标签传播算法

标签传播算法（Label Propagation）及Python实现

 

       众所周知，机器学习可以大体分为三大类：监督学习、非监督学习和半监督学习。监督学习可以认为是我们有非常多的labeled标注数据来train一个模型，期待这个模型能学习到数据的分布，以期对未来没有见到的样本做预测。那这个性能的源头--训练数据，就显得非常感觉。你必须有足够的训练数据，以覆盖真正现实数据中的样本分布才可以，这样学习到的模型才有意义。那非监督学习就是没有任何的labeled数据，就是平时所说的聚类了，利用他们本身的数据分布，给他们划分类别。而半监督学习，顾名思义就是处于两者之间的，只有少量的labeled数据，我们试图从这少量的labeled数据和大量的unlabeled数据中学习到有用的信息。

一、半监督学习

       半监督学习（Semi-supervised learning）发挥作用的场合是：你的数据有一些有label，一些没有。而且一般是绝大部分都没有，只有少许几个有label。半监督学习算法会充分的利用unlabeled数据来捕捉我们整个数据的潜在分布。它基于三大假设：

       1）Smoothness平滑假设：相似的数据具有相同的label。

       2）Cluster聚类假设：处于同一个聚类下的数据具有相同label。

       3）Manifold流形假设：处于同一流形结构下的数据具有相同label。

       例如下图，只有两个labeled数据，如果直接用他们来训练一个分类器，例如LR或者SVM，那么学出来的分类面就是左图那样的。如果现实中，这个数据是右图那边分布的话，猪都看得出来，左图训练的这个分类器烂的一塌糊涂、惨不忍睹。因为我们的labeled训练数据太少了，都没办法覆盖我们未来可能遇到的情况。但是，如果右图那样，把大量的unlabeled数据（黑色的）都考虑进来，有个全局观念，牛逼的算法会发现，哎哟，原来是两个圈圈（分别处于两个圆形的流形之上）！那算法就很聪明，把大圈的数据都归类为红色类别，把内圈的数据都归类为蓝色类别。因为，实践中，labeled数据是昂贵，很难获得的，但unlabeled数据就不是了，写个脚本在网上爬就可以了，因此如果能充分利用大量的unlabeled数据来辅助提升我们的模型学习，这个价值就非常大。

       半监督学习算法有很多，下面我们介绍最简单的标签传播算法（label propagation），最喜欢简单了，哈哈。

二、标签传播算法

       标签传播算法（label propagation）的核心思想非常简单：相似的数据应该具有相同的label。LP算法包括两大步骤：1）构造相似矩阵；2）勇敢的传播吧。

2.1、相似矩阵构建

       LP算法是基于Graph的，因此我们需要先构建一个图。我们为所有的数据构建一个图，图的节点就是一个数据点，包含labeled和unlabeled的数据。节点i和节点j的边表示他们的相似度。这个图的构建方法有很多，这里我们假设这个图是全连接的，节点i和节点j的边权重为：

       这里，α是超参。

       还有个非常常用的图构建方法是knn图，也就是只保留每个节点的k近邻权重，其他的为0，也就是不存在边，因此是稀疏的相似矩阵。

2.2、LP算法

       标签传播算法非常简单：通过节点之间的边传播label。边的权重越大，表示两个节点越相似，那么label越容易传播过去。我们定义一个NxN的概率转移矩阵P：

       P_ij表示从节点i转移到节点j的概率。假设有C个类和L个labeled样本，我们定义一个LxC的label矩阵Y_L，第i行表示第i个样本的标签指示向量，即如果第i个样本的类别是j，那么该行的第j个元素为1，其他为0。同样，我们也给U个unlabeled样本一个UxC的label矩阵Y_U。把他们合并，我们得到一个NxC的soft label矩阵F=[Y_L;Y_U]。soft label的意思是，我们保留样本i属于每个类别的概率，而不是互斥性的，这个样本以概率1只属于一个类。当然了，最后确定这个样本i的类别的时候，是取max也就是概率最大的那个类作为它的类别的。那F里面有个Y_U，它一开始是不知道的，那最开始的值是多少？无所谓，随便设置一个值就可以了。

       千呼万唤始出来，简单的LP算法如下：

       1）执行传播：F=PF

       2）重置F中labeled样本的标签：F_L=Y_L

       3）重复步骤1）和2）直到F收敛。

       步骤1）就是将矩阵P和矩阵F相乘，这一步，每个节点都将自己的label以P确定的概率传播给其他节点。如果两个节点越相似（在欧式空间中距离越近），那么对方的label就越容易被自己的label赋予，就是更容易拉帮结派。步骤2）非常关键，因为labeled数据的label是事先确定的，它不能被带跑，所以每次传播完，它都得回归它本来的label。随着labeled数据不断的将自己的label传播出去，最后的类边界会穿越高密度区域，而停留在低密度的间隔中。相当于每个不同类别的labeled样本划分了势力范围。

