线性判别分析——LDA算法的实现与应用

一，实现步骤：

1.首先假设标签Y是个二分类，只有0和1

2.对矩阵进行分块儿，分成两个子矩阵(Y=0的N1行子矩阵和Y=1的N2行子矩阵)：

3.对子矩阵进行线性变换：每个子矩阵分别乘一个参数w(欧米伽)

注意：只有X(特征)参与计算，Y不参与计算

得到新的矩阵：

4.计算子矩阵间的距离

  a.衡量不同标注间的距离:将两个矩阵相减后取平方

  注意:是直观意义上的”相减”，运算时可能不是真的相减

 b.衡量相同标注间的距离：先平方，后相加，”相加”的原因同上。

 5.相减的作为分子，相加的作为分母，求：使这个分式最大时的W值

  目的是为了让标注间的距离尽可能大，标注内的距离尽可能小：

  计算方式：

和PCA很像，都要减去均值

提取出Sw和Sb,由这两个式子得出最优化函数(表示方式有点像向量化):

求出W(压缩系数)后，就得出LDA的方向，如图:

Sklearn实现LDA实例：

实例1：

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
#建一个二维数组X
X = np.array([[-1,-1],[-2,-1],[-3,-2],[1,1],[2,1],[3,2]])
Y = np.array([1,1,1,0,0,0])
#n_components = 1 :降到1维
print(LinearDiscriminantAnalysis(n_components = 1).fit_transform(X,Y))

运行结果

实例2：

import numpy as np
import pandas as pd
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
#建一个二维数组X
X = np.array([[-1,-1],[-2,-1],[-3,-2],[1,1],[2,1],[3,2]])
Y = np.array([1,1,1,0,0,0])
#n_components = 1 :降到1维
#clf:把LDA模型当分类器用
clf=LinearDiscriminantAnalysis(n_components = 1).fit(X,Y)
#输入一个二维的数据，得到分类结果
print(clf.predict([[6,0.1]]))

                                                                  运行结果：Y=0

大体流程：

参考教程1

刘建平博客

实战1——LDA辅助Logistic回归用于啤酒的多分类问题：

# Importing the libraries
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd
 
# Importing the dataset
dataset = pd.read_csv('Wine.csv')
X = dataset.iloc[:, 0:13].values
y = dataset.iloc[:, 13].values
 
# Splitting the dataset into the Training set and Test set
from sklearn.model_selection import train_test_split
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size = 0.2, random_state = 0)
 
# Feature Scaling
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
sc = StandardScaler()
X_train = sc.fit_transform(X_train)
X_test = sc.transform(X_test)
 
# Applying LDA
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis as LDA
lda = LDA(n_components = 2)
X_train = lda.fit_transform(X_train, y_train)
X_test = lda.transform(X_test)
 
# Fitting Logistic Regression to the Training set
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
classifier = LogisticRegression(random_state = 0)
classifier.fit(X_train, y_train)
 
# Predicting the Test set results
y_pred = classifier.predict(X_test)
 
# Making the Confusion Matrix
from sklearn.metrics import confusion_matrix
cm = confusion_matrix(y_test, y_pred)
 
# Visualising the Training set results
from matplotlib.colors import ListedColormap
X_set, y_set = X_train, y_train
X1, X2 = np.meshgrid(np.arange(start = X_set[:, 0].min() - 1, stop = X_set[:, 0].max() + 1, step = 0.01),
                     np.arange(start = X_set[:, 1].min() - 1, stop = X_set[:, 1].max() + 1, step = 0.01))
plt.contourf(X1, X2, classifier.predict(np.array([X1.ravel(), X2.ravel()]).T).reshape(X1.shape),
             alpha = 0.75, cmap = ListedColormap(('red', 'green', 'blue')))
plt.xlim(X1.min(), X1.max())
plt.ylim(X2.min(), X2.max())
for i, j in enumerate(np.unique(y_set)):
    plt.scatter(X_set[y_set == j, 0], X_set[y_set == j, 1],
                c = ListedColormap(('red', 'green', 'blue'))(i), label = j)
plt.title('Logistic Regression (Training set)')
plt.xlabel('LD1')
plt.ylabel('LD2')
plt.legend()
plt.show()
 
# Visualising the Test set results
from matplotlib.colors import ListedColormap
X_set, y_set = X_test, y_test
X1, X2 = np.meshgrid(np.arange(start = X_set[:, 0].min() - 1, stop = X_set[:, 0].max() + 1, step = 0.01),
                     np.arange(start = X_set[:, 1].min() - 1, stop = X_set[:, 1].max() + 1, step = 0.01))
plt.contourf(X1, X2, classifier.predict(np.array([X1.ravel(), X2.ravel()]).T).reshape(X1.shape),
             alpha = 0.75, cmap = ListedColormap(('red', 'green', 'blue')))
plt.xlim(X1.min(), X1.max())
plt.ylim(X2.min(), X2.max())
for i, j in enumerate(np.unique(y_set)):
    plt.scatter(X_set[y_set == j, 0], X_set[y_set == j, 1],
                c = ListedColormap(('red', 'green', 'blue'))(i), label = j)
plt.title('Logistic Regression (Test set)')
plt.xlabel('LD1')
plt.ylabel('LD2')
plt.legend()
plt.show()

运行结果：

参考代码和数据集

实战2——将鸢尾花数据集降成二维：

import matplotlib.pyplot as plt
 
from sklearn import datasets
from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis
 
iris = datasets.load_iris()
 
X = iris.data
y = iris.target
target_names = iris.target_names
lda = LinearDiscriminantAnalysis(n_components=2)
X_r2 = lda.fit(X, y).transform(X)
plt.figure()
for c, i, target_name in zip("rgb", [0, 1, 2], target_names):
    plt.scatter(X_r2[y == i, 0], X_r2[y == i, 1], c=c, label=target_name)
plt.legend()
plt.title('LDA of IRIS dataset')
plt.show()

运行结果：