scc 的 Kosaraju 算法

Question

任何人都可以向我解释 Kosaraju 寻找连通分量的算法背后的逻辑吗？

我已阅读说明，但我无法理解反向图上的 DFS 如何检测强连接组件的数量。

def dfs(visited, stack, adj, x):

    visited[x] = 1

    for neighbor in adj[x]:

        if (visited[neighbor]==0):

            dfs(visited, stack, adj, neighbor)

    stack.insert(0, x)

    return stack, visited

def reverse_dfs(visited, adj, x, cc):

    visited[x] = 1

    for neighbor in adj[x]:

        if (visited[neighbor]==0):

            cc += 1

            reverse_dfs(visited, adj, neighbor,cc)

    print(x)

    return cc

def reverse_graph(adj):

    vertex_num = len(adj)

    new_adj = [ [] for _ in range(vertex_num)]

    for i in range(vertex_num):

        for j in adj[i]:

            new_adj[j].append(i)

    return new_adj

def find_post_order(adj):

    vertex_num = len(adj)

    visited = [0] * vertex_num

    stack = []

    for vertex in range(vertex_num):

        if visited[vertex] == 0:

            stack, visited = dfs(visited, stack, adj, vertex)

    return stack

def number_of_strongly_connected_components(adj):

    vertex_num = len(adj)

    new_adj = reverse_graph(adj)

    stack = find_post_order(adj)

    visited = [0] * vertex_num

    cc_num = 0

    while (stack):

        vertex = stack.pop(0)

        print(vertex)

        print('------')

        if visited[vertex] == 0:

            cc_num = reverse_dfs(visited, new_adj, vertex, cc_num)

    return cc_num

if __name__ == '__main__':

    input = sys.stdin.read()

    data = list(map(int, input.split()))

    n, m = data[0:2]

    data = data[2:]

    edges = list(zip(data[0:(2 * m):2], data[1:(2 * m):2]))

    adj = [[] for _ in range(n)]

    for (a, b) in edges:

        adj[a - 1].append(b - 1)

    print(number_of_strongly_connected_components(adj))

在上面你可以找到我的实现。我猜初始 DFS 和反向操作已正确完成，但我无法正确执行第二个 DFS。提前致谢。

Answer 1

您应该注意到的第一件事是，图及其反向的强连通分量集是相同的。实际上，该算法实际上是在反转图中找到了一组强连通分量，而不是原始图（但没关系，因为两个图具有相同的 SCC）。第一次 DFS 执行会产生一个以特定顺序保存顶点的堆栈，这样当第二个 DFS 以该顺序（在反转图上）在顶点上执行时，它就会正确计算 SCC。因此，运行第一个 DFS 的全部目的是找到图顶点的排序，该排序服务于在反向图上执行 DFS 算法。现在我将解释堆栈中顶点顺序的属性是什么，以及它如何在反转图上执行 DFS。那么栈的属性是什么？想象 S1 和 S2 是图中的两个强连通分量，在逆向图中，S2 可以从 S1 到达。显然，S1 也无法从 S2 到达，因为如果是这种情况，S1 和 S2 将合并为一个组件。设 x 是 S1 中顶点中的顶部顶点（即，S1 中的所有其他顶点在堆栈中都低于 x）。类似地，让 y 成为 S2 中顶点中的顶部顶点（同样，S2 中的所有其他顶点在堆栈中都低于 y）。属性是y（属于S2）在堆栈中高于x（属于S1）。为什么这个属性有帮助？当我们在逆向图上执行DFS时，我们是按照堆栈顺序来做的。特别是，我们在探索 x 之前探索 y。在探索 y 时，我们探索 S2 的每个顶点，由于 S1 的任何顶点都不能从 S2 到达，所以我们在探索 S1 的任何顶点之前探索 S2 的所有顶点。但这适用于任何一对连接的组件，这样一个组件可以从另一个组件到达。特别是，堆栈顶部的顶点属于汇组件，在我们完成对汇组件的探索之后，相对于尚未探索的顶点所诱导的图，顶部顶点再次属于汇。因此，该算法正确地计算了逆向图中的所有强连通分量，如前所述，它们与原始图中的相同。