明月笑刀无情
算法大全（C，C++）一、 数论算法1．求两数的最大公约数function gcd(a,b:integer):integer;beginif b=0 then gcd:=aelse gcd:=gcd (b,a mod b);end ;2．求两数的最小公倍数function lcm(a,b:integer):integer;beginif a<b then swap(a,b);lcm:=a;while lcm mod b>0 do inc(lcm,a);end;3．素数的求法A.小范围内判断一个数是否为质数：function prime (n: integer): Boolean;var I: integer;beginfor I:=2 to trunc(sqrt(n)) doif n mod I=0 then beginprime:=false; exit;end;prime:=true;end;B.判断longint范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）：procedure getprime;vari,j:longint;p:array[1..50000] of boolean;beginfillchar(p,sizeof(p),true);p[1]:=false;i:=2;while i<50000 do beginif p[i] then beginj:=i*2;while j<50000 do beginp[j]:=false;inc(j,i);end;end;inc(i);end;l:=0;for i:=1 to 50000 doif p[i] then begininc(l);pr[l]:=i;end;end;{getprime}function prime(x:longint):integer;var i:integer;beginprime:=false;for i:=1 to l doif pr[i]>=x then breakelse if x mod pr[i]=0 then exit;prime:=true;end;{prime}二、图论算法1．最小生成树A.Prim算法：procedure prim(v0:integer);varlowcost,closest:array[1..maxn] of integer;i,j,k,min:integer;beginfor i:=1 to n do beginlowcost[i]:=cost[v0,i];closest[i]:=v0;end;for i:=1 to n-1 do begin{寻找离生成树最近的未加入顶点k}min:=maxlongint;for j:=1 to n doif (lowcost[j]<min) and (lowcost[j]<>0) then beginmin:=lowcost[j];k:=j;end;lowcost[k]:=0; {将顶点k加入生成树}{生成树中增加一条新的边k到closest[k]}{修正各点的lowcost和closest值}for j:=1 to n doif cost[k,j]<lwocost[j] then beginlowcost[j]:=cost[k,j];closest[j]:=k;end;end;end;{prim}B.Kruskal算法：(贪心)按权值递增顺序删去图中的边，若不形成回路则将此边加入最小生成树。function find(v:integer):integer; {返回顶点v所在的集合}var i:integer;begini:=1;while (i<=n) and (not v in vset[i]) do inc(i);if i<=n then find:=i else find:=0;end;procedure kruskal;vartot,i,j:integer;beginfor i:=1 to n do vset[i]:=[i];{初始化定义n个集合，第I个集合包含一个元素I}p:=n-1; q:=1; tot:=0; {p为尚待加入的边数，q为边集指针}sort;{对所有边按权值递增排序，存于e[I]中，e[I].v1与e[I].v2为边I所连接的两个顶点的序号，e[I].len为第I条边的长度}while p>0 do begini:=find(e[q].v1);j:=find(e[q].v2);if i<>j then begininc(tot,e[q].len);vset[i]:=vset[i]+vset[j];vset[j]:=[];dec(p);end;inc(q);end;writeln(tot);end;2.最短路径A.标号法求解单源点最短路径：vara:array[1..maxn,1..maxn] of integer;b:array[1..maxn] of integer; {b[i]指顶点i到源点的最短路径}mark:array[1..maxn] of boolean;procedure bhf;varbest,best_j:integer;beginfillchar(mark,sizeof(mark),false);mark[1]:=true; b[1]:=0;{1为源点}repeatbest:=0;for i:=1 to n doIf mark[i] then {对每一个已计算出最短路径的点}for j:=1 to n doif (not mark[j]) and (a[i,j]>0) thenif (best=0) or (b[i]+a[i,j]<best) then beginbest:=b[i]+a[i,j]; best_j:=j;end;if best>0 then beginb[best_j]:=best；mark[best_j]:=true;end;until best=0;end;{bhf}B.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径：procedure floyed;beginfor I:=1 to n dofor j:=1 to n doif a[I,j]>0 then p[I,j]:=I else p[I,j]:=0; {p[I,j]表示I到j的最短路径上j的前驱结点}for k:=1 to n do {枚举中间结点}for i:=1 to n dofor j:=1 to n doif a[i,k]+a[j,k]<a[i,j] then begina[i,j]:=a[i,k]+a[k,j];p[I,j]:=p[k,j];end;end;C. Dijkstra 算法：vara:array[1..maxn,1..maxn] of integer;b,pre:array[1..maxn] of integer; {pre[i]指最短路径上I的前驱结点}mark:array[1..maxn] of boolean;procedure