回到二分搜索树内容，更加高级的话题，平衡二叉树。
我们之前实现的那个二叉树在最差情况下会退化成链表，在现有二分搜索树基础上添加一定的机制，使得二分搜索树可以维持平衡二叉树性质。AVL树就是一种经典的平衡二叉树。
两个发明人首字母缩写: G. M. Adelson-Velsky和 E.M.Landis 1962年的论文首次提出
通常认为AVL树时一种最早的可以自平衡二分搜索树结构
什么是平衡二叉树？
一棵满二叉树一定是一棵平衡二叉树，之前在二分搜索树部分，具体的推导二分搜索树平均的时间复杂度时，基于满二叉树进行的推导。显然满二叉树可以让整棵树的高度最低。
除了叶子节点，其他节点都有左右两孩子。通常不会正好这么巧的填满，堆: 完全二叉树,空缺部分在右下角，完全二叉树中叶子节点深度值相差不会超过1,叶子节点不在最后一层，就在倒数第二层。
线段树: 也是一种平衡二叉树
空出来的节点不一定在右下角，但是叶子节点深度值相差不会超过1,叶子节点不在最后一层，就在倒数第二层。
上面的这几种平衡二叉树叶子节点深度值不超过1是比较理想的平衡二叉树。
平衡二叉树定义
对于任意一个节点，左子树和右子树的高度差不能超过1
堆和线段树可以保证叶子节点高度不超过1，而平衡二叉树的定义宽泛，导致可能看起来树没有那么平衡。
如上图，满足平衡二叉树，不满足堆,也不是完全二叉树。平衡二叉树的高度和节点数量之间的关系也是O(logn)的
如果按之前二叉树的添加值的方式，添加2，7节点之后，整棵树已经不满足平衡二叉树的要求了。我们需要向右填补偏斜。每一个节点都要记录标注节点的高度。
最高的子树高度+1
平衡因子
计算平衡因子: 每一个节点左右子树高度差，左子树高度减去右子树高度。叶子节点的平衡因子为0，如下图为标注的平衡因子，8的平衡因子为2，意味着8的左右子树高度差已经超过1了，这棵树已经不是平衡二叉树了。平衡因子绝对值大于等于2，就不是。
我们现在的这棵树相当于有两个节点8和12破坏了平衡二叉树的性质。借助平衡因子看要不要对节点进行特殊操作。
计算节点的高度和平衡因子
private class Node { public K key; // 节点key
public V value; public Node left, right; // 左子树，右子树引用
public int height; // 节点高度
/**
* 默认的节点构造函数
*
* @param key
* @param value
*/
public Node(K key, V value) { this.key = key; this.value = value;
left = null;
right = null;
height = 1;
}
}添加节点高度值，初始化构造时置为1。
/**
* 获得节点node的高度
* @param node
* @return
*/
private int getHeight(Node node){ if (node == null) return 0; return node.height;
}添加节点时维护高度值。
添加更新height的操作。
/**
* 计算节点node的平衡因子
*
*/
private int getBalanceFactor(Node node){ if (node == null) return 0; return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
} /**
* 返回插入新的键值对后二分搜索树的根
*
* @param node
* @param key
* @param value
* @return
*/
private Node add(Node node, K key, V value) { if (node == null) {
size++; return new Node(key, value);
} // 上面条件不满足，说明还得继续往下找左右子树为null可以挂载上的节点
if (key.compareTo(node.key) < 0) // 如果e小于node.e，那么继续往它的左子树添加该节点,这里插入结果可能根发生了变化。
node.left = add(node.left, key, value); // 新节点赋值给node.left,改变了二叉树
else if (key.compareTo(node.key) > 0) // 大于，往右子树添加。
node.right = add(node.right, key, value); // 如果相等
else
node.value = value; // 更新height
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right)); return node;
} int balanceFactor = getBalanceFactor(node); if (Math.abs(balanceFactor) >1 )
System.out.println("unbalanced: "+ balanceFactor);添加元素时除了对于height的更新还应该对于平衡因子进行判断。
可以看到有很多不平衡的，虽然我们之前二分搜索树性能已经不错了。二分搜索树高度不平衡，有很大优化空间。
检查二分搜索树性质和平衡性
AVL树是对于二分搜索树的改进，必须也要满足二分搜索树的条件。
/**
* 判断该二叉树是否是一棵二分搜索树
* @return
*/
public boolean isBST(){
ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
inOrder(root, keys); // 判断是否是一个升序数组
for(int i = 1 ; i < keys.size() ; i ++) if(keys.get(i - 1).compareTo(keys.get(i)) > 0) return false; return true;
} /**
* 二分搜索树中序遍历
* @param node
* @param keys
*/
