- 作者：陈大鱼头
- 项目地址：ying-leetcode
- 碎碎念：Mmmmm，不定期刷leetcode，会以JS TS PY的形式输出出来
题目描述：
给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。
请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。
你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。
示例 1:
nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
// 则中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
// 则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
解题思路
这条题目本身其实不难，主要麻烦的地方是限制了时间复杂度为 O(log(m + n))，所以我们可以参考归并排序的思路去实现，那么既然是归并排序，就有两种方案，一种是自上而下的递归，另一种是 自下而上的迭代。
其实就是对排好序的两个数组的扫描，判断，一直往右移，每移一次判断一次当前位置，如果两个数组总长度是奇数，事实上这个中位数就是在两个数组合并之后的最中间的值，否则则是中间位置前后的平均值，因为在这里我们不能合并数组，所以不能判断出结果。但是我们可以记录每次遍历两个数组的位置，从而不断缩小这个中位数的区间。
那么关键步骤就是：
- 二分两个数组得出第一个数组的left right与第二个数组的left right
- 进行二分的迭代或者递归
- 通过中位数的概念我们可以有当两个数组总长度为奇数时，则中位数是：
Max(left1, left2) - 当两个数组总长度为偶数时，则中位数是：
(Max(left1, left2) + Max(right1, right2)) / 2
JS版
/**
* @func
* @name findMedian
* @desc 使用二分法来获取中位数
* @param {number} start1 第一个数组需要查找的起始位置
* @param {number[]} nums1 传入的第一个数组
* @param {number} start2 第二个数组需要查找的起始位置
* @param {number[]} nums2 传入的第二个数组
* @param {number} half nums1与nums2的长度中间值
* @return {number} nums1与nums2的中位数
*/
const findMedian = (start1, nums1, start2, nums2, half) => {
const [{ length: len1 }, { length: len2 }] = [nums1, nums2]
// 下面两个if主要是对空数组的判断，如果是有一个是空数组，则输出另一个数组的中位数
if (start1 >= len1) {
return nums2[start2 + half - 1]
}
if (start2 >= len2) {
return nums1[start1 + half - 1]
}
if (half === 1) { // 此时两个数组总长度的一半就是等于1，说明两个数组就只有一个值，那么就哪个小输出哪个
return Math.min(nums1[start1], nums2[start2])
}
// 下面的不变量定义主要是为了查找是否有中间值，如果没有就赋值为Infinity，否则则赋值为这个中间值
const halfVal1 = (start1 + parseInt(half / 2) - 1 < len1
? nums1[start1 + parseInt(half / 2) - 1]
: Infinity)
const halfVal2 = (start2 + parseInt(half / 2) - 1 < len2
? nums2[start2 + parseInt(half / 2) - 1]
: Infinity)
// 这里是二分法的核心，判断两个数组中间值的大小，如果nums1的(half / 2)比较小的话，就说明我们找的数字不在nums1的前(half / 2)数字之中，所以我们nums1就往后移动(half / 2)。反之就是nums2往后移动(half / 2)。一直用二分法递归对比没有判断过的数，从而得到结果值。
return (halfVal1 < halfVal2
? findMedian(start1 + parseInt(half / 2), nums1, start2, nums2, half - parseInt(half / 2))
: findMedian(start1, nums1, start2 + parseInt(half / 2), nums2, half - parseInt(half / 2)));
}
/**
* @func
* @name findMedianSortedArrays
* @desc 寻找两个有序数组的中位数
* @param {number[]} nums1 传入的第一个数组
* @param {number[]} nums2 传入的第二个数组
* @return {number} 中位数
*/
const findMedianSortedArrays = (nums1, nums2) => {
const [{ length: len1 }, { length: len2 }] = [nums1, nums2]
const totalLen = len1 + len2 // 两个数组的总长度
return (totalLen % 2 === 1
? findMedian(0, nums1, 0, nums2, (totalLen + 1) / 2) // 总长度为奇数时
: (findMedian(0, nums1, 0, nums2, totalLen / 2) + findMedian(0, nums1, 0, nums2, totalLen / 2 + 1)) / 2) // 总长度为偶数时
}
/**
* @func
* @name findMedianSortedArrays2
* @desc 寻找两个有序数组的中位数
* @param {number[]} nums1 传入的第一个数组
* @param {number[]} nums2 传入的第二个数组
* @return {number} 中位数
*/
const findMedianSortedArrays2 = (nums1, nums2) => {
let len1 = nums1.length
