为什么小数不能精确地用二进制表示？

Question

为什么小数不能精确地用二进制表示？

有几个关于浮点表示法的问题贴在了上面。例如，小数0.1没有精确的二进制表示，因此使用=运算符将其与另一个浮点数进行比较是危险的。我理解浮点表示法背后的原则。

我不明白的是，为什么从数学的角度来看，小数点右边的数字比左边的数字更“特殊”呢？

例如，数字61.0具有精确的二进制表示，因为任何数字的整数部分总是精确的。但数字6.10并不准确。我所做的只是把小数点移了一个位置，然后我突然从Exactopia移到了Indextville。从数学上讲，这两个数字之间应该没有本质上的区别-它们只是数字。

相反，如果我将小数点移到另一个方向产生610，我仍然在Exactopia。我可以继续往那个方向走(6100，610000000，610000000000000)，它们仍然是精确的，精确的。但一旦小数点跨过某个阈值，数字就不再准确。

到底怎么回事？

编辑：为了澄清，我想远离讨论行业标准的表示，如ieee，并坚持我认为是数学上“纯”的方式。在基数10中，位置值是：

... 1000  100   10    1   1/10  1/100 ...

在二进制文件中，它们将是：

... 8    4    2    1    1/2  1/4  1/8 ...

对这些数字也没有任意的限制。位置无限期地向左和向右增加。

Answer 1

不精确的原因是数基的性质。在基数10中，不能准确地表示1/3。变成0.333.。然而，在基3中，1/3精确地表示为0.1，1/2是无限重复的十进制(tresimal？)。可以有限表示的值取决于基的唯一素数，因此基30[2*3*5]可以表示比基2或基10更多的分数。基础210更多[2*3*5*7]。这是一个与“浮点错误”不同的问题。不准确是因为几十亿的数值分布在更大的范围内。因此，如果您有23位表示此意义，则只能表示约830万个不同的值。然后，8位指数提供了256个选项来分配这些值.这个方案允许在0附近出现最精确的小数，所以你可以差不多了代表0.1。

Answer 2

例如，数字61.0具有精确的二进制表示，因为任何数字的整数部分总是精确的。但数字6.10并不准确。我所做的只是把小数点移了一个位置，然后我突然从Exactopia移到了Indextville。从数学上讲，这两个数字之间应该没有本质上的区别-它们只是数字。.让我们暂时离开基数10和2的细节。我们来问问基地b，哪些数字有终止表示，哪些数字没有？片刻的思考告诉我们一个数字x终止b-当且仅当存在整数时表示n使.x b^n是个整数。例如，x = 11/500有一个终止的10-表示，因为我们可以选择n = 3然后x b^n = 22，一个整数。不过x = 1/3不会，因为不管n我们选择我们将无法摆脱3。第二个例子促使我们考虑因素，我们可以看到理性 x = p/q(假设是最低的)，我们可以通过比较b和q。如果q是否有任何素因子不在素因式分解中？b，我们永远找不到合适的n消除这些因素。因此，对于基础10，任何 p/q哪里q具有除2或5以外的素数因子将不会有终止表示。现在回到基数10和2，我们看到任何带有终止的10-表示的Rational都是形式的。p/q准确时间q只有2S和5在它的素数分解中，这个数将有一个终止的2-表示，正好在什么时候。q只有2在它的主要保理中。但其中一种情况是另一种情况的子集！什么时候都行q只有2S在它的素因式分解中显然是也真说q只有2S和5S在它的素因式分解中或者，换句话说，什么时候都行p/q有一个终止的2-表示法，p/q有一个终止的10-表示。相反，不等等-任何时候q在它的素因式分解中有一个5，它将有一个终止的10-表示，但是不终止的2-表示法这是0.1其他答案提到的例子。所以我们得到了你问题的答案-因为2的素数是10的素数的子集，所以所有的2-终止数都是10-终止数，反之亦然。不是61对6.1，而是10对2。作为结束语，如果有些古怪的人使用(比方说)基数17，而我们的计算机使用的是基数5，那么你的直觉就不会被这误导否(非零，非整数)在这两种情况下终止的数字！