2.3、变身的LP算法

       我们知道，我们每次迭代都是计算一个soft label矩阵F=[Y_L;Y_U]，但是Y_L是已知的，计算它没有什么用，在步骤2）的时候，还得把它弄回来。我们关心的只是Y_U，那我们能不能只计算Y_U呢？Yes。我们将矩阵P做以下划分：

       这时候，我们的算法就一个运算：

       迭代上面这个步骤直到收敛就ok了，是不是很cool。可以看到F_U不但取决于labeled数据的标签及其转移概率，还取决了unlabeled数据的当前label和转移概率。因此LP算法能额外运用unlabeled数据的分布特点。

       这个算法的收敛性也非常容易证明，具体见参考文献[1]。实际上，它是可以收敛到一个凸解的：

       所以我们也可以直接这样求解，以获得最终的Y_U。但是在实际的应用过程中，由于矩阵求逆需要O(n³)的复杂度，所以如果unlabeled数据非常多，那么I – P_UU矩阵的求逆将会非常耗时，因此这时候一般选择迭代算法来实现。

三、LP算法的Python实现

       Python环境的搭建就不啰嗦了，可以参考前面的博客。需要额外依赖的库是经典的numpy和matplotlib。代码中包含了两种图的构建方法：RBF和KNN指定。同时，自己生成了两个toy数据库：两条长形形状和两个圈圈的数据。第四部分我们用大点的数据库来做实验，先简单的可视化验证代码的正确性，再前线。

       算法代码：

1. #***************************************************************************  

2. #*   

3. #* Description: label propagation  

4. #* Author: Zou Xiaoyi ([e-mail])  

5. #* Date:   2015-10-15  

6. #* HomePage: http://blog.csdn.net/zouxy09  

7. #*   

8. #**************************************************************************  

9.   

10. import time  

11. import numpy as np  

12.   

13. # return k neighbors index  

14. def navie_knn(dataSet, query, k):  

15.     numSamples = dataSet.shape[0]  

16.   

17.     ## step 1: calculate Euclidean distance  

18.     diff = np.tile(query, (numSamples, 1)) - dataSet  

19.     squaredDiff = diff ** 2  

20.     squaredDist = np.sum(squaredDiff, axis = 1) # sum is performed by row  

21.   

22.     ## step 2: sort the distance  

23.     sortedDistIndices = np.argsort(squaredDist)  

24.     if k > len(sortedDistIndices):  

25.         k = len(sortedDistIndices)  

26.   

27.     return sortedDistIndices[0:k]  

28.   

29.   

30. # build a big graph (normalized weight matrix)  

31. def buildGraph(MatX, kernel_type, rbf_sigma = None, knn_num_neighbors = None):  

32.     num_samples = MatX.shape[0]  

33.     affinity_matrix = np.zeros((num_samples, num_samples), np.float32)  

34.     if kernel_type == 'rbf':  

35.         if rbf_sigma == None:  

36.             raise ValueError('You should input a sigma of rbf kernel!')  

37.         for i in xrange(num_samples):  

38.             row_sum = 0.0  

39.             for j in xrange(num_samples):  

40.                 diff = MatX[i, :] - MatX[j, :]  

41.                 affinity_matrix[i][j] = np.exp(sum(diff**2) / (-2.0 * rbf_sigma**2))  

42.                 row_sum += affinity_matrix[i][j]  

43.             affinity_matrix[i][:] /= row_sum  

44.     elif kernel_type == 'knn':  

45.         if knn_num_neighbors == None:  

46.             raise ValueError('You should input a k of knn kernel!')  

47.         for i in xrange(num_samples):  

48.             k_neighbors = navie_knn(MatX, MatX[i, :], knn_num_neighbors)  

49.             affinity_matrix[i][k_neighbors] = 1.0 / knn_num_neighbors  

50.     else:  

51.         raise NameError('Not support kernel type! You can use knn or rbf!')  

52.       

53.     return affinity_matrix  

54.   

55.   

56. # label propagation  

57. def labelPropagation(Mat_Label, Mat_Unlabel, labels, kernel_type = 'rbf', rbf_sigma = 1.5, \  

58.                     knn_num_neighbors = 10, max_iter = 500, tol = 1e-3):  

59.     # initialize  

60.     num_label_samples = Mat_Label.shape[0]  

61.     num_unlabel_samples = Mat_Unlabel.shape[0]  

62.     num_samples = num_label_samples + num_unlabel_samples  

63.     labels_list = np.unique(labels)  

64.     num_classes = len(labels_list)  

65.       

66.     MatX = np.vstack((Mat_Label, Mat_Unlabel))  

67.     clamp_data_label = np.zeros((num_label_samples, num_classes), np.float32)  

68.     for i in xrange(num_label_samples):  

69.         clamp_data_label[i][labels[i]] = 1.0  

70.       