let len2 = nums2.length
// 下面交换法主要是为了统一一个方向，方便迭代
if (len1 > len2) {
let lenTemp = len1
let numsTemp = nums1
len1 = len2
len2 = lenTemp
nums1 = nums2
nums2 = numsTemp
}
let left = 0 // 左边开始的位置
let right = len1 // 右边开始的位置
let mid = Math.floor((len1 + len2 + 1) / 2) // 中间位置
// 二分法 迭代模式
while (left <= right) {
let i = Math.floor((left + right) / 2) // 左边遍历到的位置
let j = Math.floor(mid - i) // 右边遍历到的位置
if (i < len1 && nums2[j - 1] > nums1[i]) { // 如果当前左边遍历的位置还没到数组1的长度，并且数组二遍历到的元素是比数组已的元素大的，那么这该时候就说明i还太小，需要+1
left = i + 1
} else if (i > 0 && nums1[i - 1] > nums2[j]) { // 如上，相反的逻辑 - 1
right = i - 1
} else {
let maxLeft
let maxRight
// 下面一层二层的判断是为了处理当有一个数组长度为0时的情况
if (i === 0) {
maxLeft = nums2[j - 1]
} else if (j === 0) {
maxLeft = nums1[i - 1]
} else { // 此时则是获取当前遍历到的两个数组对比的最大值
maxLeft = Math.max(nums1[i - 1], nums2[j - 1])
}
if ((len1 + len2) % 2 === 1) { // 如果两个数组的长度为奇数，可以直接输出最大值
return maxLeft
}
// 下面则是判断数组长度加起来为偶数时的情况
if (i === len1) { // 当i已经遍历完时，则右边中间值为第二个数组当前遍历的值
maxRight = nums2[j]
} else if (j === len2) { // 与上相反
maxRight = nums1[i]
} else { // 获取当前遍历到的值中的最大值
maxRight = Math.min(nums1[i], nums2[j])
}
// 最终的值为left right两边中间值的一半
return (maxLeft + maxRight) / 2
}
}
}
TS版
/**
* @func
* @name findMedian
* @desc 使用二分法来获取中位数
* @param {number} start1 第一个数组需要查找的起始位置
* @param {number[]} nums1 传入的第一个数组
* @param {number} start2 第二个数组需要查找的起始位置
* @param {number[]} nums2 传入的第二个数组
* @param {number} half nums1与nums2的长度中间值
* @return {number} nums1与nums2的中位数
*/
const findMedian = (start1: number, nums1: number[], start2: number, nums2: number[], half: number): number => {
const [{ length: len1 }, { length: len2 }] = [nums1, nums2]
// 下面两个if主要是对空数组的判断，如果是有一个是空数组，则输出另一个数组的中位数
if (start1 >= len1) {
return nums2[start2 + half - 1]
}
if (start2 >= len2) {
return nums1[start1 + half - 1]
}
if (half === 1) { // 此时两个数组总长度的一半就是等于1，说明两个数组就只有一个值，那么就哪个小输出哪个
return Math.min(nums1[start1], nums2[start2])
}
// 下面的不变量定义主要是为了查找是否有中间值，如果没有就赋值为Infinity，否则则赋值为这个中间值
const halfVal1 = (start1 + parseInt(half / 2) - 1 < len1
? nums1[start1 + parseInt(half / 2) - 1]
: Infinity)
const halfVal2 = (start2 + parseInt(half / 2) - 1 < len2
? nums2[start2 + parseInt(half / 2) - 1]
: Infinity)
// 这里是二分法的核心，判断两个数组中间值的大小，如果nums1的(half / 2)比较小的话，就说明我们找的数字不在nums1的前(half / 2)数字之中，所以我们nums1就往后移动(half / 2)。反之就是nums2往后移动(half / 2)。一直用二分法递归对比没有判断过的数，从而得到结果值。
return (halfVal1 < halfVal2
? findMedian(start1 + parseInt(half / 2), nums1, start2, nums2, half - parseInt(half / 2))
: findMedian(start1, nums1, start2 + parseInt(half / 2), nums2, half - parseInt(half / 2)));
}
/**
* @func
* @name findMedianSortedArrays
* @desc 寻找两个有序数组的中位数
* @param {number[]} nums1 传入的第一个数组
* @param {number[]} nums2 传入的第二个数组
* @return {number} 中位数
*/
const findMedianSortedArrays = (nums1: number, nums2: number): number => {
const [{ length: len1 }, { length: len2 }] = [nums1, nums2]
const totalLen = len1 + len2 // 两个数组的总长度
return (totalLen % 2 === 1
? findMedian(0, nums1, 0, nums2, (totalLen + 1) / 2) // 总长度为奇数时
