这道题主要涉及状态转移方程，想清楚所有状态后，就可以轻松解决。
原题
给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
- 你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
- 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例:
输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
解题
暴力解法
一开始我就是想着一共有几种状态，这几种状态分别可以转换为哪些状态：
- 当前是"持股状态"，可以选择继续不交易，保持"持股状态"，或者选择卖掉之后变成"冷冻状态"；
- 当前是"冷冻状态"，只能选择继续不交易，变成"不持股状态"；
- 当前是"不持股状态"，可以选择继续不交易，保持"不持股状态"，或者选择买股票之后变成"持股状态"；
我增加了最后终止条件：如果是最后一天，并且手上持有股票的话，必须卖出，这样可以保证最终利益最大。
接下来看看代码：
class Solution {
int max = 0;
public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices.length == 0) {
return 0;
}
recursiveBuy(-1, false, 0, 0, prices);
return max;
}
public void recursiveBuy(
int prePrice,
boolean cooldown,
int profit,
int index,
int[] prices) {
// 如果到了最后一天，并且手上持有股票的话，必须卖掉
if (index == prices.length - 1) {
if (prePrice >= 0 && !cooldown) {
profit = profit + prices[index];
}
max = Math.max(max, profit);
return;
}
// 当前持有股票
if (prePrice >= 0) {
// 此时可以选择不交易，或者卖掉
// 不交易
recursiveBuy(prePrice, cooldown, profit, index + 1, prices);
// 卖掉
recursiveBuy(-1, true, profit + prices[index], index + 1, prices);
return;
}
// 当前不持有股票，可以被动不交易、主动不交易、买
// 如果处于冷冻期，只能被动不交易
if (cooldown) {
recursiveBuy(prePrice, false, profit, index + 1, prices);
return;
}
// 不交易
recursiveBuy(prePrice, cooldown, profit, index + 1, prices);
// 买
recursiveBuy(prices[index], cooldown, profit - prices[index], index + 1, prices);
}
}
报了超出时间限制，好的，我们想想怎么优化。
状态转移方程
上面暴力解法之所以会超时，因为重复计算了。我一开始的想法是想着记录中间结果，但越想越复杂，忍不住看了别人的思路，真的是让我豁然开朗。那就是状态转移方程。
之前我上面提到的是所有状态可以变成哪些状态，但其实有些地方想的是不清楚的。我们用箭头连接两个状态，箭头开始的那端表示前一天的状态，箭头终止的那端表示当天的状态，那么其内容为：
因为买和卖只是两个操作，我们认为只能在每一天的0点执行，当天的状态就由0点之后的状态来表示。
- "冷冻期"状态只能是昨天刚买了股票，也就是"不持股"状态转移过来。
- "不持股"状态可以由自己，或者昨天是"持股"状态，今天卖掉，转移过来。
- "持股"状态可以由自己，或者昨天是"冷冻期"状态，今天买了，转移过来。
你可能会问，如果这样表示状态转移方程的话，那么第一天可以买入股票就没法解释了。那简单，为了配合这种特殊情况，我们再记录一个更早一天的不持股状态，这样就可以满足了。
接下来看看代码：
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices.length < 2) {
return 0;
}
// 因为每次只涉及到前一天的三个状态值，因此只要三个数字记录即可
/**
* 其状态转移方程为：
* "冷冻期"只能由"不持股"转换而来。
* "持股"可以由"持股"和"冷冻期"转换而来。
* "不持股"可以由"不持股"和"持股"转换而来。
*/
// 定义初始情况
// 不持股
int noStock = 0;
// 持股
int hasStock = -prices[0];
// 冷冻期
int cooldown = 0;
// 上一次的不持股
int beforeNoStock = 0;
for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
// "不持股"可以由"不持股"和"持股"转换而来。
noStock = Math.max(beforeNoStock, hasStock + prices[i]);
// "持股"可以由"持股"和"冷冻期"转换而来。
hasStock = Math.max(hasStock, cooldown - prices[i]);
// "冷冻期"只能由"不持股"转换而来。
cooldown = beforeNoStock;
// 更新一下"上一次的不持股"状态
beforeNoStock = noStock;
}
return Math.max(noStock, cooldown);
}
}
提交OK。
状态转移方程继续优化
其实从上面的分析，你隐约可以察觉到，“冷冻期"就是一种特殊的"不持股"状态。根据上面的结论，当你想买股票时，要求的是必须连续两天"不持股”，这点你想通了吗？可能也正因为这一点，我们在上面的代码中才需要记录"上一次的不持股"状态。
既然这样，我们干脆就简化为持股状态和不持股状态两种，其状态转移方程可以描述为：
持股状态可以由自己，或者连续两天为不持股状态，今天买了股票，转移而来。不持股状态可以由自己，或者前一天为持股状态，今天卖了股票，转移而来。
因为我们记录的是每一天状态所对应的收入，那么所谓的连续两天为不持股状态，就是相当于从两天前收入不变。
接下来看看代码：
class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
if (prices.length < 2) {
return 0;
}
// 这次只有两个状态，但需要记录两天前的不持股收入
// 定义初始情况
// 不持股
int noStock = 0;
// 持股
int hasStock = -prices[0];
// 上一次的不持股
int beforeNoStock = 0, temp;
for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
// 记录一下"两天前的不持股"收入
temp = noStock;
// "不持股"可以由"不持股"和"持股"转换而来。
noStock = Math.max(noStock, hasStock + prices[i]);
// "持股"可以由"持股"和"冷冻期"转换而来。
hasStock = Math.max(hasStock, beforeNoStock - prices[i]);
// 更新一下"上一次的不持股"状态
beforeNoStock = temp;
}
// 最大值一定是最后一天不持股的情况
return noStock;
}
}
提交OK。
总结
以上就是这道题目我的解答过程了，不知道大家是否理解了。状态转移应该还是很经典的方法，主要在于是否可以想出所有状态及其转化关系。
有兴趣的话可以访问我的博客或者关注我的公众号、头条号，说不定会有意外的惊喜。
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