71.     label_function = np.zeros((num_samples, num_classes), np.float32)  

72.     label_function[0 : num_label_samples] = clamp_data_label  

73.     label_function[num_label_samples : num_samples] = -1  

74.       

75.     # graph construction  

76.     affinity_matrix = buildGraph(MatX, kernel_type, rbf_sigma, knn_num_neighbors)  

77.       

78.     # start to propagation  

79.     iter = 0; pre_label_function = np.zeros((num_samples, num_classes), np.float32)  

80.     changed = np.abs(pre_label_function - label_function).sum()  

81.     while iter < max_iter and changed > tol:  

82.         if iter % 1 == 0:  

83.             print "---> Iteration %d/%d, changed: %f" % (iter, max_iter, changed)  

84.         pre_label_function = label_function  

85.         iter += 1  

86.           

87.         # propagation  

88.         label_function = np.dot(affinity_matrix, label_function)  

89.           

90.         # clamp  

91.         label_function[0 : num_label_samples] = clamp_data_label  

92.           

93.         # check converge  

94.         changed = np.abs(pre_label_function - label_function).sum()  

95.       

96.     # get terminate label of unlabeled data  

97.     unlabel_data_labels = np.zeros(num_unlabel_samples)  

98.     for i in xrange(num_unlabel_samples):  

99.         unlabel_data_labels[i] = np.argmax(label_function[i+num_label_samples])  

100.       

101.     return unlabel_data_labels  

       测试代码：

1. #***************************************************************************  

2. #*   

3. #* Description: label propagation  

4. #* Author: Zou Xiaoyi ([e-mail])  

5. #* Date:   2015-10-15  

6. #* HomePage: http://blog.csdn.net/zouxy09  

7. #*   

8. #**************************************************************************  

9.   

10. import time  

11. import math  

12. import numpy as np  

13. from label_propagation import labelPropagation  

14.   

15. # show  

16. def show(Mat_Label, labels, Mat_Unlabel, unlabel_data_labels):   

17.     import matplotlib.pyplot as plt   

18.       

19.     for i in range(Mat_Label.shape[0]):  

20.         if int(labels[i]) == 0:    

21.             plt.plot(Mat_Label[i, 0], Mat_Label[i, 1], 'Dr')    

22.         elif int(labels[i]) == 1:    

23.             plt.plot(Mat_Label[i, 0], Mat_Label[i, 1], 'Db')  

24.         else:  

25.             plt.plot(Mat_Label[i, 0], Mat_Label[i, 1], 'Dy')  

26.       

27.     for i in range(Mat_Unlabel.shape[0]):  

28.         if int(unlabel_data_labels[i]) == 0:    

29.             plt.plot(Mat_Unlabel[i, 0], Mat_Unlabel[i, 1], 'or')    

30.         elif int(unlabel_data_labels[i]) == 1:    

31.             plt.plot(Mat_Unlabel[i, 0], Mat_Unlabel[i, 1], 'ob')  

32.         else:  

33.             plt.plot(Mat_Unlabel[i, 0], Mat_Unlabel[i, 1], 'oy')  

34.       

35.     plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2')   

36.     plt.xlim(0.0, 12.)  

37.     plt.ylim(0.0, 12.)  

38.     plt.show()    

39.   

40.   

41. def loadCircleData(num_data):  

42.     center = np.array([5.0, 5.0])  

43.     radiu_inner = 2  

44.     radiu_outer = 4  

45.     num_inner = num_data / 3  

46.     num_outer = num_data - num_inner  

47.       

48.     data = []  

49.     theta = 0.0  

50.     for i in range(num_inner):  

51.         pho = (theta % 360) * math.pi / 180  

52.         tmp = np.zeros(2, np.float32)  

53.         tmp[0] = radiu_inner * math.cos(pho) + np.random.rand(1) + center[0]  

54.         tmp[1] = radiu_inner * math.sin(pho) + np.random.rand(1) + center[1]  

55.         data.append(tmp)  

56.         theta += 2  

57.       

58.     theta = 0.0  

59.     for i in range(num_outer):  

60.         pho = (theta % 360) * math.pi / 180  

61.         tmp = np.zeros(2, np.float32)  

62.         tmp[0] = radiu_outer * math.cos(pho) + np.random.rand(1) + center[0]  

63.         tmp[1] = radiu_outer * math.sin(pho) + np.random.rand(1) + center[1]  

64.         data.append(tmp)  

65.         theta += 1  

66.       

67.     Mat_Label = np.zeros((2, 2), np.float32)  

68.     Mat_Label[0] = center + np.array([-radiu_inner + 0.5, 0])  

69.     Mat_Label[1] = center + np.array([-radiu_outer + 0.5, 0])  

70.     labels = [0, 1]  

71.     Mat_Unlabel = np.vstack(data)  

72.     return Mat_Label, labels, Mat_Unlabel  

73.   

