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面试官问你斐波那契数列的时候不要高兴得太早

垨朢
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前言

假如面试官让你编写求斐波那契数列的代码时,是不是心中暗喜?不就是递归么,早就会了。如果真这么想,那就危险了。

递归求斐波那契数列

递归,在数学与计算机科学中,是指在函数的定义中使用函数自身的方法。
斐波那契数列的计算表达式很简单:

F(n) = n; n = 0,1
F(n) = F(n-1) + F(n-2),n >= 2;

因此,我们能很快根据表达式写出递归版的代码:

/*fibo.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*求斐波那契数列递归版*/
unsigned long fibo(unsigned long int n)
{
    if(n <= 1)
        return n;
    else 
        return fibo(n-1) + fibo(n-2);
}
int main(int argc,char *argv[])
{
    if(1 >= argc)
    {
       printf("usage:./fibo num\n");
       return -1;
    }
    unsigned long  n = atoi(argv[1]);
    unsigned long  fiboNum = fibo(n);
    printf("the %lu result is %lu\n",n,fiboNum);
    return 0;
}

关键代码为3~9行。简洁明了,一气呵成。
编译:

gcc -o fibo fibo.c

运行计算第5个斐波那契数:

$ time ./fibo 5
the 5 result is 5

real	0m0.001s
user	0m0.001s
sys	0m0.000s

看起来并没有什么不妥,运行时间也很短。
继续计算第50个斐波那契数列:

$ time ./fibo 50
the 50 result is 12586269025

real	1m41.655s
user	1m41.524s
sys	0m0.076s

计算第50个斐波那契数的时候,竟然将近两多钟!

递归分析

为什么计算第50个的时候竟然需要1分多钟。我们仔细分析我们的递归算法,就会发现问题,当我们计算fibo(5)的时候,是下面这样的:

                         |--F(1)
                  |--F(2)|
           |--F(3)|      |--F(0)
           |      |
    |--F(4)|      |--F(1)
    |      |      
    |      |      |--F(1)
    |      |--F(2)|
    |             |--F(0)
F(5)|             
    |             |--F(1)
    |      |--F(2)|
    |      |      |--F(0)
    |--F(3)|
           |
           |--F(1)

为了计算fibo(5),需要计算fibo(3),fibo(4);而为了计算fibo(4),需要计算fibo(2),fibo(3)…最终为了得到fibo(5)的结果,fibo(0)被计算了3次,fibo(1)被计算了5次,fibo(2)被计算了2次。可以看到,它的计算次数几乎是指数级的!

因此,虽然递归算法简洁,但是在这个问题中,它的时间复杂度却是难以接受的。除此之外,递归函数调用的越来越深,它们在不断入栈却迟迟不出栈,空间需求越来越大,虽然访问速度高,但大小是有限的,最终可能导致栈溢出
在linux中,我们可以通过下面的命令查看栈空间的软限制:

$ ulimit -s
8192

可以看到,默认栈空间大小只有8M。一般来说,8M的栈空间对于一般程序完全足够。如果8M的栈空间不够使用,那么就需要重新审视你的代码设计了。

递归改进版

既然我们知道最初版本的递归存在大量的重复计算,那么我们完全可以考虑将已经计算的值保存起来,从而避免重复计算,该版本代码实现如下:

/*fibo3.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*求斐波那契数列,避免重复计算版本*/
unsigned long fiboProcess(unsigned long *array,unsigned long n)
{
    if(n < 2)
        return n;
    else
    {
        /*递归保存值*/
        array[n] = fiboProcess(array,n-1) + array[n-2];
        return array[n];
    }
}

unsigned long  fibo(unsigned long  n)
{
    if(n <= 1)
        return n;
    unsigned long ret = 0;
    /*申请数组用于保存已经计算过的内容*/
    unsigned long *array = (unsigned long*)calloc(n+1,sizeof(unsigned long));
    if(NULL == array)
    {
        return -1;
    }
    array[1] = 1;
    ret = fiboProcess(array,n);
    free(array);
    array = NULL;
    return ret;
}
/**main函数部分与fibo.c相同,这里省略*/

效率如何呢?

