首先需要明白 0-1 背包问题中的放置表格，见 “玩转算法面试 从真题到思维全面提升算法思维” 9-5 节，本题思路类似
表格纵向为：只考虑第 [0 …,… index] 种硬币（物品）
表格横向为：需要兑换的金额（背包容量）为 j
表格内容为：在横向和纵向的条件下，最少的硬币（物品）数
即：通过表格列举出，当硬币种类为 [0 …,… index] 种，兑换金额为 j 时，最少的硬币数量
以 Example 1 为例，可以画出下面的表格
Input: coins = [1, 2, 5], amount = 11
Output: 3
Explanation: 11 = 5 + 5 + 1
| 硬币&金额 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 2 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 4 | 4 | 5 | 5 | 6 |
| 5 | 0 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 | 2 | 2 | 3 | 3 | 2 | 3 |
第一行：当只考虑面值为 1 的硬币时，兑换总金额为 0 1 2 3… 时，最少需要 0 1 2 3… 个
从第二行开始是关键，举例来说：
若想求只考虑面值为 1 和 2 的硬币时，兑换总金额为 7 最少有几种情况，即表格里加粗的数字是多少，可以这样考虑：
所求的问题可以拆分成这两种情况：
(1) 不使用面值为 2 的进行兑换，则问题变为 “只考虑面值为 1 的硬币时，兑换总金额为 7 最少有几种情况”，这个问题在第一行已经解决，就是上一格的元素，7
(2) 使用至少一个面值为 2 的进行兑换，首先拿一个 2，这样用了一个硬币，剩余金额为 7 - 2 = 5
子问题变为 “考虑面值为 1 和 2 的硬币，兑换总金额为 5” 最少有几种情况，注意子问题仍还需要 “考虑面值为 1 和 2”，而不是只考虑 1，因为可以使用多次 2！，这个子问题的解就是第二行纵坐标为 5 的格子元素的值，即为 3，加上之前用过的一个 “2”，所以需要 3 + 1 = 4 个。
同样，第三行拆分成 “不使用面值为 5 的进行兑换，即只考虑面值为 1 2” 和 “使用至少一个面值为 5 的进行兑换”
比如第 i 行第 j 列，第 i 行（从0开始）对应的面值是 coins[i]，第一种情况为 table[i - 1][j]，第二种情况为 table[i][j - coins[i]] + 1，取两者最小值即可。不过要注意如果其中一种情况兑换不了，那格子元素的值只能是能兑换的那种情况的值，如果两种情况都兑换不了，就记为 -1，这样双重循环填满这个表格，右下角的元素即为问题的解。
Q：这样拆分成这两种情况正确么
A：第一个情况是不使用新面值（=0），第二种情况是至少使用一张（>=1），可见能覆盖到所有情况，所以这样分类不重不漏