上一层的加权输入net{l-1}netl−1关系如下：
net_tl=Ua_t{l-1}+WS_{t-1}nettl=Uatl−1+WSt−1
a_t{l-1}=f{l-1}(net_t^{l-1})atl−1=fl−1(nettl−1)
上式中的net_t^lnettl是第ll层神经元的加权输入（假设第ll 层是循环层）；net_t{l-1}nettl−1是第l-1l−1层神经元的加权输入；a_t{l-1}atl−1是第l-1l−1层神经元的输出；f^{l-1}fl−1是第l-1l−1层的激活函数。
\begin{aligned}\frac{\partial net_t^l}{\partial net_t^{l-1}} &=\frac{\partial net^l}{\partial a_t^{l-1}}\frac{\partial a_t^{l-1}}{\partial net_t^{l-1}} \ &=Udiag[f’{l-1}(net_t{l-1})] \end{aligned}∂nettl−1∂nettl=∂atl−1∂netl∂nettl−1∂atl−1=Udiag[f′l−1(nettl−1)]
进一步地，
\begin{aligned}(\delta_t{l-1})T &=\frac{\partial E}{\partial net_t^{l-1}} \ &=\frac{\partial E}{\partial net_t^l}\frac{\partial net_t^l}{\partial net_t^{l-1}} \ &=(\delta_tl)TUdiag[f’{l-1}(net_t{l-1})] \end{aligned}(δtl−1)T=∂nettl−1∂E=∂nettl∂E∂nettl−1∂nettl=(δtl)TUdiag[f′l−1(nettl−1)]
该式即为将误差传递到上一层的算法。
权重梯度的计算
现在，终于来到了BPTTBPTT算法的最后一步：计算每个权重的梯度。
首先，我们计算误差函数EE对权重矩阵WW的梯度\frac{\partial E}{\partial W}∂W∂E。
上图展示了我们到目前为止，在前面两步计算得到的量，包括每个时刻tt的循环输出值S_tSt,以及误差项\delta_tδt。
回忆一下全连接网络的权重梯度计算算法：只要知道了任意一个时刻的误差项\delta_tδt，以及上一个时刻循环层的输出值S_{t-1}St−1，就可以按照下面的公式求出权重矩阵在tt时刻的梯度\nabla_{W_t}E∇WtE：
\begin{aligned}\nabla_{W_t}E &=\left[ \begin{matrix} \delta_1ts_1{t-1} & \delta_1ts_2{t-1} & \cdots & \delta_1ts_n{t-1} \ \delta_2ts_1{t-1} & \delta_2ts_2{t-1} & \cdots & \delta_2ts_n{t-1} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \delta_nts_1{t-1} & \delta_nts_2{t-1} & \cdots & \delta_nts_n{t-1} \end{matrix} \right] \end{aligned} \tag{4}∇WtE=⎣⎢⎢⎢⎡δ1ts1t−1δ2ts1t−1⋮δnts1t−1δ1ts2t−1δ2ts2t−1⋮δnts2t−1⋯⋯⋱⋯δ1tsnt−1δ2tsnt−1⋮δntsnt−1⎦⎥⎥⎥⎤(4)
式中，\delta_itδit表示tt时刻误差项向量的第ii个分量；s_i{t-1}sit−1表示t-1t−1时刻循环层第ii个神经元的输出值。
式4推导
由前文知net_t=UX_t+WS_{t-1}nett=UXt+WSt−1，即
\begin{aligned}\left[ \begin{matrix} net_1^t \ net_2^t \ \vdots \ net_n^t \end{matrix} \right] &=UX_t+\left[ \begin{matrix} w_{11} & w_{12} & \cdots & w_{1n}\ w_{21} & w_{22} & \cdots & w_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ w_{n1} & w_{n2} & \cdots & w_{nm} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \ s_2^{t-1} \ \vdots \ s_n^{t-1} \end{matrix} \right] \ &=UX_t+\left[ \begin{matrix} w_{11}s_1^{t-1} & w_{12}s_2^{t-1} & \cdots & w_{1n}s_n^{t-1}\ w_{21}s_1^{t-1} & w_{22}s_2^{t-1} & \cdots & w_{2n}s_n^{t-1} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ w_{n1}s_1^{t-1} & w_{n2}s_2^{t-1} & \cdots & w_{nm}s_n^{t-1} \end{matrix} \right] \end{aligned}⎣⎢⎢⎢⎡net1tnet2t⋮netnt⎦⎥⎥⎥⎤=UXt+⎣⎢⎢⎢⎡w11w21⋮wn1w12w22⋮wn2⋯⋯⋱⋯w1nw2n⋮wnm⎦⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡s1t−1s2t−1⋮snt−1⎦⎥⎥⎥⎤=UXt+⎣⎢⎢⎢⎡w11s1t−1w21s1t−1⋮wn1s1t−1w12s2t−1w22s2t−1⋮wn2s2t−1⋯⋯⋱⋯w1nsnt−1w2nsnt−1⋮wnmsnt−1⎦⎥⎥⎥⎤
