【机器学习】决策树——属性连续值与缺失值处理（二）【转】

转载自：https://blog.csdn.net/u012328159/article/details/79396893
**注：本博客为周志华《机器学习》读书笔记，虽然有一些自己的理解，但是其中仍然有大量文字摘自周老师的《机器学习》书。
前面一篇博客分别介绍了如何构造决策树（根据信息增益，信息增益率，基尼指数等）和如何对决策树进行剪枝（预剪枝和后剪枝），但是前面两篇博客主要都是基于离散变量的，然而我们现实的机器学习任务中会遇到连续属性，这篇博客主要介绍决策树如何处理连续值。

【连续值处理】

因为连续属性的可取值数目不再有限，因此不能像前面处理离散属性枚举离散属性取值来对结点进行划分。因此需要连续属性离散化，常用的离散化策略是二分法，这个技术也是C4.5中采用的策略。下面来具体介绍下，如何采用二分法对连续属性离散化：

下面举个具体的例子，来看看到底是怎样划分的。给定数据集如下（数据集来自周志华《机器学习》，我已经把数据集放到github上了，地址为：西瓜数据集3.0）：

对于数据集中的属性“密度”，决策树开始学习时，根节点包含的17个训练样本在该属性上取值均不同。我们先把“密度”这些值从小到大排序：

根据上面计算 的公式，可得：

下面开始计算t 取不同值时的信息增益：

对属性“含糖率”，同样的计算，能够计算出：

再由第一篇博客中决策树（一）计算得到的各属性的信息增益值：

比较能够知道纹理的信息增益值最大，因此，“纹理”被选作根节点划分属性，下面只要重复上述过程递归的进行，就能构造出一颗决策树：

有一点需要注意的是 ：与离散属性不同，若当前结点划分属性为连续属性，该属性还可作为其后代结点的划分属性。**如下图所示的一颗决策树，“含糖率”这个属性在根节点用了一次，后代结点也用了一次，只是两次划分点取值不同。

【缺失值处理】

现实生活中的数据集中的样本通常在某系属性上是缺失的，如果属性值缺失的样本数量比较少，我们可以直接简单粗暴的把不完备的样本删除掉，但是如果有大量的样本都有属性值的缺失，那么就不能简单地删除，因为这样删除了大量的样本，对于机器学习模型而言损失了大量有用的信息，训练出来的模型性能会受到影响。这篇博客就来介绍在决策树中是如何处理属性值有缺失的样本的，本篇博客使用的数据集如下（数据集来自周志华《机器学习》）：

在决策树中处理含有缺失值的样本的时候，需要解决两个问题：

• 如何在属性值缺失的情况下进行划分属性的选择？（比如“色泽”这个属性有的样本在该属性上的值是缺失的，那么该如何计算“色泽”的信息增益？）
• 给定划分属性，若样本在该属性上的值是缺失的，那么该如何对这个样本进行划分？（即到底把这个样本划分到哪个结点里？）

下面就来介绍如何解决这两个问题：

比较发现，“纹理”在所有属性中的信息增益值最大，因此，“纹理”被选为划分属性，用于对根节点进行划分。划分结果为：“纹理=稍糊”分支：{7,9,13,14,17}，“纹理=清晰”分支：{1,2,3,4,5,6,15}，“纹理=模糊”分支：{11,12,16}。如下图所示：

那么问题来了，编号为{8,10}的样本在“纹理”这个属性上是缺失的，该被划分到哪个分支里？前面讲过了，这两个样本会同时进入到三个分支里，只不过进入到每个分支后权重会被调整（前面也说过，在刚开始时每个样本的权重都初始化为1）。编号为8的样本进入到三个分支里后，权重分别调整为5/15，7/15 和 3/15；编号为10的样本同样的操作和权重。因此，经过第一次划分后的决策树如下图所示：

我们都知道构造决策树的过程是一个递归过程，原来不打算继续介绍递归过程了，但是因为权重发生了变化，所以继续介绍下递归过程。接下来，递归执行“纹理=稍糊”这个分支，样本集D = {7，8，9，10，13，14，17}，共7个样本。如下图所示：

下面来看具体的计算过程：

对比能够发现属性“敲声”的星系增益值最大，因此选择“敲声”作为划分属性，划分后的决策树如下图所示：

接下来对分支{敲声 = 沉闷}即结点{9，14，17}进行划分，根据博客决策树（一）介绍的三种递归返回情形，结点{9,14,17}因为包含的样本全部属于同一类别，因此无需划分，直接把结点{9,14,17}标记为叶结点，如下图所示：

根据递归过程，接下来对分支“敲声 = 浊响”即结点{7，8，13}进行划分，计算过程和上面一样，虽然我也算过了，但是不再贴出来了，需要注意的是样本的权重是1/3。计算完比较能够知道属性“脐部”的信息增益值最大，因此选择“脐部”作为划分属性，划分完的决策树如下图所示：

接下来，继续，对于结点{13}，因为就一个样本了，直接把该结点标记为叶结点，类别为“坏瓜”；递归到结点{7，8}，因为样本类别相同，所以也标记为叶结点，类别为“好瓜”；递归到结点“脐部=平坦”，因为这个结点不包含任何样本为空集，因此，把该结点标记为叶结点，类别设置为父节点中多数类的类别，即为“好瓜”。因此“纹理=稍糊”这颗子树构造完毕，如下图所示：

接下来，只需递归的重复上述过程即可，即能训练出一颗完整的决策树，最终的决策树如下图所示（该图片来自西瓜书）：

遗留问题：
为什么是：
$Gain(D,a)=\rho \times Gain(\hat{D},a)=\rho \times \left(Ent(\hat{D})-\sum_{v=1}^{V}\hat{r_v}Ent(\hat{D}^v)\right)$

有些不是很懂，希望懂的给解释一下,谢谢大佬了