原题
给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例:
输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
解法
错误的正向思路
我一开始的想法是正向思路，从起点开始，每个点都有两种后续走法——向下或者向右，当然其中需要判断是否可以向下或者向右以及到达终点就停止。我想到的优化是当走到终点后，将当前走过的路径和记录下来，找出最小值，别的路径上在走的时候，如果比当前最小和大，就没必要继续了。
来看看我的代码：
class Solution {
private long min = Long.MAX_VALUE;
private int[][] map;
public int minPathSum(int[][] grid) {
map = grid;
dfs(0, 0, 0);
return (int)min;
}
public void dfs(int x, int y, long sum) {
sum += Long.valueOf(map[x][y]);
// 如果已经大于等于当前的最小值，那么就没有必要继续走了
if (sum >= min) {
return;
}
// 是否到达终点
if (x == map.length - 1 && y == map[x].length - 1) {
if (sum < min) {
min = sum;
}
return;
}
// 是否可以向右
if (y < map[x].length - 1) {
dfs(x, y + 1, sum);
}
// 是否可以向下
if (x < map.length - 1) {
dfs(x + 1, y, sum);
}
}
}
感觉很理想，然而现实是超时了，确实效率不高，除了第一列和第一行的点，其他点都有可能存在重复计算的可能。
逆向思路
既然正向不行，那咋们就逆向，从终点出发，以终点为起点，计算当前点到终点的最小值，最后推算出到达起点的最小值（这也是我看了别人的解法才知道的，看来自己的思路果然有问题）。这样就能保证每个点只计算一次，时间效率就是O(m * n)，看起来就高效多了。
接下来看看代码：
class Solution {
public int minPathSum(int[][] grid) {
// 从终点开始找起，算当前节点到终点的最小值
int right, down;
for (int i = grid.length - 1; i >= 0; i--) {
for (int j = grid[i].length - 1; j >= 0; j--) {
// 如果是终点，则保持不变
if (i == grid.length - 1 && j == grid[i].length - 1) {
continue;
}
// 如果没有右节点
if (j == grid[i].length - 1) {
// 那么就设置当前节点的值加上下节点的值
grid[i][j] += grid[i + 1][j];
continue;
}
// 如果没有下节点
if (i == grid.length - 1) {
// 那么就设置当前节点的值加上右节点的值
grid[i][j] += grid[i][j + 1];
continue;
}
// 如果下节点和右节点都有的话，则加上其中较小的那个
grid[i][j] += grid[i + 1][j] < grid[i][j + 1] ? grid[i + 1][j] : grid[i][j + 1];
}
}
return grid[0][0];
}
}
OK，通过了，执行用时：3ms，内存消耗：39.5MB。
核心思想就是：
从终点出发，每个点到终点的最小值 = 每个点当前的值 + Min(该点下一个点值, 该点右一个点)。
你想想，是否是如此呢？
既然知道了反向思路，我们可以优化一下我们之前的正向思路解法。
优化正向思路
之前的超时，是因为每个点可能会被计算多次，那么我们如果计算出，从起点出发，到每个节点的最小值，最终计算到终点，也应该是终点的最小值，你想想是不是这样呢？
来看看代码
class Solution {
public int minPathSum(int[][] grid) {
// 从起点开始找起，算当前节点到起点的最小值
// 总行数
int row = grid.length;
// 总列数
int col = grid[0].length;
// 左节点和上节点计算出的最小值
int left, up;
// 遍历并计算
for (int i = 0; i < row; i++) {
for (int j = 0; j < col; j++) {
// 起点不计算
if (i == 0 && j == 0) {
continue;
}
// 如果没有左节点
if (j == 0) {
// 就设置当前节点的值加上节点
grid[i][j] += grid[i - 1][j];
continue;
}
// 如果没有上节点
if (i == 0) {
// 就设置当前节点的值加上左节点
grid[i][j] += grid[i][j - 1];
continue;
}
// 如果左节点和上节点都存在，就加上其中最小的值
grid[i][j] += (grid[i][j - 1] < grid[i - 1][j] ? grid[i][j - 1] : grid[i - 1][j]);
}
}
return grid[row - 1][col - 1];
}
}
OK，也通过了，执行用时：3ms，内存消耗：42.4MB。
总结
以上就是这道题目我的解答过程了，不知道大家是否理解了。算法本来就是就是在做优化，如何能比之前更好更合适，就是优化了。希望能与大家共同进步。
有兴趣的话可以访问我的博客或者关注我的公众号、头条号，说不定会有意外的惊喜。
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