43. 字符串相乘
题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/multiply-strings
题目
给定两个以字符串形式表示的非负整数 num1 和 num2，返回 num1 和 num2 的乘积，它们的乘积也表示为字符串形式。
示例 1:
输入: num1 = "2", num2 = "3"
输出: "6"
示例 2:
输入: num1 = "123", num2 = "456"
输出: "56088"
说明：
- num1 和 num2 的长度小于110。
- num1 和 num2 只包含数字 0-9。
- num1 和 num2 均不以零开头，除非是数字 0 本身。
- 不能使用任何标准库的大数类型（比如 BigInteger）或直接将输入转换为整数来处理。
解题思路
思路：竖式运算
首先审题，题目要求的是乘积，那么我们可以模拟竖式乘法来计算乘积。
这里先要注意一种情况，当 num1 和 num2 任意一个为 0 时，直接返回 0。
如果 num1 和 num2 都不为 0，那么我们可以遍历 num2 每一位和 num1 进行相乘，然后将每次相乘的结果进行累加。（这其实就是我们竖式乘法运算的思想）如下图示：
之前我们曾遇到过 415. 字符串相加，我们在后续的累加的部分可以直接使用此题的思想。还有一个需要注意的，除了 num2 最低位与 num1 的运算除外，其他位与 num1 的乘积都应该补 0。
具体代码实现见【代码实现 # 竖式运算】
在上面的算法中，需要对每步计算计算的字符串进行相加的过程，多次对字符串进行操作，会消耗性能。
在这里，我们对竖式运算进行优化，我们采用数组代替字符串存储结果，避免频繁操作字符串。
先看题目后面的说明中，第 2、3 条说明 num1 和 num2 不存在前导 0 的情况，并且 num1 和 num2 中每位数只包含 0 到 9 之间的数字。在这里，我们根据这个来确定定义数组的长度。
我们知道，（自然数中）只有 1 位的数字最小的是 0，最大为 9。两位数最小的是 10，最大的是 99。我们可以发现，这里是有规律的。假设 n 为数字位数，那么当 n = 1 时，最小数字为 0=1000=10^{0}0=100，最大数字为 9=101−19 = 10^{1}-19=101−1；当 n = 2 时，最小数字为 10=102−110 = 10^{2-1}10=102−1，最大数字为 99=102−199 = 10^{2}-199=102−1。也就说，当 n 取大于 0 的数（正整数）时，n 位数最小数为 10n−110^{n-1}10n−1，最大数为 10n−110^{n} - 110n−1。
现在我们假设，N1、N2 分别为 num1 和 num2 的长度。这里看 num1 和 num2 分别去最小值和最大值时可能的长度。
- 当 num1\rm{num1}num1 和 num2\rm{num2}num2 取最小值时，也就是 num1=10N1−1,num2=10N2−1\rm{num1}= 10^{N1-1}, \rm{num2}= 10^{N2-1}num1=10N1−1,num2=10N2−1，那么两者的乘积 num1×num2=10N1+N2−2\rm{num1} \times \rm{num2}= 10^{N1+N2-2}num1×num2=10N1+N2−2，也就说此时乘积的长度为 N1+N2−1N1+N2-1N1+N2−1；
- 当 num1\rm{num1}num1 和 num2\rm{num2}num2 取最大值时，也就是 num1=10N1−1,num2=10N2−1\rm{num1}= 10^{N1}-1, \rm{num2}= 10^{N2}-1num1=10N1−1,num2=10N2−1，那么两者的乘积 num1×num2=10N1+N2−10N1−10N2+1\rm{num1} \times \rm{num2}= 10^{N1+N2} - 10^{N1}-10^{N2}+1num1×num2=10N1+N2−10N1−10N2+1，这里我们可以发现，两者的乘积是介于 [10N1+N2−110^{N1+N2-1}10N1+N2−1, 10N1+N210^{N1+N2}10N1+N2] 之间的。也就说长度为 N1+N2N1+N2N1+N2
在这里，两数相乘的最大长度为两数长度之和。那么定义数组 ans 长度为 len(num1)+len(num2)。对于任意 0≤i<N10\leq i <N10≤i<N1 和 0≤j<N20\leq j < N20≤j<N2，索引对应的数值乘积结果（最大两位数，形如 ‘ab’,‘0a’ 的形式），结果第一位位于 ans[i+j] 中，第二位位于 ans[i+j+1] 中。可结合下图理解：
具体代码见【代码实现 # 竖式运算（优化）】
代码实现
# 竖式运算
class Solution:
def multiply(self, num1: str, num2: str) -> str:
if num1 == '0' or num2 == '0':
return '0'
ans = '0'
N1, N2 = len(num1), len(num2)
# 从后往前遍历 num2，与 num1 相乘
for i in range(N2-1, -1, -1):
carry = 0
k = int(num2[i])
# 补充 0
curr = ['0'] * (N2-i-1)
for j in range(N1-1, -1, -1):
product = int(num1[j]) * k + carry
carry = product // 10
curr.append(str(product%10))
# 确认 carry 是否不为 0，不为 0 则补充在最高位
if carry != 0:
curr.append(str(carry))
# 形成字符串，放入下列求和方法中
curr = ''.join(curr[::-1])
ans = self.addStrings(ans, curr)
return ans
def addStrings(self, num1: str, num2: str) -> str:
# 用以存储计算结果
ans = []
# 定义指针分别指向 num1, num2 末尾
p = len(num1) - 1
q = len(num2) - 1
# 存储进位
carry = 0
# 模拟加法运算
# 这里将 carry 放到条件中，是考虑后续计算结束后，还有进位，也就是 carry 为 1 的情况
while p >= 0 or q >= 0 or carry:
# 由于有可能出现索引溢出的现象，
# 当较短的字符串索引溢出时，要在头部添加 0，用以后续计算
elem1 = int(num1[p]) if p >= 0 else 0
elem2 = int(num2[q]) if q >= 0 else 0
# 模拟计算，注意加上进位
tmp = elem1 + elem2 + carry
# 相加结果可能大于 10
# 计算进位，并且就将结果模 10，余数添加到 ans 头部
carry = tmp // 10
# ans = str(tmp % 10) + ans
ans.append(str(tmp % 10))
# 往前继续计算
p -= 1
q -= 1
return ''.join(ans[::-1])
# 竖式运算（优化）
class Solution:
def multiply(self, num1: str, num2: str) -> str:
if num1 == "0" or num2 == "0":
return "0"
N1, N2 = len(num1), len(num2)
ans = [0] * (N1+N2)
for i in range(N1-1, -1, -1):
a = int(num1[i])
for j in range(N2-1, -1, -1):
b = int(num2[j])
tmp = ans[i+j+1] + a * b
ans[i+j] += tmp // 10
ans[i+j+1] = tmp % 10
# 文章分析了取值为最小最大时，两数乘积的长度为 N1 + N2 - 1 和 N1 + N2
# 这里注意数组中首元素
ans = ans[1:] if ans[0] == 0 else ans
return ''.join(str(x) for x in ans)