$ gcc -o fibo0 fibo3.c
$ time ./fibo0 50
the 50 result is 12586269025

real	0m0.002s
user	0m0.002s
sys	0m0.001s

可见其效率还是不错的,时间复杂度为O(n)。但是特别注意的是,这种改进版的递归,虽然避免了重复计算,但是调用链仍然比较长。

迭代解法

既然递归法不够优雅,我们换一种方法。如果不用计算机计算,让你去算第n个斐波那契数,你会怎么做呢?我想最简单直接的方法应该是:知道第一个和第二个后,计算第三个;知道第二个和第三个后,计算第四个,以此类推。最终可以得到我们需要的结果。这种思路,没有冗余的计算。基于这个思路,我们的C语言实现如下:

/*fibo1.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*求斐波那契数列迭代版*/
unsigned long  fibo(unsigned long  n)
{
    unsigned long  preVal = 1;
    unsigned long  prePreVal = 0;
    if(n <= 2)
        return n;
    unsigned long  loop = 1;
    unsigned long  returnVal = 0;
    while(loop < n)
    {
        returnVal = preVal +prePreVal;
        /*更新记录结果*/
        prePreVal = preVal;
        preVal = returnVal;
        loop++;
    }
    return returnVal;
}
/**main函数部分与fibo.c相同,这里省略*/

编译并计算第50个斐波那契数:

$ gcc -o fibo1 fibo1.c
$ time ./fibo1 50
the 50 result is 12586269025

real	0m0.002s
user	0m0.001s
sys	0m0.002s

可以看到,计算第50个斐波那契数只需要0.002s!时间复杂度为O(n)。

尾递归解法

同样的思路,但是采用尾递归的方法来计算。要计算第n个斐波那契数,我们可以先计算第一个,第二个,如果未达到n,则继续递归计算,尾递归C语言实现如下:

/*fibo2.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
/*求斐波那契数列尾递归版*/
unsigned long fiboProcess(unsigned long n,unsigned long  prePreVal,unsigned long  preVal,unsigned long begin)
{
    /*如果已经计算到我们需要计算的,则返回*/
    if(n == begin)
        return preVal+prePreVal;
    else
    {
        begin++;
        return fiboProcess(n,preVal,prePreVal+preVal,begin);
    }
}

unsigned long  fibo(unsigned long  n)
{
    if(n <= 1)
        return n;
    else 
        return fiboProcess(n,0,1,2);
}

/**main函数部分与fibo.c相同,这里省略*/

效率如何呢?

$ gcc -o fibo2 fibo2.c
$ time ./fibo2 50
the 50 result is 12586269025

real	0m0.002s
user	0m0.001s
sys	0m0.002s

可见,其效率并不逊于迭代法。尾递归在函数返回之前的最后一个操作仍然是递归调用。尾递归的好处是,进入下一个函数之前,已经获得了当前函数的结果,因此不需要保留当前函数的环境,内存占用自然也是比最开始提到的递归要小。时间复杂度为O(n)。

矩阵快速幂解法

这是一种高效的解法,需要推导,对此不感兴趣的可直接看最终推导结果。下面的式子成立是显而易见的,不多做解释。
an={an2a⋅an2,n为偶数a⋅an2a⋅an2,n为奇数 a^n= \begin{cases} a^{n \over 2} a\cdot a^{n \over 2}, & \text {n为偶数} \\ a\cdot a^{n \over 2} a\cdot a^{n \over 2}, & \text{n为奇数} \end{cases} an={a2naa2n,aa2naa2n,n为偶数n为奇数

如果a为矩阵,等式同样成立,后面我们会用到它。
假设有矩阵2*2矩阵A,满足下面的等式:

A∗[f(n−1)f(n−2)]=[f(n)f(n−1)]=[f(n−1)+f(n−2)f(n−1)] A * \begin{bmatrix} f(n-1) \\ f(n-2)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(n) \\ f(n-1)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(n-1)+f(n-2) \\ f(n-1)\end{bmatrix} A[f(n1)f(n2)]=[f(n)f(n1)]=[f(n1)+f(n2)f(n1)]

可以得到矩阵A:
A=[1110] A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix}A=[1110]

因此也就可以得到下面的矩阵等式:
[1110]∗[f(n−1)f(n−2)]=[f(n)f(n−1)] \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} f(n-1) \\ f(n-2)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(n) \\ f(n-1)\end{bmatrix} [1110][f(n1)f(n2)]=[f(n)f(n1)]

再进行变换如下:

[1110]∗[1110]∗[f(n−2)f(n−3)]=[f(n)f(n−1)] \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} *\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} f(n-2) \\ f(n-3)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(n) \\ f(n-1)\end{bmatrix} [1110][1110][f(n2)f(n3)]=[f(n)f(n1)]

以此类推,得到:
[1110]n−1∗[f(1)f(0)]=[f(n)f(n−1)] \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} ^{n-1} * \begin{bmatrix} f(1) \\ f(0)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} f(n) \\ f(n-1)\end{bmatrix} [1110]n1[f(1)f(0)]=[f(n)f(n1)]

