一直很想写一个关于树结构的专题，再一个就是很多初级点的码农会认为树结构无用论，其实归根到底还是不清楚树的实际用途。
一：场景：
1：现状
前几天我的一个大学同学负责的网站出现了严重的性能瓶颈，由于业务是写入和读取都是密集型，如果做缓存，时间间隔也只能在30s左
右，否则就会引起客户纠纷，所以同学也就没有做缓存，通过测试发现慢就慢在数据读取上面，总共需要10s，天啊...原来首页的加载关联
到了4张表，而且表数据中最多的在10w条以上，可以想象4张巨大表的关联，然后就是排序+范围查找等等相关的条件，让同学抓狂。
2：我个人的提供解决方案
① 读取问题
既然不能做缓存，那没办法，我们需要自己维护一套”内存数据库“，数据如何组织就靠我们的算法功底了，比如哈希适合等于性的查找，
树结构适合”范围查找“，lucene适合字符串的查找，我们在添加和更新的时候同时维护自己的内存数据库，最终杜绝表关联，老同学，还
是先应急，把常用的表灌倒内存，如果真想项目好的话，改架构吧...
② 添加问题
或许你的Add操作还没有达到瓶颈这一步，如果真的达到了那就看情况来进行”表切分“，”数据库切分“吧，让用户的Add或者Update
操作分流，虽然做起来很复杂，但是没办法，总比用户纠纷强吧，可对...
二：二叉查找树
正式切入主题，从上面的说明我们知道了二叉树非常适合于范围查找，关于树的基本定义，这里我就默认大家都知道，我就直接从
查找树说起了。
1：定义
查找树的定义非常简单，一句话就是左孩子比父节点小，右孩子比父节点大，还有一个特性就是”中序遍历“可以让结点有序。
2：树节点
为了具有通用性，我们定义成泛型模板，在每个结点中增加一个”数据附加域”。
1 /// <summary> 2 /// 二叉树节点 3 /// </summary> 4 /// <typeparam name="K"></typeparam> 5 /// <typeparam name="V"></typeparam> 6 public class BinaryNode<K, V> 7 { 8 /// <summary> 9 /// 节点元素10 /// </summary>11 public K key;12 13 /// <summary>14 /// 节点中的附加值15 /// </summary>16 public HashSet<V> attach = new HashSet<V>();17 18 /// <summary>19 /// 左节点20 /// </summary>21 public BinaryNode<K, V> left;22 23 /// <summary>24 /// 右节点25 /// </summary>26 public BinaryNode<K, V> right;27 28 public BinaryNode() { }29 30 public BinaryNode(K key, V value, BinaryNode<K, V> left, BinaryNode<K, V> right)31 {32 //KV键值对33 this.key = key;34 this.attach.Add(value);35 36 this.left = left;37 this.right = right;38 }39 }
3：添加
根据查找树的性质我们可以很简单的写出Add的代码，一个一个的比呗，最终形成的效果图如下
这里存在一个“重复节点”的问题，比如说我在最后的树中再插入一个元素为15的结点，那么此时该怎么办，一般情况下，我们最好
不要在树中再追加一个重复结点，而是在“重复节点"的附加域中进行”+1“操作。
1 #region 添加操作 2 /// <summary> 3 /// 添加操作 4 /// </summary> 5 /// <param name="key"></param> 6 /// <param name="value"></param> 7 public void Add(K key, V value) 8 { 9 node = Add(key, value, node);10 }11 #endregion12 13 #region 添加操作14 /// <summary>15 /// 添加操作16 /// </summary>17 /// <param name="key"></param>18 /// <param name="value"></param>19 /// <param name="tree"></param>20 /// <returns></returns>21 public BinaryNode<K, V> Add(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)22 {23 if (tree == null)24 tree = new BinaryNode<K, V>(key, value, null, null);25 26 //左子树27 if (key.CompareTo(tree.key) < 0)28 tree.left = Add(key, value, tree.left);29 30 //右子树31 if (key.CompareTo(tree.key) > 0)32 tree.right = Add(key, value, tree.right);33 34 //将value追加到附加值中（也可对应重复元素）35 if (key.CompareTo(tree.key) == 0)36 tree.attach.Add(value);37 38 return tree;39 }40 #endregion
4:范围查找
这个才是我们使用二叉树的最终目的，既然是范围查找，我们就知道了一个”min“和”max“，其实实现起来也很简单，
第一步：我们要在树中找到min元素，当然min元素可能不存在，但是我们可以找到min的上界，耗费时间为O(logn)。
第二步：从min开始我们中序遍历寻找max的下界。耗费时间为m。m也就是匹配到的个数。
最后时间复杂度为M+logN，要知道普通的查找需要O(N)的时间，比如在21亿的数据规模下，匹配的元素可能有30个，那么最后
的结果也就是秒杀和几个小时甚至几天的巨大差异，后面我会做实验说明。
