剑指 Offer 11. 旋转数组的最小数字

题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/xuan-zhuan-shu-zu-de-zui-xiao-shu-zi-lcof

题目

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如，数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一个旋转，该数组的最小值为1。

示例 1：

输入：[3,4,5,1,2]
输出：1

示例 2：

输入：[2,2,2,0,1]
输出：0

注意：本题与主站 154 题相同：https://leetcode-cn.com/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array-ii/

解题思路

思路：二分查找

先审题，重复一下【旋转数组】的概念。在这里，旋转数组指的是将升序排列数组的前面若干个元素放到数组末尾。

那么，按照这个概念，我们可以发现。数组旋转后，会将原数组 nums 拆分成两个升序排序的数组，设为 nums1、nums2，而且被放置在末尾部分的数组 nums2 的元素会小于或等于前面部分的数组 nums1 的元素（这里会出现等于，是因为元素可能重复，待会再分析）。那么现在的问题就是如何找到旋转后两个升序的数组？因为只要找到旋转后的两个数组，nums2 数组中的首元素就是要求的答案。

那么，在这里，我们可以考虑使用二分查找的方法，找到一个分界点（这个分界点为放置在末尾升序数组的首元素），分界点左边的数组为 nums1，分界点右边（含分界点）的数组为 nums2。

具体的思路如下（下面内容中，出现 nums1 表示旋转后左边升序数组， nums2 表示旋转后放置末尾的右边升序数组）：

首先，定义指针 left,right 分别指向 nums 数组的首尾两端，而 mid 为每次二分查找的中点；
开始进行比较（nums1 的元素大于或等于 nums2 的元素），这里会出现以下三种情况：
- 如果 nums[mid] > nums[right] 时，那么 mid 一定是 nums1 这个数组当中，此时分界点落在区间 (mid, right]，令 left=mid+1；
- 如果 nums[mid] < nums[right] 时，那么 mid 则在 nums2 数组当中，此时分界点落在区间 [left, mid]，令 right=mid;
- 如果 nums[mid] == nums[right]（这里是因为允许元素重复），这里就会出现边界模糊的情况，先说结论（后面分析），让 right 指针往前移动，令 right -= 1。

这里就 nums[mid] == nums[right] 的情况进行分析，假设给定数组为 [1, 1, 0, 1] 和 [1, 0, 1, 1, 1]，那么会有如下的情况

当给定数组 [1, 1, 0, 1]，针对这种情况，left = 0, right = 3, mid = 1：
- nums[mid] == nums[right]，这个时候 mid 在左边的数组 nums1 中。
当给定数组 [1, 0, 1, 1, 1]，此时 left = 0, right = 4, mid = 2：
- nums[mid] == nums[right]，但此时 mid 在右边的数组 nums2 中。

在这里，无法直接判断 mid 落在 nums1 还是 nums2 中。在前面中给出结论，令 right -= 1 来解决这个问题，根据上面分析可能出现的情况，现在分析这个结论可行性：

当 mid 落在 nums1 数组中，因为 nums1 的任一元素大于或等于 nums2 中的元素，也就是说（设分界点为 point）nums[point] <= nums[mid] == nums[right]，那么：
- 若 nums[point] < nums[right] 时，这里说明 right 左侧的元素还有小值，令 right -= 1 后，point 还是在 [left, right] 这个区间当中；
- 如果 nums[point] == nums[right] 时，这里要注意分界点索引 point 与 right 相等的情况。这个时候，令 right-=1，此时 point 将不在 [left, right] 这个区间当中。假设有如下的数组 [1, 1, 2, 1]，在这里 left = 0, right = 3, mid = 1，我们可以看到分界点就是最后的那个 1。此时 point == right，若令 right -= 1，那么这里最后的 1 将会被丢弃。但是最终结果还是会返回 1，因为舍弃最后的 1 后，继续二分查找，分界点一定会落在 [left, mid] 中，而且这个区间的元素值都等于 nums[point]。所以能够返回正确值。
当 mid 落在 nums2 数组中，也就是说 [mid, right] 这个区间的所有元素值都是相等的。此时令 right -= 1 只是舍弃一个重复值，而 point 还是落在 [left, right] 这个区间当中。

以下是算法实现的图解：

具体实现代码如下。

代码实现

class Solution:
    def minArray(self, numbers: List[int]) -> int:
        left = 0
        right = len(numbers) - 1

        while left < right:
            # 取中点
            mid = left + (right - left) // 2
            # 如果 numbers[mid] > numbers[right] ,分界点落在 (mid, right]
            if numbers[mid] > numbers[right]:
                left = mid + 1
            # numbers[mid] < numbers[right]，分界点落在 [left, mid]
            elif numbers[mid] < numbers[right]:
                right = mid
            # numbers[mid] == numbers[right]，令 right-=1，此结论可行性已在文章进行分析
            else:
                right -= 1

        return numbers[left]

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