因为对WW求导与UX_tUXt无关，我们不再考虑。现在，我们考虑对权重w_{ji}wji求导。通过观察上式我们可以看到w_{ji}wji只与net_j^tnetjt有关，所以：
\begin{aligned}\frac{\partial E}{\partial w_{ji}} &=\frac{\partial E}{\partial net_j^t}\frac{\partial net_j^t}{\partial w_{ji}} \ &=\delta_jts_i{t-1} \end{aligned}∂wji∂E=∂netjt∂E∂wji∂netjt=δjtsit−1
按照上面的规律就可以生成式4里面的矩阵。
我们已经求得了权重矩阵WW在tt 的梯度\nabla_{W_t}E∇WtE，最终的梯度\nabla_WE∇WE是各个时刻的梯度之和：
\begin{aligned}\nabla_WE &= \Sigma_{i=1}^t\nabla_{W_t}E \ &=\left[ \begin{matrix} \delta_11s_10 & \delta_11s_20 & \cdots & \delta_11s_n0 \ \delta_21s_10 & \delta_21s_20 & \cdots & \delta_21s_n0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \delta_n1s_10 & \delta_n1s_20 & \cdots & \delta_n1s_n0 \end{matrix} \right]+\cdots+\left[ \begin{matrix} \delta_1ts_1{t-1} & \delta_1ts_2{t-1} & \cdots & \delta_1ts_n{t-1} \ \delta_2ts_1{t-1} & \delta_2ts_2{t-1} & \cdots & \delta_2ts_n{t-1} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \delta_nts_1{t-1} & \delta_nts_2{t-1} & \cdots & \delta_nts_n{t-1} \end{matrix} \right] \end{aligned}\tag5{}∇WE=Σi=1t∇WtE=⎣⎢⎢⎢⎡δ11s10δ21s10⋮δn1s10δ11s20δ21s20⋮δn1s20⋯⋯⋱⋯δ11sn0δ21sn0⋮δn1sn0⎦⎥⎥⎥⎤+⋯+⎣⎢⎢⎢⎡δ1ts1t−1δ2ts1t−1⋮δnts1t−1δ1ts2t−1δ2ts2t−1⋮δnts2t−1⋯⋯⋱⋯δ1tsnt−1δ2tsnt−1⋮δntsnt−1⎦⎥⎥⎥⎤(5)
式5就是计算循环层权重矩阵WW梯度的公式。
前面已经介绍了\nabla_WE∇WE的计算方法，看上去还是比较直观的。然而，读者也许会困惑，为什么最终的梯度是各个时刻的梯度之和呢？我们前面只是直接用了这个结论，实际上这里面是有道理的，只是这个数学推导比较绕脑子。感兴趣的同学可以仔细阅读接下来这一段，它用到了矩阵对矩阵求导、张量与向量相乘运算的一些法则。
式5推导
我们还是从这个式子开始：
net_t=UX_t+Wf(net_{t-1})nett=UXt+Wf(nett−1)
因为UX_tUXt与WW完全无关，我们把它看作常量。现在，考虑第一个式子加号右边的部分，因为WW和f(net_{t-1})f(nett−1)都是WW的函数，因此我们要用到大学里学过的复合函数求导方法：
(uv)’=u’v+uv’(uv)′=u′v+uv′
因此，上面的式子写成：
\frac{\partial net_t}{\partial W}=\frac{\partial W}{\partial W}f(net_{t-1})+W\frac{\partial f(net_{t-1})}{\partial W}∂W∂nett=∂W∂Wf(nett−1)+W∂W∂f(nett−1)
我们最终需要计算的是\nabla_WE∇WE：
\begin{aligned}\nabla_WE &=\frac{\partial E}{\partial W} \ &=\frac{\partial E}{\partial net_t}\frac{\partial net_t}{\partial W} \ &=\delta_t^T\frac{\partial W}{\partial W}f(net_{t-1})+\delta_t^TW\frac{\partial f(net_{t-1})}{\partial W} \end{aligned} \tag{6}∇WE=∂W∂E=∂nett∂E∂W∂nett=δtT∂W∂Wf(nett−1)+δtTW∂W∂f(nett−1)(6)
先计算式6加号左边部分。\frac{\partial W}{\partial W}∂W∂W是矩阵对矩阵求导，其结果是一个四维张量(tensor)：
