本文知识点：
- 什么是 mini-batch 梯度下降
- mini-batch 梯度下降具体算法
- 为什么需要 mini-batch 梯度下降
- batch， stochastic ，mini batch 梯度下降的比较
- 如何选择 mini batch 的参数 batch size 呢
- 在 TensorFlow 中应用举例
之前写过一篇文章：
如何选择优化器 optimizer
里面对 BGD，SGD，MBGD，Adagrad，Adadelta，RMSprop，Adam 进行了比较，
今天对其中的 mini-batch 梯度下降 作进一步详解。
1. 什么是 mini-batch 梯度下降
先来快速看一下 BGD，SGD，MBGD 的定义，
当每次是对整个训练集进行梯度下降的时候，就是 batch 梯度下降，
当每次只对一个样本进行梯度下降的时候，是 stochastic 梯度下降，
当每次处理样本的个数在上面二者之间，就是 mini batch 梯度下降。
我们知道 Batch 梯度下降的做法是，在对训练集执行梯度下降算法时，必须处理整个训练集，然后才能进行下一步梯度下降。
如果在处理完整个训练集之前，先让梯度下降法处理一部分数据，那么算法就会相对快一些。
也就是把整个大的训练集划分为若干个小的训练集，被称为 mini batch。
例如 500 万的训练集，划分为每个子集中只有 1000 个样本，那么一共会有 5000 个这样的子集。同样的，对 y 也做相应的划分：
（注：上角标用大括号表示为第几个子集，小括号为第几个样本，中括号为神经网络的第几层。）
这时候，每一次对每个子集进行整体梯度下降，也就是对 1000 个样本进行整体梯度下降，而不是同时处理 500万 个 x 和 y。相应的这个循环要执行 5000 次，因为一共有 5000 个这样的子集。
2. mini-batch 梯度下降具体算法
t 代表第几个子集，从 1 到 5000，因为划分后，一共有 5000 个子集，
1. 对每个子集，先进行前向计算，从第一层网络到最后一层输出层
因为 batch 梯度下降是对整个数据集进行处理，所以不需要角标，而 mini batch 这里需要对 x 加上角标，代表的是第几个子集。
2. 接下来计算当前子集的损失函数，因为子集中一共有 1000 个样本，所以这里要除以 1000。损失函数也是有上角标，和第几个子集相对应。
3. 然后进行反向传播，计算损失函数 J 的梯度。
4. 最后更新参数。
将 5000 个子集都计算完时，就是进行了一个 epoch 处理 ，一个 epoch 意思是遍历整个数据集，即 5000 个子数据集一次，也就是做了 5000 个梯度下降，
如果需要做多次遍历，就需要对 epoch 进行循环。当数据集很大的时候，这个方法是经常被使用的。
3. 为什么需要 mini-batch 梯度下降
当数据集很大时，训练算法是非常慢的，
和 batch 梯度下降相比，使用 mini batch 梯度下降更新参数更快，有利于更鲁棒地收敛，避免局部最优。
和 stochastic 梯度下降相比，使用 mini batch 梯度下降的计算效率更高，可以帮助快速训练模型。
4. 进一步看 batch， stochastic ，mini batch 梯度下降的比较
让我们来看一下 cost 函数随着训练的变化情况：
在 batch 梯度下降中，单次迭代的成本是会下降的，如果在某次迭代中成本增加了，那就是有问题了。
在 mini batch 梯度下降中，并不是每一批的成本都是下降的，
因为每次迭代都是在训练不同的子集，所以展示在图像上就是，整体走势是下降的，但是会有更多的噪音。
噪音的原因是，如果是比较容易计算的子集，需要的成本就会低一些，遇到难算的子集，成本就要高一些。
我们知道图中中间那个点就是想要达到的最优的情况：
蓝色：为 batch 梯度下降，即 mini batch size ＝ m，
紫色：为 stochastic 梯度下降，即 mini batch size ＝ 1，
绿色：为 mini batch 梯度下降，即 1 < mini batch size < m。
- Batch gradient descent ，噪音少一些，幅度大一些。
BGD 的缺点是，每次对整个训练集进行处理，那么数量级很大的时候耗费时间就会比较长。
- Stochastic gradient descent ，因为每次只对一个样本进行梯度下降，所以大部分时候是向着最小值靠近的，但也有一些是离最小值越来越远，因为那些样本恰好指向相反的方向。所以看起来会有很多噪音，但整体趋势是向最小值逼近。
但 SGD 永远不会收敛，它只会在最小值附近不断的波动，不会到达也不会在此停留。
SGD 的噪音，可以通过调节学习率来改善，但是它有一个很大的缺点，就是不能通过进行向量化来进行加速，因为每次都只是对一个样本进行处理。
- Mini Batch gradient descent 的每个子集的大小正好位于两种极端情况的中间。
那就有两个好处，一个是可以进行向量化。另一个是不用等待整个训练集训练完就可以进行后续的工作。
MBGD 的成本函数的变化，不会一直朝着最小值的方向前进，但和 SGD 相比，会更持续地靠近最小值。
5. 如何选择 mini batch 的参数 batch size 呢？
不难看出 Mini Batch gradient descent 的 batch 大小，也是一个影响着算法效率的参数。
如果训练集较小，一般 小于2000 的，就直接使用 Batch gradient descent 。
