概述
在人脸相关应用中，获得的人脸图像常常形状各异，这时就需要对人脸形状进行归一化处理。人脸对齐就是将两个不同的形状进行归一化的过程，将一个形状尽可能地贴近另一个形状。
值得注意的是，在英语文献中，Face Alignment和Facial Landmark Detection常常混用，在我的系列博客里面，Facial Landmark Detection指的是人脸特征点检测，而Face Alignment指的是人脸对齐。人脸特征点检测是人脸对齐的必要步骤，现在有很多端到端(end to end)的方法不需要进行对齐，所以具体要不要对齐这一步需要结合实际分析。
人脸特征点检测的结果如下:
人脸对齐的效果如下，可以看到右边的脸已经和左边的脸形状大体一致：
言归正传，Procrustes analysis是一种用来分析形状分布的统计方法。Procrustes源于古希腊神话中的一个强盗， 他常切断受害者的肢体使其身形与床相匹配，类似地Procrustes分析方法是对两个形状进行归一化处理 。从数学上来讲，普氏分析就是利用最小二乘法寻找形状A到形状B的仿射变换 。
模型
仿射变换
在高中的几何课程中，一定学过平移，放缩和旋转变换。
将这三种变换写成矩阵形式：
这个式子中，s就是缩放比例， 就是旋转角度，最后的t代表平移的位移，其中R是一个正交矩阵。
Procrustes analysis
我们现在要解决如何旋转、平移和缩放第一个向量，使它们尽可能对齐第二个向量的点。一个想法是使用仿射变换将第一个图像变换覆盖第二个图像。如何判断这种对齐的效果呢？使用最小二乘法，使得变化后所有点与目标点距离和最小。
两个形状矩阵分别为p和q，矩阵的每一行代表一个特征点的x,y坐标，假设有68个特征点坐标，则。写成数学形式：
其中就是p矩阵的第i行。写成矩阵形式：
代表Frobenius范数，就是每一项的平方和。
求解
这个最小值问题是有解析解的。
先放上代码：
#Procrustes analysisdef transformation_from_points(points1, points2): points1 = points1.astype(numpy.float64) points2 = points2.astype(numpy.float64) c1 = numpy.mean(points1, axis=0) c2 = numpy.mean(points2, axis=0) points1 -= c1 points2 -= c2 s1 = numpy.std(points1) s2 = numpy.std(points2) points1 /= s1 points2 /= s2 U, S, Vt = numpy.linalg.svd(points1.T * points2) R = (U * Vt).T return numpy.vstack([numpy.hstack(((s2 / s1) * R, c2.T - (s2 / s1) * R * c1.T)), numpy.matrix([0., 0., 1.])])
根据
可以知道
是有解的。
需要将式子
进行一些变化，写成Wikipedia式子的形状。这里的变化就需要对原始点集p和q进行一些处理，使得最小化式子发生变化。
https://en.wikipedia.org/wiki/Procrustes_analysis#Ordinary_Procrustes_analysis
这里给出了对原始点集的变化步骤。结合代码来看：
c1 = numpy.mean(points1, axis=0) c2 = numpy.mean(points2, axis=0) points1 -= c1 points2 -= c2
这一步处理消除了平移T的影响。
s1 = numpy.std(points1) s2 = numpy.std(points2) points1 /= s1 points2 /= s2
这一步处理消除了缩放系数s的影响。
这两步处理以后，R就可以变成求解下面的式子：
这里的A，B不再是原始的数据点集，而是变成了处理以后点集。
根据维基百科，这个式子是可以求解的：
这样就解出了R：
U, S, Vt = numpy.linalg.svd(points1.T * points2) R = (U * Vt).T
源代码最后一步返回的是仿射变换矩阵
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