\begin{aligned}\frac{\partial W}{\partial W} &=\left[ \begin{matrix} \frac{\partial w_{11}}{\partial W} & \frac{\partial w_{12}}{\partial W} & \cdots & \frac{\partial w_{1n}}{\partial W} \ \frac{\partial w_{21}}{\partial W} & \frac{\partial w_{22}}{\partial W} & \cdots & \frac{\partial w_{2n}}{\partial W} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial w_{n1}}{\partial W} & \frac{\partial w_{n2}}{\partial W} & \cdots & \frac{\partial w_{nn}}{\partial W} \end{matrix} \right] \ &=\left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{11}} & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{12}} & \cdots & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{1n}} \ \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{21}} & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{22}} & \cdots & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{2n}} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{n1}} & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{n2}} & \cdots & \frac{\partial w_{11}}{\partial w_{nn}} \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{11}} & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{12}} & \cdots & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{1n}} \ \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{21}} & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{22}} & \cdots & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{2n}} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{n1}} & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{n2}} & \cdots & \frac{\partial w_{12}}{\partial w_{nn}} \end{matrix} \right] \cdots \ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \ &=\left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] \cdots \ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \end{aligned}∂W∂W=⎣⎢⎢⎢⎡∂W∂w11∂W∂w21⋮∂W∂wn1∂W∂w12∂W∂w22⋮∂W∂wn2⋯⋯⋱⋯∂W∂w1n∂W∂w2n⋮∂W∂wnn⎦⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⎣⎢⎢⎢⎡∂w11∂w11∂w21∂w11⋮∂wn1∂w11∂w12∂w11∂w22∂w11⋮∂wn2∂w11⋯⋯⋱⋯∂w1n∂w11∂w2n∂w11⋮∂wnn∂w11⎦⎥⎥⎥⎤⋮⎣⎢⎢⎢⎡∂w11∂w12∂w21∂w12⋮∂wn1∂w12∂w12∂w12∂w22∂w12⋮∂wn2∂w12⋯⋯⋱⋯∂w1n∂w12∂w2n∂w12⋮∂wnn∂w12⎦⎥⎥⎥⎤⋯⋮⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⎣⎢⎢⎢⎡10⋮000⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮0⎦⎥⎥⎥⎤⋮⎣⎢⎢⎢⎡00⋮010⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮0⎦⎥⎥⎥⎤⋯⋮⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
