下确定系统解决方案python

Question

目标： 从欠定线性系统 (2x3) Ax = b 计算向量

第三个方程应该是统一方程 (x^2 + y^2 + z^2 = 1)。我有正确的矩阵系数，但无法得到正确的结果；尝试以这种方式求解Ax = b：

函数返回运算符的空空间。然后我正在设置矩阵并试图解决它。

from scipy.linalg import qr, null_space, svd

from scipy import transpose, compress

def null(A, eps=1e-17):

    u, s, vh = svd(A)

    padding = max(0,np.shape(A)[1]-np.shape(s)[0])

    null_mask = np.concatenate(((s <= eps), np.ones((padding,),dtype=bool)),axis=0)

    null_space = compress(null_mask, vh, axis=0)

    return transpose(null_space)

我们有 3 个顶点设置一个三角形：

vh0 = [0., -1., 0.]

vh1 = [-0.03806, -0.98078501, -0.191341]

vh2 = [-0.074658, -0.98078501, -0.18024001]

# normal vector of vh0

normal_vec = [ 0., -0.23760592, 0.]

cap_vec10 = np.subtract(vh1, vh0)

cap_vec20 = np.subtract(vh2, vh0)

a1 = np.array(np.subtract(cap_vec20, cap_vec10))

a2 = np.array(np.dot(-1, capvec10))

# orientation bit of the normal vector

ob = np.sign(np.linalg.det([x_k, x_k1, normal_vec])) 

# normal vector of vertex vh1 that I want to get solving the system

normal_vec1 = [-0.04744975, -0.97674069, -0.209108]

Lm   = np.dot(np.subtract(vh2, vh1), normal_vec1) 

Lm_1 = np.dot(np.subtract(vh0, vh1), normal_vec1) 

# solving under determined system

A = np.array([a1, a2]) 

b = np.array([Lm, Lm_1])

x_lstsq = np.linalg.lstsq(A, b)[0]

wanted_norm = np.sqrt(abs(1 - (np.linalg.norm(x_lstsq)*np.linalg.norm(x_lstsq))))

Z = null(A)*wanted_norm 

new_normal_vec = np.add(Z[:, 0], x_lstsq)

if np.sign(np.linalg.det([x_k, x_k1, Z[:, 0]])) != ob:

    new_normal_vec[list(np.abs(x_lstsq)).index(min(np.abs(x_lstsq)))] *= ob

print("should_be:   {}\ncounted_nv:  {}".format(np.round(normal_vec1, 3), np.round(new_normal_vec, 3)))

normal_vec1 是我需要的向量。并且对于两个向量 Z*vector == 1。

代码中的系数： L_m = < vector, normal_vector >, <> - 标量乘法

据我所知 ，两个方程设置了一条线，归一化给出了一个统一的球体。所以我的解决方案是线和统一球的交叉点。但是，也无法理解如何获得这两种解决方案。

Answer 1

目标是：基本上解决线性下确定系统 2x3 的约束，即结果向量应归一化。我所做的给出了一种解决方案（因为 3D 空间中有 0 到 2 个向量）：1. 计算最小二乘解：x_lstsq&nbsp;=&nbsp;np.linalg.lstsq(A,&nbsp;b)[0]2.计算的零空间（算子A的核）wanted_norm&nbsp;=&nbsp;np.sqrt(abs(1&nbsp;-&nbsp;(np.linalg.norm(x_lstsq)*np.linalg.norm(x_lstsq)))) Z&nbsp;=&nbsp;null(A)*wanted_norm3.计算得到的向量result&nbsp;=&nbsp;np.add(Z[:,&nbsp;0],&nbsp;x_lstsq)通过这种方式，我得到了两个对我的项目不正确的向量之一，但对于这个特定的线性系统是正确的。所以我的问题是：如何让第二个执行相同的步骤（通过无效空间）。在找解的过程中，我又想到了一个：基本上是手工解这个线性系统，用归一化方程作为第三个方程。在几何上，前两个方程都设置了两个平面。这些平面的交叉给出了一条线。这样的方程：x^2 + y^2 + z^2 = 1 设置统一球体。所以，这条线和这个球体的交叉给了我们两个点。因此，求解其中一个坐标的平方方程可以得到 0 到 2 个根（从 0 到 2 个向量）。

Answer 2

尝试使用伪逆 np.linalg.pinv 函数：https&nbsp;://docs.scipy.org/doc/numpy-1.15.0/reference/generated/numpy.linalg.pinv.html