74.   

75. def loadBandData(num_unlabel_samples):  

76.     #Mat_Label = np.array([[5.0, 2.], [5.0, 8.0]])  

77.     #labels = [0, 1]  

78.     #Mat_Unlabel = np.array([[5.1, 2.], [5.0, 8.1]])  

79.       

80.     Mat_Label = np.array([[5.0, 2.], [5.0, 8.0]])  

81.     labels = [0, 1]  

82.     num_dim = Mat_Label.shape[1]  

83.     Mat_Unlabel = np.zeros((num_unlabel_samples, num_dim), np.float32)  

84.     Mat_Unlabel[:num_unlabel_samples/2, :] = (np.random.rand(num_unlabel_samples/2, num_dim) - 0.5) * np.array([3, 1]) + Mat_Label[0]  

85.     Mat_Unlabel[num_unlabel_samples/2 : num_unlabel_samples, :] = (np.random.rand(num_unlabel_samples/2, num_dim) - 0.5) * np.array([3, 1]) + Mat_Label[1]  

86.     return Mat_Label, labels, Mat_Unlabel  

87.   

88.   

89. # main function  

90. if __name__ == "__main__":  

91.     num_unlabel_samples = 800  

92.     #Mat_Label, labels, Mat_Unlabel = loadBandData(num_unlabel_samples)  

93.     Mat_Label, labels, Mat_Unlabel = loadCircleData(num_unlabel_samples)  

94.       

95.     ## Notice: when use 'rbf' as our kernel, the choice of hyper parameter 'sigma' is very import! It should be  

96.     ## chose according to your dataset, specific the distance of two data points. I think it should ensure that  

97.     ## each point has about 10 knn or w_i,j is large enough. It also influence the speed of converge. So, may be  

98.     ## 'knn' kernel is better!  

99.     #unlabel_data_labels = labelPropagation(Mat_Label, Mat_Unlabel, labels, kernel_type = 'rbf', rbf_sigma = 0.2)  

100.     unlabel_data_labels = labelPropagation(Mat_Label, Mat_Unlabel, labels, kernel_type = 'knn', knn_num_neighbors = 10, max_iter = 400)  

101.     show(Mat_Label, labels, Mat_Unlabel, unlabel_data_labels)  

102.       