接下来，我们知道S_{t-1}=f(net_{t-1})St−1=f(nett−1)，它是一个列向量。让上面的四维张量与这个向量相乘，得到一个三维张量，再左乘行向量\delta_t^TδtT，最终得到一个矩阵：
\begin{aligned}\delta_t^T\frac{\partial W}{\partial W}f(net_{t-1}) &=\delta_t^T\frac{\partial E}{\partial W}S_{t-1} \ &=\delta_t^T \left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & \cdots & 0 \ 0 & 0 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{matrix} \right] \cdots \ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \ s_2^{t-1} \ \vdots \ s_n^{t-1} \end{matrix} \right] \ &=\delta_t^T \left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \ 0 \ \vdots \ 0 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} s_2^{t-1} \ 0 \ \vdots \ 0 \end{matrix} \right] \cdots \ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \ &= \left[ \begin{matrix}\delta_1^t & \delta_2^t & \cdots & \delta_n^t \end{matrix} \right]\left[\begin{matrix}\left[ \begin{matrix} s_1^{t-1} \ 0 \ \vdots \ 0 \end{matrix} \right] & \left[ \begin{matrix} s_2^{t-1} \ 0 \ \vdots \ 0 \end{matrix} \right] \cdots \ \vdots & \vdots \end{matrix} \right] \ &=\left[ \begin{matrix} \delta_1ts_1{t-1} & \delta_1ts_2{t-1} & \cdots & \delta_1ts_n{t-1} \ \delta_2ts_1{t-1} & \delta_2ts_2{t-1} & \cdots & \delta_2ts_n{t-1} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \delta_nts_1{t-1} & \delta_nts_2{t-1} & \cdots & \delta_nts_n{t-1} \end{matrix} \right] \ &=\nabla_{W_t}E \end{aligned}δtT∂W∂Wf(nett−1)=δtT∂W∂ESt−1=δtT⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⎣⎢⎢⎢⎡10⋮000⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮0⎦⎥⎥⎥⎤⋮⎣⎢⎢⎢⎡00⋮010⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮0⎦⎥⎥⎥⎤⋯⋮⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤⎣⎢⎢⎢⎡s1t−1s2t−1⋮snt−1⎦⎥⎥⎥⎤=δtT⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⎣⎢⎢⎢⎡s1t−10⋮0⎦⎥⎥⎥⎤⋮⎣⎢⎢⎢⎡s2t−10⋮0⎦⎥⎥⎥⎤⋯⋮⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=[δ1tδ2t⋯δnt]⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡⎣⎢⎢⎢⎡s1t−10⋮0⎦⎥⎥⎥⎤⋮⎣⎢⎢⎢⎡s2t−10⋮0⎦⎥⎥⎥⎤⋯⋮⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤=⎣⎢⎢⎢⎡δ1ts1t−1δ2ts1t−1⋮δnts1t−1δ1ts2t−1δ2ts2t−1⋮δnts2t−1⋯⋯⋱⋯δ1tsnt−1δ2tsnt−1⋮δntsnt−1⎦⎥⎥⎥⎤=∇WtE
先计算式6加号右边部分
