在机器学习领域也许会有用的几个关键定义

定义1：$V$ 是数域 $P$ 上的一个线性空间，泛函 $f: V \times V \rightarrow {\mathbb R}$，满足：

1. $f(\alpha,\, k_1 \beta_1 + k_2 \beta_2) = k_1 f(\alpha, \,\beta_1) + k_2 f(\alpha,\,\beta_2)$；

2. $f(k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2,\, \beta) = k_1 f(\alpha_1, \,\beta) + k_2 f(\alpha_2,\,\beta)$，
   其中 $\alpha,\; \alpha_1,\; \alpha_2,\; \beta,\; \beta_1,\; \beta_2 \in V$ 中任意的向量，$k_1,\; k_2 \in P$，则称 $f(\alpha, \beta)$ 为 $V$ 上的一个双线性函数.

定义2：设 $f(\alpha, \beta)$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的一个双线性函数. $\varepsilon_1,\, \cdots, \, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组基，则矩阵

$A = \begin{bmatrix} f(\varepsilon_1,\, \varepsilon_1) & \cdots & f(\varepsilon_1,\, \varepsilon_n)\\ &&&\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ &&&\\ f(\varepsilon_n,\, \varepsilon_1) & \cdots & f(\varepsilon_n,\, \varepsilon_n) \end{bmatrix}$
叫做 $f(\alpha, \beta)$ 在 $\varepsilon_1,\, \cdots, \, \varepsilon_n$ 下的度量矩阵。 当 $\alpha = \beta$ 时，$V$ 上的函数 $f(\alpha, \alpha)$称为与 $f(\alpha, \beta)$ 对应的二次齐次函数。