一般 Mini Batch gradient descent 的大小在 64 到 512 之间，选择 2 的 n 次幂会运行得相对快一些。
注意这个值设为 2 的 n 次幂，是为了符合cpu gpu的内存要求，如果不符合的话，不管用什么算法表现都会很糟糕。
6. 在 TensorFlow 中应用举例
下面这个例子是对 fetch_california_housing 数据集 用一个简单的线性回归预测房价，在过程中用到了 mini batch 梯度下降：
损失用 MSE，对每个子集 X_batch, y_batch 应用 optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer，
详细注释见代码内：
# fetch_california_housing 数据集包含9个变量的20640个观测值，
# 目标变量为平均房屋价，
# 特征包括：平均收入、房屋平均年龄、平均房间、平均卧室、人口、平均占用、纬度和经度。
import numpy as np
import tensorflow as tf
from sklearn.datasets import fetch_california_housing
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
housing = fetch_california_housing() #获取房价数据
m, n = housing.data.shape # 获得数据维度，矩阵的行列长度
scalar = StandardScaler() #将特征进行标准归一化
scaled_housing_data = scalar.fit_transform( housing.data )
scaled_housing_data_plus_bias = np.c_[ np.ones( (m, 1) ), scaled_housing_data ] # np.c_是连接的含义，加了一个全为1的列
learning_rate = 0.01
# X 和 y 为 placeholder，为后面将要传进来的数据占位
X = tf.placeholder( tf.float32, shape = (None, n + 1), name="X" ) # None 就是没有限制，可以任意长
y = tf.placeholder( tf.float32, shape = (None, 1), name="y" )
# 随机生成 theta，形状为 (n+1, n)，元素在 [-1.0, 1.0) 之间
theta = tf.Variable( tf.random_uniform( [n + 1, 1], -1.0, 1.0, seed = 42 ), name="theta" )
# 线性回归模型
y_pred = tf.matmul( X, theta, name="predictions" )
# 损失用 MSE
error = y_pred - y
mse = tf.reduce_mean( tf.square(error), name="mse" )
optimizer = tf.train.GradientDescentOptimizer( learning_rate = learning_rate )
training_op = optimizer.minimize( mse )
# 初始化所有变量
init = tf.global_variables_initializer()
n_epochs = 10
# 每一批内样本数设为 100
batch_size = 100
n_batches = int( np.ceil( m / batch_size ) ) # 总样本数除以每一批的样本数，得到批的个数，要得到比它大的最近的整数
# 从整批中获取数据
def fetch_batch( epoch, batch_index, batch_size ):
np.random.seed( epoch * n_batches + batch_index ) # 用于 randin，每次可以得到不同的整数
indices = np.random.randint( m, size = batch_size ) # 设置随机索引，最大值为m
X_batch = scaled_housing_data_plus_bias[ indices ] # 使用索引从整批中获取数据
y_batch = housing.target.reshape( -1, 1 )[ indices ]
return X_batch, y_batch
with tf.Session() as sess:
sess.run(init)
for epoch in range( n_epochs ):
for batch_index in range( n_batches ):
X_batch, y_batch = fetch_batch( epoch, batch_index, batch_size )
sess.run( training_op, feed_dict = {X: X_batch, y: y_batch} ) # 使用 feed_dict 将值从 placeholder 传递给 训练操作
best_theta = theta.eval() # 当相应的MSE小于之前的MSE时，theta将获得新值
print("Best theta:\n", best_theta)