       该注释的，代码都注释的，有看不明白的，欢迎交流。不同迭代次数时候的结果如下：

       是不是很漂亮的传播过程？！在数值上也是可以看到随着迭代的进行逐渐收敛的，迭代的数值变化过程如下：

1. ---> Iteration 0/400, changed: 1602.000000  

2. ---> Iteration 1/400, changed: 6.300182  

3. ---> Iteration 2/400, changed: 5.129996  

4. ---> Iteration 3/400, changed: 4.301994  

5. ---> Iteration 4/400, changed: 3.819295  

6. ---> Iteration 5/400, changed: 3.501743  

7. ---> Iteration 6/400, changed: 3.277122  

8. ---> Iteration 7/400, changed: 3.105952  

9. ---> Iteration 8/400, changed: 2.967030  

10. ---> Iteration 9/400, changed: 2.848606  

11. ---> Iteration 10/400, changed: 2.743997  

12. ---> Iteration 11/400, changed: 2.649270  

13. ---> Iteration 12/400, changed: 2.562057  

14. ---> Iteration 13/400, changed: 2.480885  

15. ---> Iteration 14/400, changed: 2.404774  

16. ---> Iteration 15/400, changed: 2.333075  

17. ---> Iteration 16/400, changed: 2.265301  

18. ---> Iteration 17/400, changed: 2.201107  

19. ---> Iteration 18/400, changed: 2.140209  

20. ---> Iteration 19/400, changed: 2.082354  

21. ---> Iteration 20/400, changed: 2.027376  

22. ---> Iteration 21/400, changed: 1.975071  

23. ---> Iteration 22/400, changed: 1.925286  

24. ---> Iteration 23/400, changed: 1.877894  

25. ---> Iteration 24/400, changed: 1.832743  

26. ---> Iteration 25/400, changed: 1.789721  

27. ---> Iteration 26/400, changed: 1.748706  

28. ---> Iteration 27/400, changed: 1.709593  

29. ---> Iteration 28/400, changed: 1.672284  

30. ---> Iteration 29/400, changed: 1.636668  

31. ---> Iteration 30/400, changed: 1.602668  

32. ---> Iteration 31/400, changed: 1.570200  

33. ---> Iteration 32/400, changed: 1.539179  

34. ---> Iteration 33/400, changed: 1.509530  

35. ---> Iteration 34/400, changed: 1.481182  

36. ---> Iteration 35/400, changed: 1.454066  

37. ---> Iteration 36/400, changed: 1.428120  

38. ---> Iteration 37/400, changed: 1.403283  

39. ---> Iteration 38/400, changed: 1.379502  

40. ---> Iteration 39/400, changed: 1.356734  

41. ---> Iteration 40/400, changed: 1.334906  

42. ---> Iteration 41/400, changed: 1.313983  

43. ---> Iteration 42/400, changed: 1.293921  

44. ---> Iteration 43/400, changed: 1.274681  

45. ---> Iteration 44/400, changed: 1.256214  

46. ---> Iteration 45/400, changed: 1.238491  

47. ---> Iteration 46/400, changed: 1.221474  

48. ---> Iteration 47/400, changed: 1.205126  

49. ---> Iteration 48/400, changed: 1.189417  

50. ---> Iteration 49/400, changed: 1.174316  

51. ---> Iteration 50/400, changed: 1.159804  

52. ---> Iteration 51/400, changed: 1.145844  

53. ---> Iteration 52/400, changed: 1.132414  

54. ---> Iteration 53/400, changed: 1.119490  

55. ---> Iteration 54/400, changed: 1.107032  

56. ---> Iteration 55/400, changed: 1.095054  

57. ---> Iteration 56/400, changed: 1.083513  

58. ---> Iteration 57/400, changed: 1.072397  

59. ---> Iteration 58/400, changed: 1.061671  

60. ---> Iteration 59/400, changed: 1.051324  

61. ---> Iteration 60/400, changed: 1.041363  

62. ---> Iteration 61/400, changed: 1.031742  

63. ---> Iteration 62/400, changed: 1.022459  

64. ---> Iteration 63/400, changed: 1.013494  

65. ---> Iteration 64/400, changed: 1.004836  

66. ---> Iteration 65/400, changed: 0.996484  

67. ---> Iteration 66/400, changed: 0.988407  

68. ---> Iteration 67/400, changed: 0.980592  

69. ---> Iteration 68/400, changed: 0.973045  

70. ---> Iteration 69/400, changed: 0.965744  

71. ---> Iteration 70/400, changed: 0.958682  

72. ---> Iteration 71/400, changed: 0.951848  

73. ---> Iteration 72/400, changed: 0.945227  

74. ---> Iteration 73/400, changed: 0.938820  

75. ---> Iteration 74/400, changed: 0.932608  

76. ---> Iteration 75/400, changed: 0.926590  

77. ---> Iteration 76/400, changed: 0.920765  

78. ---> Iteration 77/400, changed: 0.915107  

79. ---> Iteration 78/400, changed: 0.909628  

80. ---> Iteration 79/400, changed: 0.904309  

81. ---> Iteration 80/400, changed: 0.899143  

82. ---> Iteration 81/400, changed: 0.894122  

83. ---> Iteration 82/400, changed: 0.889259  

84. ---> Iteration 83/400, changed: 0.884530  

85. ---> Iteration 84/400, changed: 0.879933  

86. ---> Iteration 85/400, changed: 0.875464  

87. ---> Iteration 86/400, changed: 0.871121  

88. ---> Iteration 87/400, changed: 0.866888  

89. ---> Iteration 88/400, changed: 0.862773  

90. ---> Iteration 89/400, changed: 0.858783  

91. ---> Iteration 90/400, changed: 0.854879  

