图论在数据结构中是非常有趣而复杂的，作为web码农的我，在实际开发中一直没有找到它的使用场景，不像树那样的频繁使用，不过还是准备
仔细的把图论全部过一遍。
一：最小生成树
图中有一个好玩的东西叫做生成树，就是用边来把所有的顶点联通起来，前提条件是最后形成的联通图中不能存在回路，所以就形成这样一个
推理：假设图中的顶点有n个，则生成树的边有n-1条，多一条会存在回路，少一路则不能把所有顶点联通起来，如果非要在图中加上权重，则生成树
中权重最小的叫做最小生成树。
对于上面这个带权无向图来说，它的生成树有多个，同样最小生成树也有多个，因为我们比的是权重的大小。
二：Prim算法
求最小生成树的算法有很多，常用的是Prim算法和Kruskal算法，为了保证单一职责，我把Kruskal算法放到下一篇，那么Prim算法的思想
是什么呢？很简单，贪心思想。
如上图：现有集合M={A,B,C,D,E,F}，再设集合N={}。
第一步：挑选任意节点（比如A),将其加入到N集合，同时剔除M集合的A。
第二步：寻找A节点权值最小的邻节点（比如F），然后将F加入到N集合，此时N={A,F}，同时剔除M集合中的F。
第三步：寻找{A,F}中的权值最小的邻节点（比如E），然后将E加入到N集合，此时N={A,F,E}，同时剔除M集合的E。
。。。
最后M集合为{}时，生成树就构建完毕了，是不是非常的简单，这种贪心做法我想大家都能想得到，如果算法配合一个好的数据结构，就会
如虎添翼。
三：代码
1. 图的存储
图的存储有很多方式，邻接矩阵，邻接表，十字链表等等，当然都有自己的适合场景，下面用邻接矩阵来玩玩，邻接矩阵需要采用两个数组，
①. 保存顶点信息的一维数组，
②. 保存边信息的二维数组。
1 public class Graph 2 { 3 /// <summary> 4 /// 顶点个数 5 /// </summary> 6 public char[] vertexs; 7 8 /// <summary> 9 /// 边的条数10 /// </summary>11 public int[,] edges;12 13 /// <summary>14 /// 顶点个数15 /// </summary>16 public int vertexsNum;17 18 /// <summary>19 /// 边的个数20 /// </summary>21 public int edgesNum;22 }
2：矩阵构建
矩阵构建很简单，这里把上图中的顶点和权的信息保存在矩阵中。
1 #region 矩阵的构建 2 /// <summary> 3 /// 矩阵的构建 4 /// </summary> 5 public void Build() 6 { 7 //顶点数 8 graph.vertexsNum = 6; 9 10 //边数11 graph.edgesNum = 8;12 13 graph.vertexs = new char[graph.vertexsNum];14 15 graph.edges = new int[graph.vertexsNum, graph.vertexsNum];16 17 //构建二维数组18 for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)19 {20 //顶点21 graph.vertexs[i] = (char)(i + 65);22 23 for (int j = 0; j < graph.vertexsNum; j++)24 {25 graph.edges[i, j] = int.MaxValue;26 }27 }28 29 graph.edges[0, 1] = graph.edges[1, 0] = 80;30 graph.edges[0, 3] = graph.edges[3, 0] = 100;31 graph.edges[0, 5] = graph.edges[5, 0] = 20;32 graph.edges[1, 2] = graph.edges[2, 1] = 90;33 graph.edges[2, 5] = graph.edges[5, 2] = 70;34 graph.edges[3, 2] = graph.edges[2, 3] = 100;35 graph.edges[4, 5] = graph.edges[5, 4] = 40;36 graph.edges[3, 4] = graph.edges[4, 3] = 60;37 graph.edges[2, 3] = graph.edges[3, 2] = 10;38 }39 #endregion
3：Prim
要玩Prim，我们需要两个字典。
①：保存当前节点的字典，其中包含该节点的起始边和终边以及权值，用weight=-1来记录当前节点已经访问过，用weight=int.MaxValue表示
两节点没有边。
②：输出节点的字典，存放的就是我们的N集合。
当然这个复杂度玩高了,为O(N2)，寻找N集合的邻边最小权值时，我们可以玩玩AVL或者优先队列来降低复杂度。
1 #region prim算法 2 /// <summary> 3 /// prim算法 4 /// </summary> 5 public Dictionary<char, Edge> Prim() 6 { 7 Dictionary<char, Edge> dic = new Dictionary<char, Edge>(); 8 9 //统计结果10 Dictionary<char, Edge> outputDic = new Dictionary<char, Edge>();11 12 //weight=MaxValue:标识没有边13 for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)14 {15 //起始边16 var startEdge = (char)(i + 65);17 18 dic.Add(startEdge, new Edge() { weight = int.MaxValue });19 }20 21 //取字符的开始位置22 var index = 65;23 24 //取当前要使用的字符25 var start = (char)(index);26 27 for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)28 {29 //标记开始边已使用过30 dic[start].weight = -1;31 32 for (int j = 1; j < graph.vertexsNum; j++)33 {34 //获取当前 c 的 邻边35 var end = (char)(j + index);36 37 //取当前字符的权重38 var weight = graph.edges[(int)(start) - index, j];39 40 if (weight < dic[end].weight)41 {42 dic[end] = new Edge()43 {44 weight = weight,45 startEdge = start,46 endEdge = end47 };48 }49 }50 51 var min = int.MaxValue;52 53 char minkey = ' ';54 55 foreach (var key in dic.Keys)56 {57 //取当前 最小的 key(使用过的除外)58 if (min > dic[key].weight && dic[key].weight != -1)59 {60 min = dic[key].weight;61 minkey = key;62 }63 }64 65 start = minkey;66 67 //边为顶点减去168 if (outputDic.Count < graph.vertexsNum - 1 && !outputDic.ContainsKey(minkey))69 {70 outputDic.Add(minkey, new Edge()71 {72 weight = dic[minkey].weight,73 startEdge = dic[minkey].startEdge,74 endEdge = dic[minkey].endEdge75 });76 }77 }78 return outputDic;79 }80 #endregion
4：最后我们来测试一下，看看找出的最小生成树。
1 public static void Main() 2 { 3 MatrixGraph martix = new MatrixGraph(); 4 5 martix.Build(); 6 7 var dic = martix.Prim(); 8 9 Console.WriteLine("最小生成树为：");10 11 foreach (var key in dic.Keys)12 {13 Console.WriteLine("({0},{1})({2})", dic[key].startEdge, dic[key].endEdge, dic[key].weight);14 }15 16 Console.Read();17 }
View Code
1 using System; 2 using System.Collections.Generic; 3 using System.Linq; 4 using System.Text; 5 using System.Diagnostics; 6 using System.Threading; 7 using System.IO; 8 using SupportCenter.Test.ServiceReference2; 9 using System.Threading.Tasks; 10 11 namespace ConsoleApplication2 12 { 13 public class Program 14 { 15 public static void Main() 16 { 17 MatrixGraph martix = new MatrixGraph(); 18 19 martix.Build(); 20 21 var dic = martix.Prim(); 22 23 Console.WriteLine("最小生成树为："); 24 25 foreach (var key in dic.Keys) 26 { 27 Console.WriteLine("({0},{1})({2})", dic[key].startEdge, dic[key].endEdge, dic[key].weight); 28 } 29 30 Console.Read(); 31 } 32 } 33 34 /// <summary> 35 /// 定义矩阵节点 36 /// </summary> 37 public class MatrixGraph 38 { 39 Graph graph = new Graph(); 40 41 public class Graph 42 { 43 /// <summary> 44 /// 顶点个数 45 /// </summary> 46 public char[] vertexs; 47 48 /// <summary> 49 /// 边的条数 50 /// </summary> 51 public int[,] edges; 52 53 /// <summary> 54 /// 顶点个数 55 /// </summary> 56 public int vertexsNum; 57 58 /// <summary> 59 /// 边的个数 60 /// </summary> 61 public int edgesNum; 62 } 63 64 #region 矩阵的构建 65 /// <summary> 66 /// 矩阵的构建 67 /// </summary> 68 public void Build() 69 { 70 //顶点数 71 graph.vertexsNum = 6; 72 73 //边数 74 