原文出处

概述

GAN的发明者Ian Goodfellow2016年在Open AI任职期间发表了这篇论文，其中提到了GAN用于半监督学习(semi supervised)的方法。称为SSGAN。
作者给出了Theano+Lasagne实现。本文结合源码对这种方法的推导和实现进行讲解。1

半监督学习

考虑一个分类问题。
如果训练集中大部分样本没有标记类别，只有少部分样本有标记。则需要用半监督学习(semi-supervised)方法来训练一个分类器。

wiki上的这张图很好地说明了无标记样本在半监督学习中发挥作用：

如果只考虑有标记样本（黑白点），纯粹使用监督学习。则得到垂直的分类面。
考虑了无标记样本（灰色点）之后，我们对样本的整体分布有了进一步认识，能够得到新的、更准确的分类面。

核心理念

在半监督学习中运用GAN的逻辑如下。

无标记样本没有类别信息，无法训练分类器；
引入GAN后，其中生成器(Generator)可以从随机信号生成伪样本；
相比之下，原有的无标记样本拥有了人造类别：真。可以和伪样本一起训练分类器。

举个通俗的例子：就算没人教认字，多练练分辨“是不是字”也对认字有好处。有粗糙的反馈，也比没有反馈强。

原理

框架

GAN中的两个核心模块是生成器(Generator)和鉴别器(Discriminator)。这里用分类器(Classifier)代替了鉴别器。

训练集中包含有标签样本和无标签样本。
生成器从随机噪声生成伪样本。
分类器接受样本，对于类分类问题，输出维估计，再经过softmax函数得到概率：其前维对应原有个类，最后一维对应“伪样本”类。
的最大值位置对应为估计标签。

三种误差

整个系统涉及三种误差。

对于训练集中的有标签样本，考察估计的标签是否正确。即，计算分类为相应的概率：

对于训练集中的无标签样本，考察是否估计为“真”。即，计算不估计为类的概率：

对于生成器产生的伪样本，考察是否估计为“伪”。即，计算估计为类的概率：

推导

考虑softmax函数的一个特性：

即，如果输入各维减去同一个数，softmax结果不变。
于是，可以令，有，保持不变。

期望号略去不写，利用后两种代价变为：

上述推导可以让我们省去，让分类器仍然输出K维的估计。

对于第一个代价，由于分类器输入必定来自前K类，所以可以直接使用的前K维：

引入两个函数，使得书写更为简洁：

三个误差：

优化目标

对于分类器来说，希望上述误差尽量小。引入权重，得到分类器优化目标：

对于生成器来说，希望其输出的伪样本能够骗过分类器。生成器优化目标与分类器的第三项相反：

实验

本文的实验包含三个图像分类问题。分类器接受图像，输出类分类结果。生成器从均匀分布的噪声生成一张图像。

MNIST

10分类问题，图像为28*28灰度。

生成器是一个3层线性网络：

分类器是一个6层线性网络：

训练样本60K个，测试样本10K个。
选择不同数量的训练样本给予标记，考察测试样本中错误个数。使用不同随机数种子重复10次：

有标记样本	20	50	100	200
占比	0.033%	0.083%	0.17%	0.33%
错误个数	1677±452	221±136	93±6.5	90±4.2

Cifar10

10分类问题，图像为32*32彩色。

生成器是一个4层反卷积网络：

分类器是一个9层卷积网络：

训练样本50K个，测试样本10K个。
选择不同数量的训练样本给予标记，考察测试样本中错误个数。使用不同的测试/训练分割重复10次：

有标记样本	1000	2000	4000	8000
占比	2%	4%	8%	16%
错误个数	21.83±2.01	19.61±2.09	18.63±2.32	17.72±1.82

SVHN

10分类问题，图像为32*32彩色。

生成器（上）以及分类器（下）和CIFAR10的结构非常类似。

训练样本73K，测试样本26K。
选择不同数量的训练样本给予标记，考察测试样本中错误个数。使用不同的测试/训练分割重复10次：

有标记样本	500	1000	2000
占比	0.68%	1.4%	2.7%
错误个数	18.84±4.8	8.11±1.3	6.16±0.58

USC的Shao-Hua Sun也给出了一个Tensorflow实现。但没有处理训练集中的无标签样本，个人认为对原文理解有偏差。