\begin{aligned}\delta_t^TW\frac{\partial f(net_{t-1})}{\partial W} &=\delta_t^TW\frac{\partial f(net_{t-1})}{\partial net_{t-1}}\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \ &=\delta_t^T Wf’(net_{t-1})\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \ &=\delta_t^T\frac{\partial net_t}{\partial net_{t-1}}\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \ &=\delta_{t-1}^T\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \end{aligned}δtTW∂W∂f(nett−1)=δtTW∂nett−1∂f(nett−1)∂W∂nett−1=δtTWf′(nett−1)∂W∂nett−1=δtT∂nett−1∂nett∂W∂nett−1=δt−1T∂W∂nett−1
于是，我们得到了如下递推公式：
\begin{aligned}\nabla_WE &=\frac{\partial E}{\partial W} \ &=\frac{\partial E}{\partial net_t}\frac{\partial net_t}{\partial W} \ &=\nabla_{W_t}E+\delta_{t-1}^T\frac{\partial net_{t-1}}{\partial W} \ &=\nabla_{W_t}E+\nabla_{W_{t-1}}E+\delta_{t-2}^T\frac{\partial net_{t-2}}{\partial W} \ &=\nabla_{W_t}E+\nabla_{W_{t-1}}E+\cdots+\nabla_{W_1}E \ &=\Sigma_{k=1}^t \nabla_{W_k}E \end{aligned}∇WE=∂W∂E=∂nett∂E∂W∂nett=∇WtE+δt−1T∂W∂nett−1=∇WtE+∇Wt−1E+δt−2T∂W∂nett−2=∇WtE+∇Wt−1E+⋯+∇W1E=Σk=1t∇WkE
以上过程证明了：最终的梯度\nabla_WE∇WE是各个时刻的梯度之和。
同权重矩阵WW类似，我们可以得到权重矩阵UU的计算方法：
\begin{aligned}\nabla_{U_t}E &=\left[ \begin{matrix} \delta_1tx_1t & \delta_1tx_2t & \cdots & \delta_1tx_mt \ \delta_2tx_1t & \delta_2tx_2t & \cdots & \delta_2tx_mt \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ \delta_ntx_1t & \delta_nts_2t & \cdots & \delta_ntx_mt \end{matrix} \right] \end{aligned}∇UtE=⎣⎢⎢⎢⎡δ1tx1tδ2tx1t⋮δntx1tδ1tx2tδ2tx2t⋮δnts2t⋯⋯⋱⋯δ1txmtδ2txmt⋮δntxmt⎦⎥⎥⎥⎤
上式是误差函数EE在tt时刻对权重矩阵UU的梯度。和权重矩阵WW一样，最终的梯度也是各个时刻的梯度之和：
\nabla_UE=\Sigma_{i=1}^t\nabla_{U_i}E∇UE=Σi=1t∇UiE
具体证明不再赘述，感兴趣的同学可以练习推导。
不幸的是，实践中前面介绍的几种RNNsRNNs并不能很好的处理较长的序列。纳尼？！这不是和前面说的矛盾吗，前面不是说能任意长么，大家可以回头看一眼，前面说的是[理论上]可以任意上，现实和理想还是有一定距离的。一个主要的原因是,RNNRNN在训练中很容易发生梯度爆炸和梯度消失，这导致训练时梯度不能在较长序列中一直传递下去，从而使RNNRNN无法捕捉到长距离的影响。
为什么RNNRNN会产生梯度爆炸和消失呢？我们接下来将详细分析一下原因。我们根据式3可得：
\delta_kT=\delta_tT\prod_{i=k}^{t-1}Wdiag[f’(net_i)]δkT=δtT∏i=kt−1Wdiag[f′(neti)]
\begin{aligned} \parallel \delta_k^T \parallel &\leq \parallel \delta_t^T \parallel \prod_{i=k}^{t-1}\parallel W \parallel \parallel diag[f’(net_i)] \parallel \ &\leq \parallel \delta_t^T \parallel(\beta_W\beta_f)^{t-k} \end{aligned}∥δkT∥≤∥δtT∥i=k∏t−1∥W∥∥diag[f′(neti)]∥≤∥δtT∥(βWβf)t−k
上式的\betaβ定义为矩阵的摸的上界。因为上式是一个指数函数，如果t-kt−k很大的话（也就是向前看很远的时候），会导致对应的误差项的值增长或缩小得非常快，这样就会导致相应的梯度爆炸和梯度消失问题（取决于\betaβ大于1还是小于1）。
通常来说，梯度爆炸更容易处理一些。因为梯度爆炸的时候，运行代码会收到NaNNaN错误。我们也可以设置一个梯度阈值，当梯度超过这个阈值的时候可以直接截取。
梯度消失更难检测，而且也更难处理一些。总的来说，我们有三种方法应对梯度消失问题：
1.合理的初始化权重值。初始化权重，使每个神经元尽可能不要取极大或极小值，以避开梯度消失的区域；
