29. 两数相除
题目
给定两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。
返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。
整数除法的结果应当截去（truncate）其小数部分，例如：truncate(8.345) = 8 以及 truncate(-2.7335) = -2
示例 1:
输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3
解释: 10/3 = truncate(3.33333..) = truncate(3) = 3
示例 2:
输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2
解释: 7/-3 = truncate(-2.33333..) = -2
提示：
- 被除数和除数均为 32 位有符号整数。
- 除数不为 0。
- 假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 [−231, 231 − 1]。本题中，如果除法结果溢出，则返回 231 − 1。
解题思路
思路：递归
本篇使用的是递归的方法， 这里递归能够执行下去，而不会因为递归层数抛出异常的原因是因为内部先进行翻倍计算，多次翻倍结果若大于被除数，则进行下一层递归，具体可看下面代码实现部分。
算法：
- 处理特殊情况：1. 被除数为 0，返回 0；2. 除数为 1，返回被除数；
- 计算时，将被除数和除数都转换为正数进行计算，（用 sign 标记原被除数和除数的商的符号，在最终返回结果再进行判定）
- 边界情况处理：
- 商为正数的情况下：这里要区分，如果商大于 INT_MAX，返回 INT_MAX；否则返回 ans。（这里是因为只有同符号且被除数和除数都为负号时，可能会溢出）
- 商为负数的情况下：这里直接返回 -ans（上面已经提及，计算是将被除数和除数都转换为正数）
- 做除法：
- 其实里面主要转换为加法和减法；
- count 统计次数，除数翻倍累加，当累加后的除数比被除数还大时，这个时候，被除数减去上一次累加的除数，再次与原除数翻倍累加的结果比较；
- 具体看下面的例子：
假设 dividend = 10，divisor = 3：
前提条件： dividend > divisor
设 count = 1 开始统计，复制除数给另外一个变量同时进行翻倍累加，由 3 变为 6，这里 6 比被除数 dividend 小，那么 count 也可进行翻倍累加变为 2；
重复，这个时候 6 翻倍变为 12，12 比 dividend 大，所以这次累加不能够算入其中。所以用被除数减去上一次除数累加的结果，也就是 6，剩 4，进入下一次递归；
这时候相当于 dividend 变为 4，原除数还为 3，符合前提条件。重复上面的操作，因为除数累加结果 6 还是比 4 大，所以这个时候，还是用被除数减去除数，其中 count 未变化为 1。
此时，dividend 为 1，divisor 为 3，不符合前提条件，直接返回 0。count 在递归逐层返回累加结果，最终值为 2 + 1 = 3。
这部分代码实现如下（m：表示 dividend；n：表示 divisor）：
def div(m, n):
if m < n:
return 0
# 成倍计算，
count = 1
# n 要用于下次递归
# 这里 t_n 用以翻倍计算
t_n = n
while (t_n + t_n) <= m:
count += count
t_n += t_n
# 成倍计算超出 m 时
# 剩下部分用以下次递归计算
return count + div(m - t_n, n)
完整的代码如下。
代码实现
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
@Time: 2020/4/13 17:46
@File: divide_two_integers.py
@Author: Demon
@Contact: yiluolion@126.com
"""
# put the import lib here
class Solution:
def divide(self, dividend: int, divisor: int) -> int:
def div(m, n):
if m < n:
return 0
# 成倍计算，
count = 1
# n 要用于下次递归
# 这里 t_n 用以翻倍计算
t_n = n
while (t_n + t_n) <= m:
count += count
t_n += t_n
# 成倍计算超出 m 时
# 剩下部分用以下次递归计算
return count + div(m - t_n, n)
# 处理特殊情况
if dividend == 0:
return 0
if divisor == 1:
return dividend
# 边界值
INT_MAX = (2 << 30) - 1
INT_MIN = -2 << 30
sign = 1
if (divisor > 0 and dividend < 0) or (divisor < 0 and dividend > 0):
sign = -1
m = dividend if dividend > 0 else -dividend
n = divisor if divisor > 0 else -divisor
ans = div(m, n)
# 这里表示 dividend 和 divisor 为同符号的情况
# 但是若是同为负数的情况下，可能会出现边界问题
# 所以这里需要判断结果是否溢出
if sign > 0:
return ans if ans < INT_MAX else INT_MAX
return -ans
# dividend = 10
# divisor = 3
# dividend = 7
# divisor = -3
# s = Solution()
# s.divide(dividend, divisor)
实现结果
以上就是使用递归的方法，将除法拆分为加法、减法，用以解决《29. 两数相除》问题的主要内容。
欢迎关注微信公众号《书所集录》
随时随地看视频
