1 二叉堆定义
使用数组来实现二叉堆，二叉堆两个属性，其中 LENGTH(A) 表示数组 A 的长度，而 HEAP_SIZE(A) 则表示存放在A中的堆的元素个数，其中 LENGTH(A) <= HEAP_SIZE(A)，也就是说虽然 A[0,1,…N-1] 都可以包含有效值，但是 A[HEAP_SIZE(A)-1] 之后的元素不属于相应的堆。
二叉堆对应的树的根为 A[0]，给定某个结点的下标 i ，可以很容易计算它的父亲结点和儿子结点。注意在后面的示例图中我们标注元素是从1开始计数的，而实现代码中是从0开始计数。
#define PARENT(i) ( i > 0 ? (i-1)/2 : 0)
#define LEFT(i) (2 * i + 1)
#define RIGHT(i) (2 * i + 2)
注：堆对应的树每一层都是满的，所以一个高度为 h 的堆中，元素数目最多为 1+2+2^2+…2^h = 2^(h+1) - 1(满二叉树)，元素数目最少为 1+2+…+2^(h-1) + 1 = 2^h。
由于元素数目 2^h <= n <= 2^(h+1) -1，所以 h <= lgn < h+1，因此 h = lgn 。即一个包含n个元素的二叉堆高度为 lgn 。
2 保持堆的性质
本文主要建立一个最大堆，最小堆原理类似。为了保持堆的性质，maxHeapify(int A[], int i) 函数让堆数组 A 在最大堆中下降，使得以 i 为根的子树成为最大堆。
void maxHeapify(int A[], int i, int heapSize)
{
int l = LEFT(i);
int r = RIGHT(i);
int largest = i;
if (l <= heapSize-1 && A[l] > A[i]) {
largest = l;
}
if (r <= heapSize-1 && A[r] > A[largest]) {
largest = r;
}
if (largest != i) { // 最大值不是i，则需要交换i和largest的元素，并递归调用maxHeapify。
swapInt(A, i, largest);
maxHeapify(A, largest, heapSize);
}
}
在算法每一步里，从元素 A[i] 和 A[left] 以及 A[right] 中选出最大的，将其下标存在 largest 中。如果 A[i] 最大，则以 i 为根的子树已经是最大堆，程序结束。
否则，i 的某个子结点有最大元素，将 A[i] 与 A[largest] 交换，从而使i及其子女满足最大堆性质。此外，下标为 largest 的结点在交换后值变为 A[i]，以该结点为根的子树又有可能违反最大堆的性质，所以要对该子树递归调用maxHeapify()函数。
当 maxHeapify() 函数作用在一棵以 i 为根结点的、大小为 n 的子树上时，运行时间为调整A[i]、A[left]、A[right] 的时间 O(1)，加上对以 i 为某个子结点为根的子树递归调用 maxHeapify 的时间。i 结点为根的子树大小最多为 2n/3(最底层刚好半满的时候)，所以可以推得 T(N) <= T(2N/3) + O(1)，所以 T(N)=O(lgN)。
下图是一个运行 maxHeapify(heap, 2) 的例子。A[] = {16, 4, 10, 14, 7, 9, 3, 2, 8, 1}，堆大小为 10。
3 建立最大堆
我们可以知道，数组 A[0, 1, …, N-1] 中，A[N/2, …, N-1] 的元素都是树的叶结点。如上面图中的 6-10 的结点都是叶结点。每个叶子结点可以看作是只含一个元素的最大堆，因此我们只需要对其他的结点调用 maxHeapify() 函数即可。
void buildMaxHeap(int A[], int n)
{
int i;
for (i = n/2-1; i >= 0; i--) {
maxHeapify(A, i, n);
}
}
之所以这个函数是正确的，我们需要来证明一下，可以使用循环不变式来证明。
循环不变式：在for循环开始前，结点 i+1、i+2…N-1 都是一个最大堆的根。
初始化：for循环开始迭代前，i = N/2-1, 结点 N/2, N/2+1, …, N-1都是叶结点，也都是最大堆的根。
保持：因为结点 i 的子结点标号都比 i 大，根据循环不变式的定义，这些子结点都是最大堆的根，所以调用 maxHeapify() 后，i 成为了最大堆的根，而 i+1, i+2, …, N-1仍然保持最大堆的性质。
终止：过程终止时，i=0，因此结点 0, 1, 2, …, N-1都是最大堆的根，特别的，结点0就是一个最大堆的根。