剑指Offer面试题：旋转数组的最小数字

一、题目：旋转数组的最小数字

题目：把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如数组{3,4,5,1,2}为{1,2,3,4,5}的一个旋转，该数组的最小值为1。

　　这道题最直观的解法并不难，从头到尾遍历数组一次，我们就能找出最小的元素。这种思路的时间复杂度显然是O(n)。但是这个思路没有利用输入的旋转数组的特性，肯定达不到面试官的要求。

　　我们注意到旋转之后的数组实际上可以划分为两个排序的子数组，而且前面的子数组的元素都大于或者等于后面子数组的元素。我们还注意到最小的元素刚好是这两个子数组的分界线。在排序的数组中我们可以用二分查找法实现O(logn)的查找。

二、解题思路

　　Step1.和二分查找法一样，我们用两个指针分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。

　　Step2.接着我们可以找到数组中间的元素：

　　如果该中间元素位于前面的递增子数组，那么它应该大于或者等于第一个指针指向的元素。此时数组中最小的元素应该位于该中间元素的后面。我们可以把第一个指针指向该中间元素，这样可以缩小寻找的范围。移动之后的第一个指针仍然位于前面的递增子数组之中。如果中间元素位于后面的递增子数组，那么它应该小于或者等于第二个指针指向的元素。此时该数组中最小的元素应该位于该中间元素的前面。

　　Step3.接下来我们再用更新之后的两个指针，重复做新一轮的查找。

按照上述的思路，第一个指针总是指向前面递增数组的元素，而第二个指针总是指向后面递增数组的元素。最终第一个指针将指向前面子数组的最后一个元素，而第二个指针会指向后面子数组的第一个元素。也就是它们最终会指向两个相邻的元素，而第二个指针指向的刚好是最小的元素。这就是循环结束的条件。

　　以前面的数组{3,4,5,1,2}为例，下图展示了在该数组中查找最小值的过程：

三、解决问题

3.1 代码实现

    public static int GetMin(int[] numbers)    {        if (numbers == null || numbers.Length <= 0)        {            return int.MinValue;        }        int index1 = 0;        int index2 = numbers.Length - 1;        // 把indexMid初始化为index1的原因：        // 一旦发现数组中第一个数字小于最后一个数字，表明该数组是排序的        // 就可以直接返回第一个数字了        int indexMid = index1;        while (numbers[index1] >= numbers[index2])        {            // 如果index1和index2指向相邻的两个数，            // 则index1指向第一个递增子数组的最后一个数字，            // index2指向第二个子数组的第一个数字，也就是数组中的最小数字            if (index2 - index1 == 1)            {                indexMid = index2;                break;            }            indexMid = (index1 + index2) / 2;            // 特殊情况：如果下标为index1、index2和indexMid指向的三个数字相等，则只能顺序查找            if (numbers[index1] == numbers[indexMid] && numbers[indexMid] == numbers[index2])            {                return GetMinInOrder(numbers, index1, index2);            }            // 缩小查找范围            if (numbers[indexMid] >= numbers[index1])            {                index1 = indexMid;            }            else if (numbers[indexMid] <= numbers[index2])            {                index2 = indexMid;            }        }        return numbers[indexMid];    }    public static int GetMinInOrder(int[] numbers, int index1, int index2)    {        int result = numbers[index1];        for (int i = index1 + 1; i <= index2; ++i)        {            if (result > numbers[i])            {                result = numbers[i];            }        }        return result;    }

　　这里需要注意的是：

　　（1）把indexMid初始化为index1的原因：一旦发现数组中第一个数字小于最后一个数字，表明该数组是排序的，就可以直接返回第一个数字了。

　　（2）特殊情况的分析：如果下标为index1、index2和indexMid指向的三个数字相等，则只能顺序查找，因此这里定义了一个GetMinInOrder()方法。

3.2 单元测试

　　（1）典型输入，单调升序的数组的一个旋转

    // 典型输入，单调升序的数组的一个旋转    [TestMethod]    public void GetMinNumTest1()    {        int[] array = {3, 4, 5, 1, 2};        Assert.AreEqual(Program.GetMin(array),1);    }

　　（2）有重复数字，并且重复的数字刚好的最小的数字

    // 有重复数字，并且重复的数字刚好的最小的数字    [TestMethod]    public void GetMinNumTest2()    {        int[] array = { 3, 4, 5, 1, 1, 2 };        Assert.AreEqual(Program.GetMin(array), 1);    }

　　（3）有重复数字，但重复的数字不是第一个数字和最后一个数字

    // 有重复数字，但重复的数字不是第一个数字和最后一个数字    [TestMethod]    public void GetMinNumTest3()    {        int[] array = { 3, 4, 5, 1, 2, 2 };        Assert.AreEqual(Program.GetMin(array), 1);    }

　　（4）有重复的数字，并且重复的数字刚好是第一个数字和最后一个数字

    // 有重复的数字，并且重复的数字刚好是第一个数字和最后一个数字    [TestMethod]    public void GetMinNumTest4()    {        int[] array = { 1, 0, 1, 1, 1 };        Assert.AreEqual(Program.GetMin(array), 0);    }

　　（5）单调升序数组，旋转0个元素，也就是单调升序数组本身

    // 单调升序数组，旋转0个元素，也就是单调升序数组本身    [TestMethod]    public void GetMinNumTest5()    {        int[] array = { 1, 2, 3, 4, 5 };        Assert.AreEqual(Program.GetMin(array), 1);    }

　　（6）数组中只有一个数字

    // 数组中只有一个数字    [TestMethod]    public void GetMinNumTest6()    {        int[] array = { 2 };        Assert.AreEqual(Program.GetMin(array), 2);    }

　　（7）鲁棒性测试：输入NULL

    // 鲁棒性测试：输入NULL    [TestMethod]    public void GetMinNumTest7()    {        Assert.AreEqual(Program.GetMin(null), int.MinValue);    }