92. ---> Iteration 91/400, changed: 0.851084  

93. ---> Iteration 92/400, changed: 0.847382  

94. ---> Iteration 93/400, changed: 0.843779  

95. ---> Iteration 94/400, changed: 0.840274  

96. ---> Iteration 95/400, changed: 0.836842  

97. ---> Iteration 96/400, changed: 0.833501  

98. ---> Iteration 97/400, changed: 0.830240  

99. ---> Iteration 98/400, changed: 0.827051  

100. ---> Iteration 99/400, changed: 0.823950  

101. ---> Iteration 100/400, changed: 0.820906  

102. ---> Iteration 101/400, changed: 0.817946  

103. ---> Iteration 102/400, changed: 0.815053  

104. ---> Iteration 103/400, changed: 0.812217  

105. ---> Iteration 104/400, changed: 0.809437  

106. ---> Iteration 105/400, changed: 0.806724  

107. ---> Iteration 106/400, changed: 0.804076  

108. ---> Iteration 107/400, changed: 0.801480  

109. ---> Iteration 108/400, changed: 0.798937  

110. ---> Iteration 109/400, changed: 0.796448  

111. ---> Iteration 110/400, changed: 0.794008  

112. ---> Iteration 111/400, changed: 0.791612  

113. ---> Iteration 112/400, changed: 0.789282  

114. ---> Iteration 113/400, changed: 0.786984  

115. ---> Iteration 114/400, changed: 0.784728  

116. ---> Iteration 115/400, changed: 0.782516  

117. ---> Iteration 116/400, changed: 0.780355  

118. ---> Iteration 117/400, changed: 0.778216  

119. ---> Iteration 118/400, changed: 0.776139  

120. ---> Iteration 119/400, changed: 0.774087  

121. ---> Iteration 120/400, changed: 0.772072  

122. ---> Iteration 121/400, changed: 0.770085  

123. ---> Iteration 122/400, changed: 0.768146  

124. ---> Iteration 123/400, changed: 0.766232  

125. ---> Iteration 124/400, changed: 0.764356  

126. ---> Iteration 125/400, changed: 0.762504  

127. ---> Iteration 126/400, changed: 0.760685  

128. ---> Iteration 127/400, changed: 0.758889  

129. ---> Iteration 128/400, changed: 0.757135  

130. ---> Iteration 129/400, changed: 0.755406  

四、LP算法MPI并行实现

       这里，我们测试的是LP的变身版本。从公式，我们可以看到，第二项P_ULY_L迭代过程并没有发生变化，所以这部分实际上从迭代开始就可以计算好，从而避免重复计算。不过，不管怎样，LP算法都要计算一个UxU的矩阵P_UU和一个UxC矩阵F_U的乘积。当我们的unlabeled数据非常多，而且类别也很多的时候，计算是很慢的，同时占用的内存量也非常大。另外，构造Graph需要计算两两的相似度，也是O(n²)的复杂度，当我们数据的特征维度很大的时候，这个计算量也是非常客观的。所以我们就得考虑并行处理了。而且最好是能放到集群上并行。那如何并行呢？

       对算法的并行化，一般分为两种：数据并行和模型并行。

       数据并行很好理解，就是将数据划分，每个节点只处理一部分数据，例如我们构造图的时候，计算每个数据的k近邻。例如我们有1000个样本和20个CPU节点，那么就平均分发，让每个CPU节点计算50个样本的k近邻，然后最后再合并大家的结果。可见这个加速比也是非常可观的。

       模型并行一般发生在模型很大，无法放到单机的内存里面的时候。例如庞大的深度神经网络训练的时候，就需要把这个网络切开，然后分别求解梯度，最后有个leader的节点来收集大家的梯度，再反馈给大家去更新。当然了，其中存在更细致和高效的工程处理方法。在我们的LP算法中，也是可以做模型并行的。假如我们的类别数C很大，把类别数切开，让不同的CPU节点处理，实际上就相当于模型并行了。

       那为啥不切大矩阵P_UU，而是切小点的矩阵F_U，因为大矩阵P_UU没法独立分块，并行的一个原则是处理必须是独立的。 矩阵F_U依赖的是所有的U，而把P_UU切开分发到其他节点的时候，每次F_U的更新都需要和其他的节点通信，这个通信的代价是很大的（实际上，很多并行系统没法达到线性的加速度的瓶颈是通信！线性加速比是，我增加了n台机器，速度就提升了n倍）。但是对类别C也就是矩阵F_U切分，就不会有这个问题，因为他们的计算是独立的。只是决定样本的最终类别的时候，将所有的F_U收集回来求max就可以了。

       所以，在下面的代码中，是同时包含了数据并行和模型并行的雏形的。另外，还值得一提的是，我们是迭代算法，那决定什么时候迭代算法停止？除了判断收敛外，我们还可以让每迭代几步，就用测试label测试一次结果，看模型的整体训练性能如何。特别是判断训练是否过拟合的时候非常有效。因此，代码中包含了这部分内容。

       好了，代码终于来了。大家可以搞点大数据库来测试，如果有MPI集群条件的话就更好了。

       下面的代码依赖numpy、scipy（用其稀疏矩阵加速计算）和mpi4py。其中mpi4py需要依赖openmpi和Cpython，可以参考我之前的博客进行安装。

1. #***************************************************************************  

2. #*   

3. #* Description: label propagation  

4. #* Author: Zou Xiaoyi ([e-mail])  

5. #* Date:   2015-10-15  

6. #* HomePage: http://blog.csdn.net/zouxy09  

7. #*   

8. #**************************************************************************  

9.   

10. import os, sys, time  

11. import numpy as np  

12. from scipy.sparse import csr_matrix, lil_matrix, eye  

13. import operator  

14. import cPickle as pickle  

15. import mpi4py.MPI as MPI  

16.   

17. #  

18. #   Global variables for MPI  

19. #  

20.   

21. # instance for invoking MPI related functions  

22. comm = MPI.COMM_WORLD  

23. # the node rank in the whole community  

24. comm_rank = comm.Get_rank()  

25. # the size of the whole community, i.e., the total number of working nodes in the MPI cluster  

26. comm_size = comm.Get_size()  

27.   

28. # load mnist dataset  

29. def load_MNIST():  

30.     import gzip  

31.     f = gzip.open("mnist.pkl.gz", "rb")  

32.     train, val, test = pickle.load(f)  

33.     f.close()  

34.       

35.     Mat_Label = train[0]  

36.     labels = train[1]  

37.     Mat_Unlabel = test[0]  

38.     groundtruth = test[1]  

39.     labels_id = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]  

40.   