2.使用relurelu代替sigmoidsigmoid和tanhtanh作为激活函数。原理之前的文章里已有所提及；
3.使用其他结构的RNNsRNNs，比如长短时记忆网络(LSTM)和Gated Recurrent Unit（GRU），这是最流行的网络结构。我们将在后续内容介绍这两种网络。
现在，引入一个例子，开篇提过的语言模型，不过现在是基于RNNRNN的语言模型。我们首先把词依次输入到循环神经网络中，每输入一个词，循环神经网络就输出截止目前为止，下一个最有可能的词。如，当我们依次输入：
我 昨天 上学 迟到 了
神经网络的输出如下图所示：
图中，ss和ee是两个特殊的词，分别表示一个序列的开始和结束。
神经网络的输入和输出都是向量，为了让语言模型能够被神经网络处理，我们必须把词表达为向量的形式，这样神经网络才能处理它。
神经网络的输入是词，我们可以用以下步骤对输入进行向量化：
1.建立一个包含所有词的词典，每个词在词典里面有一个唯一的编号；
2.任意一个词都可以用一个NN维的one-hotone−hot向量来表示。其中，NN是词典中包含的词的个数。假设一个词在词典中的编号是ii，vv是这个词的向量，v_jvj是向量的第jj元素，则：
v_j= \begin{cases} 1 && j=i\ 0 && j\neq i\ \end{cases}vj={10j=ij=i
上面这个公式的含义，可以用下面的图来直观的表示：
使用这种向量化方法，我们就得到了一个高维、稀疏的向量（稀疏是指绝大部分元素的值都是0）。处理这样的向量会导致我们的神经网络有很多的参数，带来庞大的计算量。因此，往往会需要使用一些降维方法，将高维的稀疏向量转变为低维的稠密向量。
不过这个话题我们就不再这篇文章中讨论了。
语言模型要求的输出是下一个最可能的词，我们可以让循环神经网络计算计算词典中每个词是下一个词的概率，这样，概率最大的词就是下一个最可能的词。因此，神经网络的输出向量也是一个NN维向量，向量中的每个元素对应着词典中相应的词是下一个词的概率。如下图所示：
前面提到，语言模型是对下一个词出现的概率进行建模。那么，怎样让神经网络输出概率呢？方法就是用softmaxsoftmax层作为神经网络的输出层。
我们先来看一下softmaxsoftmax函数的定义：
g(z_i)=\frac{e{z_i}}{\Sigma_ke{z_k}}g(zi)=Σkezkezi
这个公式看起来可能很晕，举例说明一下，SoftmaxSoftmax层如下图所示：
从上图我们可以看到，SoftmaxSoftmax layerlayer的输入是一个向量，输出也是一个向量，两个向量的维度是一样的（在这个例子里面是4）。输入向量x=[1 2 3 4]经过softmaxsoftmax层之后，经过上面的softmaxsoftmax函数计算，转变为输出向量y=[0.03 0.09 0.24 0.64]。计算过程为：
y_1=\frac{e{x_1}}{\Sigma_ke{x_k}}=\frac{e1}{e1+e2+e3+e^4}=0.03y1=Σkexkex1=e1+e2+e3+e4e1=0.03
y_2=\frac{e2}{e1+e2+e3+e^4}=0.09y2=e1+e2+e3+e4e2=0.09
y_3=\frac{e3}{e1+e2+e3+e^4}=0.24y3=e1+e2+e3+e4e3=0.24
y_4=\frac{e4}{e1+e2+e3+e^4}=0.64y4=e1+e2+e3+e4e4=0.64
总结一下输出向量yy的特征：
1.每一项为取值为0-1之间的正数；
2.所有项的总和为1。
不难发现，这些特征和概率的特征是一样的，因此我们可以把它们看做是概率。对于语言模型来说，我们可以认为模型预测下一个词是词典中第一个词的概率是0.03，是词典中第二个词的概率是0.09，以此类推。
可以使用监督学习的方法对语言模型进行训练，首先，需要准备训练数据集。接下来，我们介绍怎样把语料转换成语言模型的训练数据集。
我 昨天 上学 迟到 了
首先，我们获取输入-标签对：
输入标签
s我
我昨天
昨天上学
上学迟到
迟到了
了e
然后，使用前面介绍过的向量化方法，对输入x和标签y进行向量化。这里面有意思的是，对标签y进行向量化，其结果也是一个one-hot向量。例如，我们对标签『我』进行向量化，得到的向量中，只有第2019个元素的值是1，其他位置的元素的值都是0。它的含义就是下一个词是『我』的概率是1，是其它词的概率都是0。
最后，我们使用交叉熵误差函数作为优化目标，对模型进行优化。
注：在实际工程中，我们可以使用大量的语料来对模型进行训练，获取训练数据和训练的方法都是相同的。
一般来说，当神经网络的输出层是SoftmaxSoftmax层时，对应的误差函数E通常选择交叉熵误差函数，其定义如下：
L(y,o)=-\frac{1}{N}\Sigma_{n\in N}y_nlogo_nL(y,o)=−N1Σn∈Nynlogon
在上式中，NN是训练样本的个数，向量y_nyn是样本的标记，向量o_non是网络的输出。标记y_nyn是一个one-hot向量，例如y_1=[1,0,0,0]y1=[1,0,0,0]，如果网络的输出o=[0.03,0.09,0.24,0.64]o=[0.03,0.09,0.24,0.64]，那么，交叉熵误差是（假设只有一个训练样本，即N=1）：
