模式识别 (Pattern Recognition)是近年来比较流行的字眼，通俗地讲，就是通过计算机用数学技术方法来研究模式的自动处理和判读，而模式是环境与客体的总称。模式识别过程中，关键的一步是特征提取，即抽取一组特征，将输入模式从对象空间映射到特征空间，这样，模式就可以用特征空间中的一个点或一个特征矢量表示。模型的构建过程和模式识别有相似的地方，即通过一个特征矢量唯一确定一个模式。在构建模型的过程中就存在这样一个问题：应该用几个维度的特征矢量去唯一表征一个模型？在本文中，以三角波为例，探究几个维度的特征矢量能够唯一表征三角波模型。

基础准备

一维特征矢量

在我们的印象里，三角波只要知道频率或周期就可以确定了，这便是标准的三角波。

def triangle_wave(x,p):
    T = p
    y = np.where(np.mod(x,T)<T/2, -4/T*(np.mod(x,T))+1, 0)
    y = np.where(np.mod(x,T)>=T/2, 4/T*(np.mod(x,T))-3, y)    return y

一维特征矢量: [0.2] 描述的三角波

二维特征矢量

很多时候，会发现，在横坐标为0时，并不对应最大值或最小值，而是对应某一个中间值，这个时候标准的三角波就不能表征这种情况，我们需要加入水平平移特征变量，修正后的模型如下：

def triangle_wave(x,p):
    b, T = p
    y = np.where(np.mod(x-b,T)<T/2, -4/T*(np.mod(x-b,T))+1, 0)
    y = np.where(np.mod(x-b,T)>=T/2, 4/T*(np.mod(x-b,T))-3, y)    return y

二维特征矢量: [0.08,0.2] 描述的三角波

三维特征矢量

有时，也存在这种情况，三角波的幅值并不总是等于1，因此我们需要加入纵向伸缩特征变量，修正后的模型如下：

def triangle_wave(x,p):
    a,b,T = p
    y = np.where(np.mod(x-b,T)<T/2, -4/T*(np.mod(x-b,T))+1, 0)
    y = np.where(np.mod(x-b,T)>=T/2, 4/T*(np.mod(x-b,T))-3, y)    return a*y

三维特征矢量: [0.5,0,0.2]描述的三角波

四维特征矢量

有时，还存在波形并不关于y轴对称的情况，针对这种情况，我们需要加入纵向平移特征变量，修正后的模型如下：

def triangle_wave(x,p):
    a,b,c,T = p
    y = np.where(np.mod(x-b,T)<T/2, -4/T*(np.mod(x-b,T))+1+c/a, 0)
    y = np.where(np.mod(x-b,T)>=T/2, 4/T*(np.mod(x-b,T))-3+c/a, y)    return a*y

四维特征向量: [0.5,0.08,0.1,0.2] 描述的三角波

五维特征矢量

有时，还会发现三角波的三角波每个峰的高度并不完全相等，这是因为信号中存在噪声，这时，就需要加入噪声特征变量，这里我们以标准高斯白噪声为例，修正后的模型如下：

def triangle_wave(x,p):
    a,b,c,d,T = p
    y = np.where(np.mod(x-b,T)<T/2, -4/T*(np.mod(x-b,T))+1+c/a, 0)
    y = np.where(np.mod(x-b,T)>=T/2, 4/T*(np.mod(x-b,T))-3+c/a, y)    return a*y+d*np.random.randn(len(x))

五维特征矢量: [0.5,0.08,0.1,0.015,0.2] 描述的三角波

注：周期 T 表征图形在横向伸缩特征，幅值 a 表征图形在纵向伸缩特征，时延 b 表征图像在横向平移特征，c 表征图形在纵向平移特征，噪声 d 为图形添加了随机性特征，同时也表征了幅值参差不齐的特征。(仅供参考)

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