41.     return Mat_Label, labels, labels_id, Mat_Unlabel, groundtruth  

42.   

43. # return k neighbors index  

44. def navie_knn(dataSet, query, k):  

45.     numSamples = dataSet.shape[0]  

46.   

47.     ## step 1: calculate Euclidean distance  

48.     diff = np.tile(query, (numSamples, 1)) - dataSet  

49.     squaredDiff = diff ** 2  

50.     squaredDist = np.sum(squaredDiff, axis = 1) # sum is performed by row  

51.   

52.     ## step 2: sort the distance  

53.     sortedDistIndices = np.argsort(squaredDist)  

54.     if k > len(sortedDistIndices):  

55.         k = len(sortedDistIndices)  

56.     return sortedDistIndices[0:k]  

57.   

58.   

59. # build a big graph (normalized weight matrix)  

60. # sparse U x (U + L) matrix  

61. def buildSubGraph(Mat_Label, Mat_Unlabel, knn_num_neighbors):  

62.     num_unlabel_samples = Mat_Unlabel.shape[0]  

63.     data = []; indices = []; indptr = [0]  

64.     Mat_all = np.vstack((Mat_Label, Mat_Unlabel))  

65.     values = np.ones(knn_num_neighbors, np.float32) / knn_num_neighbors  

66.     for i in xrange(num_unlabel_samples):  

67.         k_neighbors = navie_knn(Mat_all, Mat_Unlabel[i, :], knn_num_neighbors)  

68.         indptr.append(np.int32(indptr[-1]) + knn_num_neighbors)  

69.         indices.extend(k_neighbors)  

70.         data.append(values)   

71.     return csr_matrix((np.hstack(data), indices, indptr))  

72.   

73.   

74. # build a big graph (normalized weight matrix)  

75. # sparse U x (U + L) matrix  

76. def buildSubGraph_MPI(Mat_Label, Mat_Unlabel, knn_num_neighbors):  

77.     num_unlabel_samples = Mat_Unlabel.shape[0]  

78.     local_data = []; local_indices = []; local_indptr = [0]  

79.     Mat_all = np.vstack((Mat_Label, Mat_Unlabel))  

80.     values = np.ones(knn_num_neighbors, np.float32) / knn_num_neighbors  

81.     sample_offset = np.linspace(0, num_unlabel_samples, comm_size + 1).astype('int')  

82.     for i in range(sample_offset[comm_rank], sample_offset[comm_rank+1]):  

83.         k_neighbors = navie_knn(Mat_all, Mat_Unlabel[i, :], knn_num_neighbors)  

84.         local_indptr.append(np.int32(local_indptr[-1]) + knn_num_neighbors)  

85.         local_indices.extend(k_neighbors)  

86.         local_data.append(values)  

87.     data = np.hstack(comm.allgather(local_data))  

88.     indices = np.hstack(comm.allgather(local_indices))  

89.     indptr_tmp = comm.allgather(local_indptr)  

90.     indptr = []  

91.     for i in range(len(indptr_tmp)):  

92.         if i == 0:  

93.             indptr.extend(indptr_tmp[i])  

94.         else:  

95.             last_indptr = indptr[-1]  

96.             del(indptr[-1])  

97.             indptr.extend(indptr_tmp[i] + last_indptr)  

98.     return csr_matrix((np.hstack(data), indices, indptr), dtype = np.float32)  

99.   

100.   

101. # label propagation  

102. def run_label_propagation_sparse(knn_num_neighbors = 20, max_iter = 100, tol = 1e-4, test_per_iter = 1):  

103.     # load data and graph  

104.     print "Processor %d/%d loading graph file..." % (comm_rank, comm_size)  

105.     #Mat_Label, labels, Mat_Unlabel, groundtruth = loadFourBandData()  

106.     Mat_Label, labels, labels_id, Mat_Unlabel, unlabel_data_id = load_MNIST()  

107.     if comm_size > len(labels_id):  

108.         raise ValueError("Sorry, the processors must be less than the number of classes")  

109.     #affinity_matrix = buildSubGraph(Mat_Label, Mat_Unlabel, knn_num_neighbors)  

110.     affinity_matrix = buildSubGraph_MPI(Mat_Label, Mat_Unlabel, knn_num_neighbors)  

111.       

112.     # get some parameters  

113.     num_classes = len(labels_id)  

114.     num_label_samples = len(labels)  

115.     num_unlabel_samples = Mat_Unlabel.shape[0]  

116.   

117.     affinity_matrix_UL = affinity_matrix[:, 0:num_label_samples]  

118.     affinity_matrix_UU = affinity_matrix[:, num_label_samples:num_label_samples+num_unlabel_samples]  

119.   