\begin{aligned}L(y,o) &=-\frac{1}{N}\Sigma_{n\in N}y_nlogo_n \ &= -y_1logo_1 \ &= -(1log0.03+0log0.09+0log0.24+0log0.64) \ &= 3.51 \end{aligned}L(y,o)=−N1Σn∈Nynlogon=−y1logo1=−(1∗log0.03+0∗log0.09+0∗log0.24+0∗log0.64)=3.51
我们当然可以选择其他函数作为我们的误差函数，比如最小平方误差函数(MSE)。不过对概率进行建模时，选择交叉熵误差函数更make sense。具体原因，感兴趣的读者请阅读参考文献5。
上述文章中，我们介绍了循环神经网络以及它的训练算法。同时也介绍了循环神经网络很难训练的原因，这导致了它在实际应用中，很难处理长距离的依赖。在本部分，我们将介绍一种改进之后的循环神经网络：长短时记忆网络(LSTMLSTM)，它成功的解决了原始循环神经网络的缺陷，成为当前最流行的RNNRNN，在语音识别、图片描述、自然语言处理等许多领域中成功应用。但不幸的一面是，LSTMLSTM的结构很复杂，因此，我们需要花上一些力气，才能把LSTMLSTM以及它的训练算法弄明白。在搞清楚LSTMLSTM之后，我们再介绍一种LSTMLSTM的变体：GRUGRU。 它的结构比LSTMLSTM简单，而效果却和LSTMLSTM一样好，因此，它正在逐渐流行起来。
前述文中介绍了很多RNNRNN的内容，涉及很多公式计算，该部分以图片形式简要回顾一下，普通RNNRNN的主要形式如下图所示：
图中，
xx为当前状态下数据的输入，hh表示接收到的上一个节点的输入。
yy为当前节点状态下的输出，而h’h′为传递到下一个节点的输出。
通过上图的公式可以看到，输出h’h′与xx和hh的值都相关。
而yy则常常使用h’h′投入到一个线性层（主要是进行维度映射）然后使用softmaxsoftmax进行分类得到需要的数据。
对这里的yy如何通过h’h′计算得到往往看具体模型的使用方式。
通过序列形式的输入，我们能够得到如下形式的RNNRNN:
长短期记忆（LSTMLSTM）是一种特殊的RNNRNN，主要是为了解决长序列训练过程中的梯度消失和梯度爆炸问题。简单来说，就是相比普通的RNNRNN，LSTMLSTM能够在更长的序列中有更好的表现。
LSTMLSTM结构（图右）和普通RNNRNN的主要输入输出区别如下所示。
相比RNNRNN只有一个传递状态h^tht ，LSTMLSTM有两个传输状态，一个c^tct （cell state），和一个 h^tht（hidden state）。（Tips：RNNTips：RNN中的htht对于LSTMLSTM中的ctct）
其中对于传递下去的ctct改变得很慢，通常输出的ctct是上一个状态传过来的c^{t-1}ct−1加上一些数值。
而h^tht则在不同节点下往往会有很大的区别。
下面具体对LSTMLSTM的内部结构来进行剖析。
首先使用LSTMLSTM的当前输入xtxt和上一个状态传递下来的h{t-1}ht−1拼接训练得到四个状态。
其中，zfzf，zizi，z^ozo是由拼接向量乘以权重矩阵之后，再通过一个sigmoidsigmoid激活函数转换成0到1之间的数值，来作为一种门控状态。而zz则是将结果通过一个tanhtanh激活函数将转换成-1到1之间的值（这里使用tanhtanh是因为这里是将其做为输入数据，而不是门控信号）。
下面开始进一步介绍这四个状态在LSTMLSTM内部的使用：
注：\odot⊙是Hadamard Product，也就是操作矩阵中对应的元素相乘，因此要求两个相乘矩阵是同型的。\oplus⊕则代表进行矩阵加法。
LSTMLSTM内部主要有三个阶段：
忘记阶段。这个阶段主要是对上一个节点传进来的输入进行选择性忘记。简单来说就是会 “忘记不重要的，记住重要的”。具体来说是通过计算得到的zfzf（ff表示forgetforget）来作为忘记门控，来控制上一个状态的c{t-1}ct−1哪些需要留哪些需要忘。
选择记忆阶段。这个阶段将这个阶段的输入有选择性地进行“记忆”。主要是会对输入 xtxt进行选择记忆。哪些重要则着重记录下来，哪些不重要，则少记一些。当前的输入内容由前面计算得到的表zz示。而选择的门控信号则是由zizi（ii代表informationinformation）来进行控制。
将上面两步得到的结果相加，即可得到传输给下一个状态的c^tct。也就是上图中的第一个公式。
输出阶段。这个阶段将决定哪些将会被当成当前状态的输出。主要是通过zozo来进行控制的。并且还对上一阶段得到进的coco（通过一个tanhtanh激活函数进行变化）。
与普通RNNRNN类似，输出ytyt往往最终也是通过htht变化得到。
以上，就是LSTMLSTM的内部结构。通过门控状态来控制传输状态，记住需要长时间记忆的，忘记不重要的信息；而不像普通的RNNRNN那样只能够“呆萌”地仅有一种记忆叠加方式。对很多需要“长期记忆”的任务来说，尤其好用。
但也因为引入了很多内容，导致参数变多，也使得训练难度加大了很多。因此很多时候我们往往会使用效果和LSTMLSTM相当但参数更少的GRUGRU来构建大训练量的模型。
GRUGRU（Gate Recurrent UnitGateRecurrentUnit）是RNNRNN的一种。和LSTMLSTM一样，也是为了解决长期记忆和反向传播中的梯度等问题而提出来的。
GRUGRU和LSTMLSTM在很多情况下实际表现上相差无几，那么为什么我们要使用新人GRUGRU（2014年提出）而不是相对经受了更多考验的LSTMLSTM（1997提出）呢?
