通过"数学归纳法"开始论证高度为h的红黑树，它的包含的内节点个数至少为 2bh(x)-1个"

Answer 1

(01) 当树的高度h=0时，    内节点个数是0，bh(x) 为0，2bh(x)-1 也为 0。显然，原命题成立。(02) 当h>0，且树的高度为 h-1 时，它包含的节点个数至少为 2bh(x)-1-1。这个是根据(01)推断出来的！    下面，由树的高度为 h-1 的已知条件推出“树的高度为 h 时，它所包含的节点树为 2bh(x)-1”。    当树的高度为 h 时，    对于节点x(x为根节点)，其黑高度为bh(x)。    对于节点x的左右子树，它们黑高度为 bh(x) 或者 bh(x)-1。    根据(02)的已知条件，我们已知 "x的左右子树，即高度为 h-1 的节点，它包含的节点至少为 2bh(x)-1-1 个"；    所以，节点x所包含的节点至少为 ( 2bh(x)-1-1 ) + ( 2bh(x)-1-1 ) + 1 = 2^bh(x)-1。即节点x所包含的节点至少为 2bh(x)-1。    因此，原命题成立。    由(01)、(02)得出，"高度为h的红黑树，它的包含的内节点个数至少为 2^bh(x)-1个"。    因此，“一棵含有n个节点的红黑树的高度至多为2log(n+1)”。

Answer 2

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