实际上f(n)就是矩阵$ A^{n-1} KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '中' at position 1: 中̲的A[0][0],或者是矩阵 A^{n} $中的A[0][1]。

那么现在的问题就归结为,如何求解AnA^nAn,其中A为2*2的矩阵。根据我们最开始的公式,很容易就有思路,代码实现如下:

/*fibo3.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#define MAX_COL 2
#define MAX_ROW 2
typedef unsigned long MatrixType;
/*计算2*2矩阵乘法,这里没有写成通用形式,有兴趣的可以自己实现通用矩阵乘法*/
int matrixDot(MatrixType A[MAX_ROW][MAX_COL],MatrixType B[MAX_ROW][MAX_COL],MatrixType C[MAX_ROW][MAX_COL])
{
   /*C为返回结果,由于A可能和C相同,因此使用临时矩阵存储*/
    MatrixType tempMa[MAX_ROW][MAX_COL] ;
    memset(tempMa,0,sizeof(tempMa));
    /*这里简便处理*/
    tempMa[0][0] = A[0][0] * B[0][0] + A[0][1] * B [1][0];
    tempMa[0][1] = A[0][0] * B[0][1] + A[0][1] * B [1][1];
    tempMa[1][0] = A[1][0] * B[0][0] + A[1][1] * B [1][0];
    tempMa[1][1] = A[1][0] * B[0][1] + A[1][1] * B [1][1];
    memcpy(C,tempMa,sizeof(tempMa));
   
    return 0;
}
MatrixType fibo(int n){
    if(n <= 1)
        return n;
    MatrixType result[][MAX_COL] = {1,0,0,1};
    MatrixType A[][2] = {1,1,1,0};
    while (n > 0) 
    {
        /*判断最后一位是否为1,即可知奇偶*/
        if (n&1) 
        {
            matrixDot(result,A,result);

        }
        n /= 2;
        matrixDot(A,A,A);
    }
    return result[0][1];
}
/**main函数部分与fibo.c相同,这里省略*/

该算法的关键部分在于对AnA^nAn的计算,它利用了我们开始提到的等式,对奇数和偶数分别处理。假设n为9,初始矩阵为INIT则计算过程如下:

  • 9为奇数,则计算INIT*A,随后A变为A*A,n变为9/2,即为4
  • 4为偶数,则结果仍为INIT*A,随后A变为(A2)∗(A2)=A4(A^2)*(A^2)=A^4(A2)(A2)=A4,n变为4/2,即2
  • 2为偶数,则结果仍未INIT*A,随后变A变为 (A4)∗(A4)=A8(A^4)*(A^4)=A^8(A4)(A4)=A8,n变为2/2,即1
  • 1为奇数,则结果为INIT*(A^8)*A

可以看到,计算次数类似与二分查找次数,其时间复杂度为O(logn)。
运行试试看:

$ gcc -o fibo3 fibo3.c
$ time ./fibo3 50
the 50 result is 12586269025

real	0m0.002s
user	0m0.002s
sys	0m0.000s

通项公式解法

斐波那契数列的通项公式为:
f(n)=(1+52)n−(1−52)n5f(n) = \frac{({\frac{1+\sqrt5}{2}})^n-({\frac{1-\sqrt5}{2}})^n}{\sqrt5}f(n)=5(21+5)n(215)n
关于通项公式的求解,可以当成一道高考数列大题,有兴趣的可以尝试一下(提示:两次构造等比数列)。C语言代码实现如下:

/*fibo4.c*/
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
unsigned long fibo(unsigned long n)
{
    if(n <=1 )
        return n;
    return (unsigned long)((pow((1+sqrt(5))/2,n)-pow((1-sqrt(5))/2,n))/sqrt(5));
}
/**main函数部分与fibo.c相同,这里省略*/

来看一下效率:

$ gcc -o fibo4 fibo4.c -lm
$ time ./fibo4
the 50 result is 12586269025

real	0m0.002s
user	0m0.002s
sys	0m0.000s

计算第50个,速度还不错。

斐波那契数列应用

关于斐波那契数列在实际中很常见,数学上也有很多奇特的性质,有兴趣的可在百科中查看。

总结

总结一下递归的优缺点:
优点:

  • 实现简单
  • 可读性好

缺点:

  • 递归调用,占用空间大
  • 递归太深,易发生栈溢出
  • 可能存在重复计算

可以看到,对于求斐波那契数列的问题,使用一般的递归并不是一种很好的解法。
所以,当你使用递归方式实现一个功能之前,考虑一下使用递归带来的好处是否抵得上它的代价。

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