将 PLL 频率计算中的整数舍入误差降至最低

Question

在特定的STM32微控制器上，系统时钟由PLL驱动，其频率由以下公式给出：F

F := (S/M * (N + K/8192)) / P

S是 PLL 输入源频率（或 64 MHz）。1 - 64000000

其他因素、、和是用户可以修改以校准频率的参数。根据我使用的 SDK 中的位掩码判断，每个位掩码的值可以限制为 、 、 和 的最大值。MNKPM < 64N < 512K < 8192P < 128

不幸的是，我的目标固件不支持FPU，因此浮点算术已经出来了。相反，我需要使用纯整数算术进行计算。F

我试图重新排列给定的公式，并牢记3个目标：

1. 扩展和分布所有乘法因子

2. 最小化每个分母中的因子数

3. 最大限度地减少执行的除法总数

4. 如果两个表达式具有相同数量的除法，请选择其分母具有最小最大值的表达式（在前面的段落中标识）

但是，我每次尝试扩展和重新排列表达式都会产生比原始公式更大的错误，因为它最初是逐字逐句表示的。

为了测试公式的不同排列和比较错误，我写了一个小的Go程序，你可以在这里在线运行。

是否可以改进此公式，以便在使用整数算术时将误差降至最低？另外，我上面列出的任何目标是否不正确或无用？

Answer 1

我拿走了你的程序（你的第一个括号是多余的，所以我删除了）： S            K--- * ( N + ------ ) M           8192--------------------        P并运行了QuickMath [1]，我得到了这个：S * (8192 * N + K)------------------   8192 * M * P或在 Go 代码中：S * (8192 * N + K) / (8192 * M * P)因此，它确实减少了除法的数量。您可以通过拉出下限常量来进一步改进它：S * (8192 * N + K) / (M * P) >> 13https://quickmath.com

Answer 2

通过@StevenPerry来查看答案，我意识到大多数误差是由我们必须表示的有限精度引起的 。然后，此错误会传播到其他因素和红利中。K/8192然而，推迟这种除法通常会导致整数溢出，然后再达到它。因此，不幸的是，我发现的解决方案取决于将这些操作数扩大到64位。结果与其他答案具有相同的形式，但必须强调的是，将操作数扩大到64位至关重要。在 Go 源代码中，如下所示：var S, N, M, P, K uint32 ... F := uint32(uint64(S) * uint64(8192*N+K) / uint64(8192*M*P))若要查看所有这三个表达式的准确性，请在 Go Playground 上自行运行代码。