graph.edgesNum = 8; 75 76 graph.vertexs = new char[graph.vertexsNum]; 77 78 graph.edges = new int[graph.vertexsNum, graph.vertexsNum]; 79 80 //构建二维数组 81 for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++) 82 { 83 //顶点 84 graph.vertexs[i] = (char)(i + 65); 85 86 for (int j = 0; j < graph.vertexsNum; j++) 87 { 88 graph.edges[i, j] = int.MaxValue; 89 } 90 } 91 92 graph.edges[0, 1] = graph.edges[1, 0] = 80; 93 graph.edges[0, 3] = graph.edges[3, 0] = 100; 94 graph.edges[0, 5] = graph.edges[5, 0] = 20; 95 graph.edges[1, 2] = graph.edges[2, 1] = 90; 96 graph.edges[2, 5] = graph.edges[5, 2] = 70; 97 graph.edges[3, 2] = graph.edges[2, 3] = 100; 98 graph.edges[4, 5] = graph.edges[5, 4] = 40; 99 graph.edges[3, 4] = graph.edges[4, 3] = 60;100 graph.edges[2, 3] = graph.edges[3, 2] = 10;101 }102 #endregion103 104 #region 边的信息105 /// <summary>106 /// 边的信息107 /// </summary>108 public class Edge109 {110 //开始边111 public char startEdge;112 113 //结束边114 public char endEdge;115 116 //权重117 public int weight;118 }119 #endregion120 121 #region prim算法122 /// <summary>123 /// prim算法124 /// </summary>125 public Dictionary<char, Edge> Prim()126 {127 Dictionary<char, Edge> dic = new Dictionary<char, Edge>();128 129 //统计结果130 Dictionary<char, Edge> outputDic = new Dictionary<char, Edge>();131 132 //weight=MaxValue:标识没有边133 for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)134 {135 //起始边136 var startEdge = (char)(i + 65);137 138 dic.Add(startEdge, new Edge() { weight = int.MaxValue });139 }140 141 //取字符的开始位置142 var index = 65;143 144 //取当前要使用的字符145 var start = (char)(index);146 147 for (int i = 0; i < graph.vertexsNum; i++)148 {149 //标记开始边已使用过150 dic[start].weight = -1;151 152 for (int j = 1; j < graph.vertexsNum; j++)153 {154 //获取当前 c 的 邻边155 var end = (char)(j + index);156 157 //取当前字符的权重158 var weight = graph.edges[(int)(start) - index, j];159 160 if (weight < dic[end].weight)161 {162 dic[end] = new Edge()163 {164 weight = weight,165 startEdge = start,166 endEdge = end167 };168 }169 }170 171 var min = int.MaxValue;172 173 char minkey = ' ';174 175 foreach (var key in dic.Keys)176 {177 //取当前 最小的 key(使用过的除外)178 if (min > dic[key].weight && dic[key].weight != -1)179 {180 min = dic[key].weight;181 minkey = key;182 }183 }184 185 start = minkey;186 187 //边为顶点减去1188 if (outputDic.Count < graph.vertexsNum - 1 && !outputDic.ContainsKey(minkey))189 {190 outputDic.Add(minkey, new Edge()191 {192 weight = dic[minkey].weight,193 startEdge = dic[minkey].startEdge,194 endEdge = dic[minkey].endEdge195 });196 }197 }198 return outputDic;199 }200 #endregion201 }202 }
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