子空间 V = L(x_1, \,x_2,\,\cdots,\,x_m))V=L(x1,x2,⋯,xm)) 上定义一个泛函 ff\begin{aligned} f: V \rightarrow {\mathbb R^C}, && \text{$C$ 是类别个数} \end{aligned}f:VRC,C 是类别个数则可以定义 ff 的能量函数为\begin{aligned} E(f) &= \frac{1}{2} {\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^m (W)_{ij} ||f(x_i) - f(x_j)||^2}\\ &= \frac{1}{2}{\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^m (W)_{ij}( ||f(x_i)||^2 - 2 f(x_i)^Tf(x_j) + ||f(x_j)||^2)}\\ &= {\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^m}(W)_{ij}||f(x_i)||^2 - {\displaystyle\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^m}f(x_i)^Tf(x_j)(W)_{ij} & \text{$i$, $j$ 的对称性} \end{aligned}E(f)=21i=1∑mj=1∑m(W)ij∣∣f(xi)−f(xj)∣∣2=21i=1∑mj=1∑m(W)ij(∣∣f(xi)∣∣2−2f(xi)Tf(xj)+∣∣f(xj)∣∣2)=i=1∑mj=1∑m(W)ij∣∣f(xi)∣∣2−i=1∑mj=1∑mf(xi)Tf(xj)(W)iji, j 的对称性
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