某些数学公式的推导是怎么想出来的?

Question

上数学课,老师只介绍公式的推导过程,却从不讲发现这些推导的人他是怎么想出来的,对此我一直不解.除去一些显而易见的推导比如因为1+1=2所以2(1+1)=4,我记得高中里的数学就有些公式我压根不知道是怎么得到的.比如.唉算了我全忘了.就说现在我遇到的一个吧.
书上说欧拉方程一个有趣的性质是对于任意小于n且与n互素的正整数a,都有a^(Φ(n))modn=1
两边乘以a,得到a^(Φ(n)+1)modn=a//shit,作者怎么知道乘以a能得到一个强大的公式?
这个等式很强,因为对于某些等式c=m^emodn,该等式可以让我们找出一个值d,使得c^dmodn=m
像上面的还是比较简单的,有的公式变换我根本不可能想到,比如等式两边乘以一个a^b+c后能得到另一用途之类的,唉是不是我智商太低啊?

Answer 1

跟数学的感情长期推导方程可以培养跟数的感情，这一点非常有用哦。这些小的想法推出来的各种性质公式什么的再生产中还是有非常广泛的应用的。除了这些理论推导之外（也就是跟程序开发相关的公式推导）比如说归一化的各种配项方程如果你能再算法实现的时候想到一个归一化因子，那就是一篇很好的文章了。能减少很多计算量，提升数值计算精度。我们研究算法的时候经常绞尽脑汁想这些方程怎么推。不是你智商低哦你能去想这种问题就已经很厉害了。只是经验不足。如果你以后做数值计算的话天天就解决这种问题啦。

Answer 2

巴纳赫说：“数学家能找到定理之间的相似之处，优秀的数学家能看到证明之间的相似之处，卓越的数学家能察觉到数学分支之间的相似之处。最后，究级的数学家能俯瞰这些相似之处之间的相似之处。”