120.     if comm_rank == 0:  

121.         print "Have %d labeled images, %d unlabeled images and %d classes" % (num_label_samples, num_unlabel_samples, num_classes)  

122.       

123.     # divide label_function_U and label_function_L to all processors  

124.     class_offset = np.linspace(0, num_classes, comm_size + 1).astype('int')  

125.       

126.     # initialize local label_function_U  

127.     local_start_class = class_offset[comm_rank]  

128.     local_num_classes = class_offset[comm_rank+1] - local_start_class  

129.     local_label_function_U = eye(num_unlabel_samples, local_num_classes, 0, np.float32, format='csr')  

130.       

131.     # initialize local label_function_L  

132.     local_label_function_L = lil_matrix((num_label_samples, local_num_classes), dtype = np.float32)  

133.     for i in xrange(num_label_samples):  

134.         class_off = int(labels[i]) - local_start_class  

135.         if class_off >= 0 and class_off < local_num_classes:  

136.             local_label_function_L[i, class_off] = 1.0  

137.     local_label_function_L = local_label_function_L.tocsr()  

138.     local_label_info = affinity_matrix_UL.dot(local_label_function_L)  

139.     print "Processor %d/%d has to process %d classes..." % (comm_rank, comm_size, local_label_function_L.shape[1])  

140.       

141.     # start to propagation  

142.     iter = 1; changed = 100.0;  

143.     evaluation(num_unlabel_samples, local_start_class, local_label_function_U, unlabel_data_id, labels_id)  

144.     while True:  

145.         pre_label_function = local_label_function_U.copy()  

146.           

147.         # propagation  

148.         local_label_function_U = affinity_matrix_UU.dot(local_label_function_U) + local_label_info  

149.           

150.         # check converge  

151.         local_changed = abs(pre_label_function - local_label_function_U).sum()  

152.         changed = comm.reduce(local_changed, root = 0, op = MPI.SUM)  

153.         status = 'RUN'  

154.         test = False  

155.         if comm_rank == 0:  

156.             if iter % 1 == 0:  

157.                 norm_changed = changed / (num_unlabel_samples * num_classes)  

158.                 print "---> Iteration %d/%d, changed: %f" % (iter, max_iter, norm_changed)  

159.             if iter >= max_iter or changed < tol:  

160.                 status = 'STOP'  

161.                 print "************** Iteration over! ****************"  

162.             if iter % test_per_iter == 0:  

163.                 test = True  

164.             iter += 1  

165.         test = comm.bcast(test if comm_rank == 0 else None, root = 0)  

166.         status = comm.bcast(status if comm_rank == 0 else None, root = 0)  

167.         if status == 'STOP':  

168.             break  

169.         if test == True:  

170.             evaluation(num_unlabel_samples, local_start_class, local_label_function_U, unlabel_data_id, labels_id)  

171.     evaluation(num_unlabel_samples, local_start_class, local_label_function_U, unlabel_data_id, labels_id)  

172.   

173.   

174. def evaluation(num_unlabel_samples, local_start_class, local_label_function_U, unlabel_data_id, labels_id):  

175.     # get local label with max score  

176.     if comm_rank == 0:  

177.         print "Start to combine local result..."  

178.     local_max_score = np.zeros((num_unlabel_samples, 1), np.float32)   

179.     local_max_label = np.zeros((num_unlabel_samples, 1), np.int32)  

180.     for i in xrange(num_unlabel_samples):  

181.         local_max_label[i, 0] = np.argmax(local_label_function_U.getrow(i).todense())  

182.         local_max_score[i, 0] = local_label_function_U[i, local_max_label[i, 0]]  

183.         local_max_label[i, 0] += local_start_class  

184.           

185.     # gather the results from all the processors  

186.     if comm_rank == 0:  

187.         print "Start to gather results from all processors"  

188.     all_max_label = np.hstack(comm.allgather(local_max_label))  

189.     all_max_score = np.hstack(comm.allgather(local_max_score))  

190.       

191.     # get terminate label of unlabeled data  

192.     if comm_rank == 0:  

193.         print "Start to analysis the results..."  

194.         right_predict_count = 0  

195.         for i in xrange(num_unlabel_samples):  

196.             if i % 1000 == 0:  

197.                 print "***", all_max_score[i]  

198.             max_idx = np.argmax(all_max_score[i])  

199.             max_label = all_max_label[i, max_idx]  

200.             if int(unlabel_data_id[i]) == int(labels_id[max_label]):  

201.                 right_predict_count += 1  

202.         accuracy = float(right_predict_count) * 100.0 / num_unlabel_samples  

203.         print "Have %d samples, accuracy: %.3f%%!" % (num_unlabel_samples, accuracy)  

204.   

205.   

206. if __name__ == '__main__':  

207.     run_label_propagation_sparse(knn_num_neighbors = 20, max_iter = 30)  

五、参考资料

[1]Semi-SupervisedLearning with Graphs.pdf

原文链接