1 #region 树的指定范围查找 2 /// <summary> 3 /// 树的指定范围查找 4 /// </summary> 5 /// <param name="min"></param> 6 /// <param name="max"></param> 7 /// <returns></returns> 8 public HashSet<V> SearchRange(K min, K max) 9 {10 HashSet<V> hashSet = new HashSet<V>();11 12 hashSet = SearchRange(min, max, hashSet, node);13 14 return hashSet;15 }16 #endregion17 18 #region 树的指定范围查找19 /// <summary>20 /// 树的指定范围查找21 /// </summary>22 /// <param name="range1"></param>23 /// <param name="range2"></param>24 /// <param name="tree"></param>25 /// <returns></returns>26 public HashSet<V> SearchRange(K min, K max, HashSet<V> hashSet, BinaryNode<K, V> tree)27 {28 if (tree == null)29 return hashSet;30 31 //遍历左子树（寻找下界）32 if (min.CompareTo(tree.key) < 0)33 SearchRange(min, max, hashSet, tree.left);34 35 //当前节点是否在选定范围内36 if (min.CompareTo(tree.key) <= 0 && max.CompareTo(tree.key) >= 0)37 {38 //等于这种情况39 foreach (var item in tree.attach)40 hashSet.Add(item);41 }42 43 //遍历右子树（两种情况：①:找min的下限 ②：必须在Max范围之内）44 if (min.CompareTo(tree.key) > 0 || max.CompareTo(tree.key) > 0)45 SearchRange(min, max, hashSet, tree.right);46 47 return hashSet;48 }49 #endregion
5：删除
对于树来说，删除是最复杂的，主要考虑两种情况。
<1>单孩子的情况
这个比较简单，如果删除的节点有左孩子那就把左孩子顶上去，如果有右孩子就把右孩子顶上去，然后打完收工。
<2>左右都有孩子的情况。
首先可以这么想象，如果我们要删除一个数组的元素，那么我们在删除后会将其后面的一个元素顶到被删除的位置，如图
那么二叉树操作同样也是一样，我们根据”中序遍历“找到要删除结点的后一个结点，然后顶上去就行了，原理跟"数组”一样一样的。
同样这里也有一个注意的地方，在Add操作时，我们将重复元素的值追加到了“附加域”，那么在删除的时候，就可以先判断是
不是要“-1”操作而不是真正的删除节点，其实这里也就是“懒删除”，很有意思。
1 #region 删除当前树中的节点 2 /// <summary> 3 /// 删除当前树中的节点 4 /// </summary> 5 /// <param name="key"></param> 6 /// <returns></returns> 7 public void Remove(K key, V value) 8 { 9 node = Remove(key, value, node);10 }11 #endregion12 13 #region 删除当前树中的节点14 /// <summary>15 /// 删除当前树中的节点16 /// </summary>17 /// <param name="key"></param>18 /// <param name="tree"></param>19 /// <returns></returns>20 public BinaryNode<K, V> Remove(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)21 {22 if (tree == null)23 return null;24 25 //左子树26 if (key.CompareTo(tree.key) < 0)27 tree.left = Remove(key, value, tree.left);28 29 //右子树30 if (key.CompareTo(tree.key) > 0)31 tree.right = Remove(key, value, tree.right);32 33 /*相等的情况*/34 if (key.CompareTo(tree.key) == 0)35 {36 //判断里面的HashSet是否有多值37 if (tree.attach.Count > 1)38 {39 //实现惰性删除40 tree.attach.Remove(value);41 }42 else43 {44 //有两个孩子的情况45 if (tree.left != null && tree.right != null)46 {47 //根据二叉树的中顺遍历，需要找到”有子树“的最小节点48 tree.key = FindMin(tree.right).key;49 50 //删除右子树的指定元素51 tree.right = Remove(key, value, tree.right);52 }53 else54 {55 //单个孩子的情况56 tree = tree.left == null ? tree.right : tree.left;57 }58 }59 }60 61 return tree;62 }63 #endregion
三：测试
假如现在我们有一张User表，我要查询"2012/7/30 4:30:00"到"2012/7/30 4:40:00"这个时间段登陆的用户，我在txt中生成一个
33w的userid和time的数据，看看在33w的情况下读取效率如何...