dijkstra(v0:integer);beginfillchar(mark,sizeof(mark),false);for i:=1 to n do begind[i]:=a[v0,i];if d[i]<>0 then pre[i]:=v0 else pre[i]:=0;end;mark[v0]:=true;repeat {每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数}min:=maxint; u:=0; {u记录离1集合最近的结点}for i:=1 to n doif (not mark[i]) and (d[i]<min) then beginu:=i; min:=d[i];end;if u<>0 then beginmark[u]:=true;for i:=1 to n doif (not mark[i]) and (a[u,i]+d[u]<d[i]) then begind[i]:=a[u,i]+d[u];pre[i]:=u;end;end;until u=0;end;3.计算图的传递闭包Procedure Longlink;VarT:array[1..maxn,1..maxn] of boolean;BeginFillchar(t,sizeof(t),false);For k:=1 to n doFor I:=1 to n doFor j:=1 to n do T[I,j]:=t[I,j] or (t[I,k] and t[k,j]);End;4．无向图的连通分量A.深度优先procedure dfs ( now,color: integer);beginfor i:=1 to n doif a[now,i] and c[i]=0 then begin {对结点I染色}c[i]:=color;dfs(I,color);end;end;B 宽度优先（种子染色法）5．关键路径几个定义： 顶点1为源点，n为汇点。a. 顶点事件最早发生时间Ve[j], Ve [j] = max{ Ve [j] + w[I,j] },其中Ve (1) = 0;b. 顶点事件最晚发生时间 Vl[j], Vl [j] = min{ Vl[j] – w[I,j] },其中 Vl(n) = Ve(n);c. 边活动最早开始时间 Ee[I], 若边I由<j,k>表示，则Ee[I] = Ve[j];d. 边活动最晚开始时间 El[I], 若边I由<j,k>表示，则El[I] = Vl[k] – w[j,k];若 Ee[j] = El[j] ，则活动j为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。求解方法：a. 从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve;b. 从汇点起topsort,求Vl;c. 算Ee 和 El;6．拓扑排序找入度为0的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。例 寻找一数列，其中任意连续p项之和为正，任意q 项之和为负，若不存在则输出NO.7.回路问题Euler回路(DFS)定义：经过图的每条边仅一次的回路。（充要条件：图连同且无奇点）Hamilton回路定义：经过图的每个顶点仅一次的回路。一笔画充要条件：图连通且奇点个数为0个或2个。9．判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法x[I],y[I],t[I]分别表示第I条边的起点，终点和权。共n个结点和m条边。procedure bellman-fordbeginfor I:=0 to n-1 do d[I]:=+infinitive;d[0]:=0;for I:=1 to n-1 dofor j:=1 to m do {枚举每一条边}if d[x[j]]+t[j]<d[y[j]] then d[y[j]]:=d[x[j]]+t[j];for I:=1 to m doif d[x[j]]+t[j]<d[y[j]] then return false else return true;end;10．第n最短路径问题*第二最短路径：每举最短路径上的每条边，每次删除一条，然后求新图的最短路径，取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。*同理，第n最短路径可在求解第n-1最短路径的基础上求解。三、背包问题*部分背包问题可有贪心法求解：计算Pi/Wi数据结构：w[i]:第i个背包的重量；p[i]:第i个背包的价值；1．0-1背包： 每个背包只能使用一次或有限次(可转化为一次)：A.求最多可放入的重量。NOIP2001 装箱问题有一个箱子容量为v(正整数，o≤v≤20000)，同时有n个物品(o≤n≤30)，每个物品有一个体积 (正整数)。要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。l 搜索方法procedure search(k,v:integer); {搜索第k个物品，剩余空间为v}var i,j:integer;beginif v<best then best:=v;if v-(s[n]-s[k-1])>=best then exit; {s[n]为前n个物品的重量和}if k<=n then beginif v>w[k] then search(k+1,v-w[k]);search(k+1,v);end;end;l DPF[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。实现:将最优化问题转化为判定性问题f [I, j] = f [ i-1, j-w[i] ] (w[I]<=j<=v) 边界：f[0,0]:=true.For I:=1 to n doFor j:=w[I] to v do F[I,j]:=f[I-1,j-w[I]];优化：当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。F[0]:=true;For I:=1 to n do beginF1:=f;For j:=w[I] to v doIf f[j-w[I]] then f1[j]:=true;F:=f1;End;B.求可以放入的最大价值。F[I,j] 为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] }C.求恰好装满的情况数。DP:Procedure update;var j,k:integer;beginc:=a;for j:=0 to n doif a[j]>0 thenif j+now<=n then inc(c[j+now],a[j]);a:=c;end;2．可重复背包A求最多可放入的重量。F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。