python 中无限极限的集成

Question

我在（0，无限）限制内积分时遇到困难。我正在尝试做这个 Jupyter 笔记本（不知道这是否是相关信息）。代码如下：

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import scipy as sc

import math

from scipy.integrate import quad

def integrand3(x,z,m,n):

    return ((np.cosh(x))**m)*((np.sinh(x))**n)*(np.exp(-z*np.cosh(x)))

def IgK0(z,m,n):

    IntK1 = quad(integrand3, 0, 1, args=(z,m,n))

    return IntK1

IgK0(1,1,1)

这给出了结果：

(0.19224739693489237, 2.1343748650136926e-15)

这没关系。但是当我用无穷大替换上限时，我得到“nan”作为输出。请看下面的代码：

def IgKI(z,m,n):

    IntKI = quad(integrand3, 0, np.inf, args=(z,m,n))

    return IntKI

当我使用 (0,0) 值作为 (m,n) 时，尽管存在一些我不明白的错误，但至少我得到了一些答案。

IgKI(1,0,0)

<ipython-input-53-9b9d0956fa85>:2: RuntimeWarning: overflow encountered in cosh

  return ((np.cosh(x))**m)*((np.sinh(x))**n)*(np.exp(-z*np.cosh(x)))

<ipython-input-53-9b9d0956fa85>:2: RuntimeWarning: overflow encountered in sinh

  return ((np.cosh(x))**m)*((np.sinh(x))**n)*(np.exp(-z*np.cosh(x)))

(0.42102443824067737, 1.3628527263018718e-08)

但是当我对 (m,n) 使用任何其他值时，我得到以下结果：

IgKI(1,0,1)

<ipython-input-53-9b9d0956fa85>:2: RuntimeWarning: overflow encountered in cosh

  return ((np.cosh(x))**m)*((np.sinh(x))**n)*(np.exp(-z*np.cosh(x)))

<ipython-input-53-9b9d0956fa85>:2: RuntimeWarning: overflow encountered in sinh

  return ((np.cosh(x))**m)*((np.sinh(x))**n)*(np.exp(-z*np.cosh(x)))

<ipython-input-53-9b9d0956fa85>:2: RuntimeWarning: invalid value encountered in double_scalars

  return ((np.cosh(x))**m)*((np.sinh(x))**n)*(np.exp(-z*np.cosh(x)))

<ipython-input-76-9bee7a5d6456>:2: IntegrationWarning: The occurrence of roundoff error is detected, which prevents 

  the requested tolerance from being achieved.  The error may be 

  underestimated.

  IntKI = quad(integrand3, 0, np.inf, args=(z,m,n))

(nan, nan)

那么，我做错了什么？

Answer 1

错误很明显——你遇到了溢出，一切都崩溃了。这是由于您的功能很快就出现了分歧：>>> [np.cosh(10**x) for x in range(5)]__main__:1: RuntimeWarning: overflow encountered in cosh[1.5430806348152437, 11013.232920103324, 1.3440585709080678e+43, inf, inf]在 1000 时，Python 已经无法计算cosh（例如）。事实上，积分(1,1,1)到 100 就可以了。由于这是数值积分，因此需要计算界限处的值（无穷大也将转换为界限，但您可以仅使用 1000 进行测试）。正如您从警告中看到的，这意味着函数的每个部分都是单独计算的，更不用说您将其求幂并对指数求幂。这个库不能满足你的需求。您可以尝试使用符号集成sympy，或者更专用的工具（例如 Mathematica）。