: (findMedian(0, nums1, 0, nums2, totalLen / 2) + findMedian(0, nums1, 0, nums2, totalLen / 2 + 1)) / 2) // 总长度为偶数时
}
/**
* @func
* @name findMedianSortedArrays2
* @desc 寻找两个有序数组的中位数
* @param {number[]} nums1 传入的第一个数组
* @param {number[]} nums2 传入的第二个数组
* @return {number} 中位数
*/
const findMedianSortedArrays2 = (nums1: number[], nums2: number[]): number => {
let len1: number = nums1.length
let len2: number = nums2.length
// 下面交换法主要是为了统一一个方向，方便迭代
if (len1 > len2) {
let lenTemp: number = len1
let numsTemp: number[] = nums1
len1 = len2
len2 = lenTemp
nums1 = nums2
nums2 = numsTemp
}
let left: number = 0 // 左边开始的位置
let right: number = len1 // 右边开始的位置
let mid: number = Math.floor((len1 + len2 + 1) / 2) // 中间位置
// 二分法 迭代模式
while (left <= right) {
let i: number = Math.floor((left + right) / 2) // 左边遍历到的位置
let j: number = Math.floor(mid - i) // 右边遍历到的位置
if (i < len1 && nums2[j - 1] > nums1[i]) { // 如果当前左边遍历的位置还没到数组1的长度，并且数组二遍历到的元素是比数组已的元素大的，那么这该时候就说明i还太小，需要+1
left = i + 1
} else if (i > 0 && nums1[i - 1] > nums2[j]) { // 如上，相反的逻辑 - 1
right = i - 1
} else {
let maxLeft: number
let maxRight: number
// 下面一层二层的判断是为了处理当有一个数组长度为0时的情况
if (i === 0) {
maxLeft = nums2[j - 1]
} else if (j === 0) {
maxLeft = nums1[i - 1]
} else { // 此时则是获取当前遍历到的两个数组对比的最大值
maxLeft = Math.max(nums1[i - 1], nums2[j - 1])
}
if ((len1 + len2) % 2 === 1) { // 如果两个数组的长度为奇数，可以直接输出最大值
return maxLeft
}
// 下面则是判断数组长度加起来为偶数时的情况
if (i === len1) { // 当i已经遍历完时，则右边中间值为第二个数组当前遍历的值
maxRight = nums2[j]
} else if (j === len2) { // 与上相反
maxRight = nums1[i]
} else { // 获取当前遍历到的值中的最大值
maxRight = Math.min(nums1[i], nums2[j])
}
// 最终的值为left right两边中间值的一半
return (maxLeft + maxRight) / 2
}
}
}
PY版
from typing import List
def findMedian(start1: int, nums1: List[int], start2: int, nums2: List[int], half: int) -> float:
"""
:type start1: int
:type nums1: List[int]
:type start2: int
:type nums2: List[int]
:type half: int
:rtype: float
"""
len1 = len(nums1)
len2 = len(nums2)
if start1 >= len1:
return nums2[int(start2 + half - 1)]
if start2 >= len2:
return nums1[int(start1 + half - 1)]
if half == 1:
return min(nums1[start1], nums2[start2])
halfVal1 = float('Infinity')
halfVal2 = float('Infinity')
if (start1 + int(half / 2) - 1) < len1:
halfVal1 = nums1[start1 + int(half / 2) - 1]
if (start2 + int(half / 2) - 1) < len2:
halfVal2 = nums2[start2 + int(half / 2) - 1]
if halfVal1 < halfVal2:
return findMedian(start1 + int(half / 2), nums1, start2, nums2, half - int(half / 2))
else:
return findMedian(start1, nums1, start2 + int(half / 2), nums2, half - int(half / 2))
def findMedianSortedArrays(nums1: List[int], nums2: List[int]) -> float:
"""
:type nums1: List[int]
:type nums2: List[int]
:rtype: float
"""
len1 = len(nums1)
len2 = len(nums2)
totalLen = len1 + len2
if totalLen % 2 == 1:
return findMedian(0, nums1, 0, nums2, (totalLen + 1) / 2)
else:
return (findMedian(0, nums1, 0, nums2, totalLen / 2) + findMedian(0, nums1, 0, nums2, totalLen / 2 + 1)) / 2