引用论文中的一段话来说明GRUGRU的优势所在:
我们在我们的实验中选择GRUGRU是因为它的实验效果与LSTMLSTM相似，但是更易于计算。
简单来说就是贫穷限制了我们的计算能力…
相比LSTMLSTM，使用GRUGRU能够达到相当的效果，并且相比之下更容易进行训练，能够很大程度上提高训练效率，因此很多时候会更倾向于使用GRUGRU。
OK，那么为什么说GRUGRU更容易进行训练呢，下面开始介绍一下GRUGRU的内部结构。
GRUGRU的输入输出结构与普通的RNNRNN是一样的，如下图所示：
有一个当前的输入xtxt，和上一个节点传递下来的隐状态h{t-1}ht−1（hidden state)），这个隐状态包含了之前节点的相关信息。
结合xtxt和h{t-1}ht−1，GRUGRU会得到当前隐藏节点的输出ytyt和传递给下一个节点的隐状态htht。
那么，GRUGRU到底有什么特别之处呢？下面来对它的内部结构进行分析！
GRUGRU的内部结构如下图所示：
注：\odot⊙是Hadamard Product，也就是操作矩阵中对应的元素相乘，因此要求两个相乘矩阵是同型的。\oplus⊕则代表进行矩阵加法。
首先，我们先通过上一个传输下来的状态h{t-1}ht−1和当前节点的输入xtxt来获取两个门控状态。如下图，其中rr控制重置的门控(reset gate)，zz为控制更新的门控(update gate)。
Tips:\deltaδ为sigmoidsigmoid函数，通过这个函数可以将数据变换为0-1范围内的数值，从而来充当门控信号。
与LSTMLSTM分明的层次结构不同，下面将对GRUGRU进行一气呵成的介绍~~~ 请大家屏住呼吸，不要眨眼。
得到门控信号之后，首先使用重置门控来得到**“重置”之后的数据h’{t-1}=h{t-1}\odot rh′t−1=ht−1⊙r ，再将 h’{t-1}h′t−1与输入xtxt进行拼接，再通过一个tanhtanh激活函数来将数据放缩到-1~1**的范围内。即得到如下图所示的h’h′。
这里的h’h′主要是包含了当前输入的x^txt数据。有针对性地对h’h′添加到当前的隐藏状态，相当于“记忆了当前时刻的状态”，类似于LSTM的选择记忆阶段 。
最后介绍GRUGRU最关键的一个步骤，我们可以称之为**”更新记忆“**阶段。
在这个阶段，我们同时进行了遗忘了记忆两个步骤。我们使用了先前得到的更新门控zz（update gate）。
更新表达式：h^t=z\odot h^{t-1}+(1-z)\odot h’ht=z⊙ht−1+(1−z)⊙h′
首先再次强调一下，门控信号（这里的zz）的范围为0~1。门控信号越接近1，代表“记忆”下来的数据越多；而越接近0则代表“遗忘”的越多。
GRUGRU很聪明的一点就在于，我们使用了同一个门控zz就同时可以进行遗忘和选择记忆（LSTMLSTM则要使用多个门控）。
z\odot h^{t-1}z⊙ht−1 ：表示对原本隐藏状态的选择性“遗忘”。这里的zz可以想象成遗忘门（forget gate），忘记h^{t-1}ht−1维度中一些不重要的信息。
(1-z)\odot h’(1−z)⊙h′ ： 表示对包含当前节点信息的进h’h′行选择性“记忆”。与上面类似，这里的(1-z)(1−z)同理会忘记h’h′维度中的一些不重要的信息。或者，这里我们更应当看做是对h’h′维度中的某些信息进行选择。
h^t=z\odot h^{t-1}+(1-z)\odot h’ht=z⊙ht−1+(1−z)⊙h′ ：结合上述，这一步的操作就是忘记传递下来的h^{t-1}ht−1中的某些维度信息，并加入当前节点输入的某些维度信息。
可以看到，这里的遗忘zz和选择是(1-z)(1−z)联动的。也就是说，对于传递进来的维度信息，我们会进行选择性遗忘，即遗忘了多少权重(z)(z)，我们就会使用包含当前输入的 h’h′中所对应的权重进行弥补(1-z)(1−z)。以保持一种”恒定“状态。
GRUGRU是在2014年提出来的，而LSTMLSTM是1997年。它们的提出都是为了解决相似的问题，那么GRUGRU难免会参考LSTMLSTM的内部结构。那么他们之间的关系大概是怎么样的呢？这里简单介绍一下。
大家看到rr(reset gate)实际上与它的名字有点不符。我们仅仅使用它来获得了h’h′。
那么这里的h’h′实际上可以看成对应于LSTMLSTM中的hidden state；上一个节点传下来的则h^{t-1}ht−1对应于LSTMLSTM中的cell state。zz对应的则是LSTMLSTM中的z^fzf forget gate，那么我(1-z)(1−z)们似乎就可以看成是选择门z^izi了。
GRUGRU输入输出的结构与普通的RNNRNN相似，其中的内部思想与LSTMLSTM相似。
与LSTMLSTM相比，GRUGRU内部少了一个”门控“，参数比LSTMLSTM少，但是却也能够达到与LSTMLSTM相当的功能。考虑到硬件的计算能力和时间成本，因而很多时候我们也就会选择更加“实用”的GRUGRU。
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[1] 李宏毅，Deep Learning Tutorial，2018
[2] RNNRNN: https://zybuluo.com/hanbingtao/note/541458
[3] LSTMLSTM: https://zhuanlan.zhihu.com/p/32085405
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