1 using System; 2 using System.Collections.Generic; 3 using System.Linq; 4 using System.Text; 5 using System.Threading; 6 using System.IO; 7 using System.Diagnostics; 8 9 namespace DataStruct 10 { 11 class Program 12 { 13 static void Main(string[] args) 14 { 15 List<long> list = new List<long>(); 16 17 Dictionary<DateTime, int> dic = new Dictionary<DateTime, int>(); 18 19 BinaryTree<DateTime, int> tree = new BinaryTree<DateTime, int>(); 20 21 using (StreamReader sr = new StreamReader(Environment.CurrentDirectory + "//1.txt")) 22 { 23 var line = string.Empty; 24 25 while (!string.IsNullOrEmpty(line = sr.ReadLine())) 26 { 27 var userid = Convert.ToInt32(line.Split(new char[] { ',' }, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries)[0]); 28 29 var time = Convert.ToDateTime(line.Split(new char[] { ',' }, StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries)[1]); 30 31 //防止dic出错，为了进行去重处理 32 if (!dic.ContainsKey(time)) 33 { 34 dic.Add(time, userid); 35 36 tree.Add(time, userid); 37 } 38 } 39 } 40 41 var min = Convert.ToDateTime("2012/7/30 4:30:00"); 42 43 var max = Convert.ToDateTime("2012/7/30 4:40:00"); 44 45 var watch = Stopwatch.StartNew(); 46 47 var result1 = dic.Keys.Where(i => i >= min && i <= max).Select(i => dic[i]).ToList(); 48 49 watch.Stop(); 50 51 Console.WriteLine("字典查找耗费时间:{0}ms，获取总数:{1}", watch.ElapsedMilliseconds, result1.Count); 52 53 watch = Stopwatch.StartNew(); 54 55 var result2 = tree.SearchRange(min, max); 56 57 watch.Stop(); 58 59 Console.WriteLine("二叉树耗费时间:{0}ms，获取总数:{1}", watch.ElapsedMilliseconds, result2.Count); 60 } 61 } 62 63 #region 二叉树节点 64 /// <summary> 65 /// 二叉树节点 66 /// </summary> 67 /// <typeparam name="K"></typeparam> 68 /// <typeparam name="V"></typeparam> 69 public class BinaryNode<K, V> 70 { 71 /// <summary> 72 /// 节点元素 73 /// </summary> 74 public K key; 75 76 /// <summary> 77 /// 节点中的附加值 78 /// </summary> 79 public HashSet<V> attach = new HashSet<V>(); 80 81 /// <summary> 82 /// 左节点 83 /// </summary> 84 public BinaryNode<K, V> left; 85 86 /// <summary> 87 /// 右节点 88 /// </summary> 89 public BinaryNode<K, V> right; 90 91 public BinaryNode() { } 92 93 public BinaryNode(K key, V value, BinaryNode<K, V> left, BinaryNode<K, V> right) 94 { 95 //KV键值对 96 this.key = key; 97 this.attach.Add(value); 98 99 this.left = left;100 this.right = right;101 }102 }103 #endregion104 105 public class BinaryTree<K, V> where K : IComparable106 {107 public BinaryNode<K, V> node = null;108 109 #region 添加操作110 /// <summary>111 /// 添加操作112 /// </summary>113 /// <param name="key"></param>114 /// <param name="value"></param>115 public void Add(K key, V value)116 {117 node = Add(key, value, node);118 }119 #endregion120 121 #region 添加操作122 /// <summary>123 /// 添加操作124 /// </summary>125 /// <param name="key"></param>126 /// <param name="value"></param>127 /// <param name="tree"></param>128 /// <returns></returns>129 public BinaryNode<K, V> Add(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)130 {131 if (tree == null)132 tree = new BinaryNode<K, V>(key, value, null, null);133 134 //左子树135 if (key.CompareTo(tree.key) < 0)136 tree.left = Add(key, value, tree.left);137 138 //右子树139 if (key.CompareTo(tree.key) > 0)140 tree.right = Add(key, value, tree.right);141 142 //将value追加到附加值中（也可对应重复元素）143 if (key.CompareTo(tree.key) == 0)144 tree.attach.Add(value);145 146 return tree;147 }148 #endregion149 150 #region 是否包含指定元素151 /// <summary>152 /// 是否包含指定元素153 /// </summary>154 /// <param name="key"></param>155 /// <returns></returns>156 public bool Contain(K key)157 {158 return Contain(key, node);159 }160 #endregion161 162 #region 是否包含指定元素163 /// <summary>164 /// 是否包含指定元素165 /// </summary>166 /// <param name="key"></param>167 /// <param name="tree"></param>168 /// <returns></returns>169 public bool Contain(K key, BinaryNode<K, V> tree)170 {171 if (tree == null)172 return false;173 //左子树174 if (key.CompareTo(tree.key) < 0)175 return Contain(key, tree.left);176 177 //右子树178 if (key.CompareTo(tree.key) > 0)179 return Contain(key, tree.right);180 181 return true;182 }183 #endregion184 185 #region 树的指定范围查找186 /// <summary>187 /// 树的指定范围查找188 /// </summary>189 /// <param name="min"></param>190 /// <param name="max"></param>191 /// <returns></returns>192 public HashSet<V> SearchRange(K min, K max)193 {194 HashSet<V> hashSet = new HashSet<V>();195 196 hashSet = SearchRange(min, max, hashSet, node);197 198 return hashSet;199 }200 #endregion201 202 #region 树的指定范围查找203 /// <summary>204 /// 树的指定范围查找205 /// </summary>206 /// <param name="range1"></param>207 /// <param name="range2"></param>208 /// <param name="tree"></param>209 /// <returns></returns>210 public HashSet<V> SearchRange(K min, K max, HashSet<V> hashSet, BinaryNode<K, V> tree)211 {212 if (tree == null)213 return hashSet;214 215 //遍历左子树（寻找下界）216 if (min.CompareTo(tree.key) < 0)217 SearchRange(min, max, hashSet, tree.left);218 219 //当前节点是否在选定范围内220 if (min.CompareTo(tree.key) <= 0 && max.CompareTo(tree.key) >= 0)221 {222 //等于这种情况223 foreach (var item in tree.attach)224 hashSet.Add(item);225 }226 227 //遍历右子树（两种情况：①:找min的下限 ②：必须在Max范围之内）228 if (min.CompareTo(tree.key) > 0 || max.CompareTo(tree.key) > 0)229 SearchRange(min, max, hashSet, tree.right);230 231 return hashSet;232 }233 #endregion234 235 #region 找到当前树的最小节点236 /// <summary>237 /// 找到当前树的最小节点238 /// </summary>239 /// <returns></returns>240 public BinaryNode<K, V> FindMin()241 {242 return FindMin(node);243 }244 #endregion245 246 #region 找到当前树的最小节点247 /// <summary>248 /// 找到当前树的最小节点249 /// </summary>250 /// <param name="tree"></param>251 /// <returns></returns>252 public BinaryNode<K, V> FindMin(BinaryNode<K, V> tree)253 {254 if (tree == null)255 return null;256 257 if (tree.left == null)258 return tree;259 260 return FindMin(tree.left);261 }262 #endregion263 264 #region 找到当前树的最大节点265 /// <summary>266 /// 找到当前树的最大节点267 /// </summary>268 /// <returns></returns>269 public BinaryNode<K, V> FindMax()270 {271 return FindMin(node);272 }273 #endregion274 275 #region 找到当前树的最大节点276 /// <summary>277 /// 找到当前树的最大节点278 /// </summary>279 /// <param name="tree"></param>280 /// <returns></returns>281 public BinaryNode<K, V> FindMax(BinaryNode<K, V> tree)282 {283 if (tree == null)284 return null;285 286 if (tree.right == null)287 return tree;288 289 return FindMax(tree.right);290 }291 #endregion292 293 #region 删除当前树中的节点294 /// <summary>295 /// 删除当前树中的节点296 /// </summary>297 /// <param name="key"></param>298 /// <returns></returns>299 public void Remove(K key, V value)300 {301 node = Remove(key, value, node);302 }303 #endregion304 305 #region 删除当前树中的节点306 /// <summary>307 /// 删除当前树中的节点308 /// </summary>309 /// <param name="key"></param>310 /// <param name="tree"></param>311 /// <returns></returns>312 public BinaryNode<K, V> Remove(K key, V value, BinaryNode<K, V> tree)313 {314 if (tree == null)315 return null;316 317 //左子树318 if (key.CompareTo(tree.key) < 0)319 tree.left = Remove(key, value, tree.left);320 321 //右子树322 if (key.CompareTo(tree.key) > 0)323 tree.right = Remove(key, value, tree.right);324 325 /*相等的情况*/326 if (key.CompareTo(tree.key) == 0)327 {328 //判断里面的HashSet是否有多值329 if (tree.attach.Count > 1)330 {331 //实现惰性删除332 tree.attach.Remove(value);333 }334 else335 {336 //有两个孩子的情况337 if (tree.left != null && tree.right != null)338 {339 //根据二叉树的中顺遍历，需要找到”有子树“的最小节点340 tree.key = FindMin(tree.right).key;341 342 //删除右子树的指定元素343 tree.right = Remove(tree.key, value, tree.right);344 }345 else346 {347 //单个孩子的情况348 tree = tree.left == null ? tree.right : tree.left;349 }350 }351 }352 353 return tree;354 }355 #endregion356 }357 }
比普通的dictionary效率还仅仅是快11倍，从数量级来说还不是非常明显，为什么说不是非常明显，这是因为普通的查找树的时间复杂度
不是严格的log(N)，在最坏的情况下会出现“链表”的形式，复杂度退化到O(N)，比如下图。
不过总会有解决办法的，下一篇我们继续聊如何旋转，保持最坏复杂度在O(logN)。