private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys){ if(node == null) return;
inOrder(node.left, keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right, keys);
}判断当前树还否是二分搜索树，性质: 二分搜索树的中序遍历元素是否是顺序排列的。
System.out.println("is BST : " + map.isBST());
辅助函数，是否是一个平衡二叉树
/**
* 判断该二叉树是否是一棵平衡二叉树
* @return
*/
public boolean isBalanced(){ return isBalanced(root);
} /**
* 判断以Node为根的二叉树是否是一棵平衡二叉树，递归算法
* @param node
* @return
*/
private boolean isBalanced(Node node){ if(node == null) return true; int balanceFactor = getBalanceFactor(node); if(Math.abs(balanceFactor) > 1) return false; return isBalanced(node.left) && isBalanced(node.right);
} System.out.println("is Balanced : " + map.isBalanced());
AVL旋转操作的基本原理
AVL树的左旋转和右旋转;在什么时候维护平衡
二分搜索树中插入节点，寻找正确插入位置。
因为我们新插入的这个节点才有可能导致二分搜索树不满足平衡性，因此不平衡性只有可能发生在我们从该节点一路往上找，直到父亲节点。新插入节点破坏平衡性，反映在它的父亲节点以及祖先节点上。因为插入它，会更新它的父亲及祖先节点，这时就有可能更新之后大于1。
从空开始，加入12,加入8
此时再添加5，就会一路向上更新平衡因子，造成12的平衡因子已经变成了2
加入2之后，向上更新平衡因子，造成8的平衡因子大于1了。插入的元素在不平衡的节点的左侧的左侧
加入节点后，沿着节点向，上维护平衡性。
// 平衡维护 if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) ; // 实现平衡维护，下一小节进行具体实现：）
此时要进行的操作是右旋转。y节点已经不满足平衡二叉树的性质了，且左子树高度高于右子树，左孩子的情况也是同样的左子树大于右子树。整体向左倾斜。
满足条件的是y和x的左子树都大于右子树。T1 <z< T2<x< T3<y< T4 使得y保持平衡性，
右旋转过程： x的右子树变成以y为根的子树。T3先扔一边，x的右子树变为y连带着t4
x.right = y
y.left = T3
此时让x变成这棵树的新的根节点，就成为右旋转。相当于y顺时针的转到了x的右边，新的二叉树是满足二分搜索树的，也是满足平衡二叉树的。
T1 <z< T2<x< T3<y< T4的关系，可以看出仍然保持二分搜索树
由于左侧中y是不平衡的节点，x和z为根的是平衡的，不然从加入节点不断向上回溯，找到的第一个不平衡节点就不应该是y了。所以对于以z为根的二叉树，它是平衡的二叉树，变到右边依然是平衡的。如果z保持了平衡性，t1和t2的高度差不会超过1。假设t1 和t2中最大的高度值为h，相应z这个节点的高度值就是h+1，右侧z1也是h+1。由于x也是保持平衡的，并且x的平衡因子是>=0的，左子树的高度是大于等于右子树的高度的，因为x也是平衡的，所以它的平衡因子最大为1，它的平衡因子要么是0，要么是1。对应就是t3这棵树的高度要么是h，要么是h+1。x的高度就是h+2。y节点打破了平衡，也就是它的左右子树的高度差是大于1的，但是最大也就是2了，因为y原本平衡，一个节点加入y，只有一个只会从1变2，因此t4为h。y左右子树高度差最多为1.y的可能取值时h+2 或h+1 此时y，z来看x，x也是平衡的。
可以看到左边转到右边，从x角度来看，X节点依然平衡，整棵树依然平衡。
左旋转和右旋转的实现。
左旋转: 插入的元素在不平衡的节点的右侧的右侧
x.left = y; y.right = T3;
// 对节点y进行向右旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋转 (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y) {
Node x = y.left;
Node T3 = x.right; // 向右旋转过程
x.right = y;
y.left = T3; // 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1; return x;
} // 对节点y进行向左旋转操作，返回旋转后新的根节点x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋转 (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left; // 向左旋转过程
x.left = y;
y.right = T2; // 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1; return x;
}先更新y的高度值。
// 平衡维护 if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0) return rightRotate(node); if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) <= 0) return leftRotate(node); return node;
作者：天涯明月笙
链接：https://www.jianshu.com/p/ed2d68e45657
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