球体上两点之间平均距离预期值的偏差

Question

我试图通过取多个随机案例的平均值来验证各种 3-D 和 2-D 结构中两点之间的平均距离。几乎一直以来，除了球体表面上的点外，我都获得了相当不错的准确度。我的代码使用受此答案启发的高斯分布（请参阅第二个投票最多的答案）

这是蟒蛇代码：

import math as m

from random import uniform as u

sum = 0

for i in range(10000):

    x1 = u(-1, 1)

    y1 = u(-1, 1)

    x2 = u(-1, 1)

    y2 = u(-1, 1)

    z1 = u(-1, 1)

    z2 = u(-1, 1)

    if x1 == y1 == z1 == 0:

        sum += m.sqrt((x2) ** 2 + (y2) ** 2 + (z2) ** 2)

    elif x2 == y2 == z2 == 0:

        sum += m.sqrt((x1) ** 2 + (y1) ** 2 + (z1) ** 2)

    else:

        x1 /= m.sqrt(x1 ** 2 + y1 ** 2 + z1 ** 2)

        y1 /= m.sqrt(x1 ** 2 + y1 ** 2 + z1 ** 2)

        z1 /= m.sqrt(x1 ** 2 + y1 ** 2 + z1 ** 2)

        x2 /= m.sqrt(x2 ** 2 + y2 ** 2 + z2 ** 2)

        y2 /= m.sqrt(x2 ** 2 + y2 ** 2 + z2 ** 2)

        z2 /= m.sqrt(x2 ** 2 + y2 ** 2 + z2 ** 2)

        sum += m.sqrt((x1 - x2) ** 2 + (y1 - y2) ** 2 + (z1-z2) ** 2)

print(sum/10000)

预期值为 4/3，此处显示

可以说绝对差别不是很大。但在任何运行中，与预期值的百分比偏差都在 1% 左右。另一方面，在具有其他形状和相同数量随机案例的所有其他类似程序中，百分比偏差平均约为 0.05%。

此外，代码返回的值始终小于 4/3。这是我最关心的问题。

我的猜测是我以错误的方式实现了算法。任何帮助表示赞赏。

Answer 1

两个点的初始随机值包含在立方体中，而不是球体中。在按 1/length 缩放每个矢量后，矢量位于单位球体上，但它们在球体表面上分布不均匀。与每个面的中心相比，您往往会在立方体的角附近获得更多矢量。由于向量倾向于聚集在区域中，因此它们之间的距离平均值小于 4/3。这将达到目的： https ://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html此代码对我有用：from math import sqrtfrom random import uniformsum2 = 0size = 0while size < 100000:&nbsp; &nbsp; x1 = uniform(-1, 1)&nbsp; &nbsp; y1 = uniform(-1, 1)&nbsp; &nbsp; x2 = uniform(-1, 1)&nbsp; &nbsp; y2 = uniform(-1, 1)&nbsp; &nbsp; z1 = uniform(-1, 1)&nbsp; &nbsp; z2 = uniform(-1, 1)&nbsp; &nbsp; r1 = sqrt(x1**2 + y1**2 + z1**2)&nbsp; &nbsp; r2 = sqrt(x2**2 + y2**2 + z2**2)&nbsp; &nbsp; if r1 > 1 or r2 > 1 or x1==y1==z1==0 or x2==y2==z2==0: continue&nbsp; &nbsp; size += 1&nbsp; &nbsp; x1 /= r1&nbsp; &nbsp; y1 /= r1&nbsp; &nbsp; z1 /= r1&nbsp; &nbsp; x2 /= r2&nbsp; &nbsp; y2 /= r2&nbsp; &nbsp; z2 /= r2&nbsp; &nbsp; sum2 += sqrt((x1 - x2) ** 2 + (y1 - y2) ** 2 + (z1 - z2) ** 2)print(sum2/size)输出是：1.3337880809331075

Answer 2

正如所解释的那样，这个小型 MC 模拟的随机抽样没有以正确的方式进行。您想要提取均匀分布在球体表面的随机点。最简单的方法是使用极坐标并随机选择角度 theta（0-pi）和 phi（0-2pi）。如果你想保持笛卡尔坐标，你必须使用已知的变换矩阵将你的分布从笛卡尔坐标系转换为 3-d 极坐标系。