状态转移方程为f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] (k=1.. j div w[I])B.求可以放入的最大价值。USACO 1.2 Score Inflation进行一次竞赛，总时间T固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数量不限，每种题目有一个ti（解答此题所需的时间）和一个si（解答此题所得的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T以内的前提下，所得的总分最大，求最大的得分。*易想到：f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } (0<=k<= i div w[j])其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。*实现：BeginFillChar(f,SizeOf(f),0);For i:=1 To M DoFor j:=1 To N DoIf i-problem[j].time>=0 ThenBegint:=problem[j].point+f[i-problem[j].time];If t>f[i] Then f[i]:=t;End;Writeln(f[M]);End.C.求恰好装满的情况数。Ahoi2001 Problem2求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。procedure try(dep:integer);var i,j:integer;begincal; {此过程计算当前系数的计算结果，now为结果}if now>n then exit; {剪枝}if dep=l+1 then begin {生成所有系数}cal;if now=n then inc(tot);exit;end;for i:=0 to n div pr[dep] do beginxs[dep]:=i;try(dep+1);xs[dep]:=0;end;end;思路二，递归搜索效率较高procedure try(dep,rest:integer);var i,j,x:integer;beginif (rest<=0) or (dep=l+1) then beginif rest=0 then inc(tot);exit;end;for i:=0 to rest div pr[dep] dotry(dep+1,rest-pr[dep]*i);end;{main: try(1,n); }思路三：可使用动态规划求解USACO1.2 money systemV个物品，背包容量为n，求放法总数。转移方程：Procedure update;var j,k:integer;beginc:=a;for j:=0 to n doif a[j]>0 thenfor k:=1 to n div now doif j+now*k<=n then inc(c[j+now*k],a[j]);a:=c;end;{main}beginread(now); {读入第一个物品的重量}i:=0; {a[i]为背包容量为i时的放法总数}while i<=n do begina[i]:=1; inc(i,now); end; {定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1，作为初值}for i:=2 to v dobeginread(now);update; {动态更新}end;writeln(a[n]);四、排序算法A.快速排序：procedure qsort(l,r:integer);var i,j,mid:integer;begini:=l;j:=r; mid:=a[(l+r) div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中间数}repeatwhile a[i]<mid do inc(i); {在左半部分寻找比中间数大的数}while a[j]>mid do dec(j);{在右半部分寻找比中间数小的数}if i<=j then begin {若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们}swap(a[i],a[j]);inc(i);dec(j); {继续找}end;until i>j;if l<j then qsort(l,j); {若未到两个数的边界，则递归搜索左右区间}if i<r then qsort(i,r);end;{sort}B.插入排序：思路：当前a[1]..a[i-1]已排好序了，现要插入a[i]使a[1]..a[i]有序。procedure insert_sort;var i,j:integer;beginfor i:=2 to n do begina[0]:=a[i];j:=i-1;while a[0]<a[j] do begina[j+1]:=a[j];j:=j-1;end;a[j+1]:=a[0];end;end;{inset_sort}C.选择排序：procedure sort;var i,j,k:integer;beginfor i:=1 to n-1 dofor j:=i+1 to n doif a[i]>a[j] then swap(a[i],a[j]);end;D. 冒泡排序procedure bubble_sort;var i,j,k:integer;beginfor i:=1 to n-1 dofor j:=n downto i+1 doif a[j]<a[j-1] then swap( a[j],a[j-1]); {每次比较相邻元素的关系}end;E.堆排序：procedure sift(i,m:integer);{调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数}var k:integer;begina[0]:=a[i]; k:=2*i;{在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1}while k<=m do beginif (k<m) and (a[k]<a[k+1]) then inc(k);{找出a[k]与a[k+1]中较大值}if a[0]<a[k] then begin a[i]:=a[k];i:=k;k:=2*i; endelse k:=m+1;end;a[i]:=a[0]; {将根放在合适的位置}end;procedure heapsort;varj:integer;beginfor j:=n div 2 downto 1 do sift(j,n);for j:=n downto 2 do beginswap(a[1],a[j]);sift(1,j-1);end;