Python - 计算 arcsin 时不准确

Question

我正在尝试在不使用任何外部库的情况下在 Python 中实现 arcsin。

这是我的代码：

from time import process_time as pt

class TrigoCalc(metaclass=__readonly):

    # This class evaluates various Trigonometric functions 

    # including Inverse Trigonometric functions

    def __setattr__(self, name, value):

        raise Exception("Value can't be changed")

    

    @staticmethod

    def asin(x):

        '''Implementation from Taylor series

        asin(x) => summation[(2k)! * x^(2k + 1) / (2^(2k) * (k!)^2 * (2k + 1))]

                  k = [0, inf)

        x should be real

        '''

        # a0 = 1                                                                           

        # a1 = 1/(2*3)                                                                     

        # a2 = 1/2 * 3/(4*5) 

        # a3 = 1/2 * 3/4 * 5/(6*7)

        # a4 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/(8*9)

        # a5 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/(10*11)

        # a6 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/10 * 11/(12*13)

        # a7 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/10 * 11/12 * 13/(14*15)

        # a8 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/10 * 11/12 * 13/14 * 15/(16*17)

        # a9 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/10 * 11/12 * 13/14 * 15/16 * 17/(18*19)

        # a10 = 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * 9/10 * 11/12 * 13/14 * 15/16 * 17/18 * 19/(20*21)

        

        # taking 10 coefficients for arriving at a common sequence

        

        # N = n, D = n + 1; (N/D) --> Multiplication, number of times the coefficient number, n >= 1

        

        start_time = pt()

        coeff_list = []

        NUM_ITER = 10000

        for k in range(NUM_ITER):

            if k == 0:

                coeff_list.append(1)

            else:

                N = 1

                D = N + 1

                C = N/D

                if k >= 2:

                    for i in range(k-1):

                        N += 2; D += 2

                        C = C * N/D

                coeff_list.append(C)

        

Answer 1

的问题arcsin(1)是它arcsin(x)在 x=1 处垂直（导数无限增长）。像泰勒级数这样的多项式逼近跟不上。您的收敛速度非常慢，并且需要大量的项才能获得合适的近似值。你需要改变你处理问题的方式。例如，对于小的 x，y = sin(pi/2 - x)近似为1 - x^2/2，您可以从中推导出近似值asin(y) = pi/2 - sqrt(2 - 2*y)。此近似值适用于非常接近 1 的值 - 您可以直接使用它。如果你努力一点，你可以证明确切的身份asin(x) = pi/2 - 2*asin( sqrt( (1-x)/2 ) )使用此恒等式，您可以使用适用于接近 0 的asin(x)x 的现有函数来计算接近 1 的 x 。asin例如：要计算，asin(0.99)您将计算：asin(0.99) = pi/2 - 2*asin( sqrt( (1-.99)/2 ) )            = pi/2 - 2*asin( sqrt(.005) )            = pi/2 - 2*asin(0.07071067811865475)... 然后您将使用您现有的算法来获得 的高质量近似值asin(0.07071067811865475)。这是在生产质量数学库实现中使用的技术 - 例如参见OpenLibm或fdlibm。

Answer 2

一个非常基本的近似值将给出sum from 0 to N近似值（以弧度表示）。在这里，您以度为单位给出结果，因为度和弧度之间存在大致的比率，您需要将arcsin 设置为近似值。arcsin1e(-N)1e2NUM_ITER = 1e(N+2)1e(-N)因此，对于您的具体问题，您需要使用N = 1（大约 1 分）进行测试，因此NUM_ITER = 1e(1+2) = 1,000. 这一点都不精确，但可以让您了解您正在寻找的价值。然后，如果您想查找确切的值，我看不到每次都使用精确的数学方法（无论 x.point 精度如何）。但是，您可以使用二分法算法来查找NUM_ITER，如果它是您算法的目标。第一近似值将减少您的计算时间。精确的近似值来自比率 orx^O(n)和4^O(n),4^O(n)更大。我们可以用 来近似求和项O(1/10^n)。如果有人可以进行精确的微积分，我将非常高兴看到它。