logistic回归及其MLE
当我们考虑解释变量为分类变量如考虑一个企业是否会被并购，一个企业是否会上市，你的能否考上研究生
这些问题时，考虑线性概率模型P(yi =1)= β0 + β1xi 显然是不合适的，它至少有两个致命的缺陷：1、概率估
计值可能超过1，使得模型失去了意义;(要解决这个问题并不麻烦，我们将预测超过1的部分记为1，低于0的
部分记为0，就可以解决。这个解决办法就是计量里有一定历史的tobit模型)2、边际效应假定为不变，通常来说
不合经济学常识。考虑一个边际效应递减的模型(假定真实值为蓝线)，可以看到线性模型表现很差。
但是sigmoid函数去拟合蓝线确实十分合适的。于是我们可以考虑logistic回归模型：
假定有N个观测样本Y1,Y2,…,YN，设P(Yi=1|Xi)=π(Xi)为给定条件Xi下得到结果Yi=1的条件概率;而在同
样条件下得到结果Yi=0的条件概率为P(Yi=0|Xi)=1-π(Xi)，于是得到一个观测值的概率P(Yi)=π(Xi)Yi[1-π(Xi)]
1-Yi假设各观测独立，对logistic回归模型来说，其对数似然函数为：
于是便可求解出logistic模型的MLE。
二、logit还是probit?
虽说sigmoid函数对边际递减的模型拟合良好，但是我们也要知道S型函数并非仅sigmoid函数一个，绝
大多数的累积分布函数都是S型的。于是考虑F-1(P)(F为标准正态分布的累积分布函数)也不失为一个
很好的选择。像这样的，对概率P做一点变换，让变换后的取值范围变得合理，且变换后我们能够有办法进
行参数估计的，就涉及到广义线性模型理论中的连接函数。在广义线性模型中我们把log(P/(1-P))称为logit，
F-1(P)(F为标准正态分布的累积分布函数)称为probit。那么这里就涉及到一个选择的问题：连接函数
选logit还是probit?logistic回归认为二分类变量服从伯努利分布，应当选择logit，而且从解释的角度说，p/
(1-p)就是我们常说的odds ratio，也就是软件报告中出现的OR值。
但是probit也有它合理的一面，首先，中心极限定理告诉我们，伯努利分布在样本够多的时候就是近似正态分布的;其次，从不确定性的角度考虑，probit认为我们的线性概率模型服从正态分布，这也是更为合理的。
我们来看一下经过变换后，自变量和P的关系是什么样子的：
如果你确实想知道到底你的数据用哪一个方法好，也不是没有办法，你可以看一下你的残差到底是符合
logit函数呢还是符合probit函数，当然，凭肉眼肯定是看不出来的，因为这两个函数本来就很接近，你可以通
过函数的假定，用拟合优度检验一下。但通常，估计不会有人非要这么较真，因为没有必要。但是有一点是
要注意的，logit模型较probit模型而言具有厚尾的特征，这也是为什么经济学论文爱用logit的原因。
我们以鸢尾花数据中的virginica,versicolor两类数据分类为例，看看两种办法分类有无差别。
probit.predictions
versicolor virginica
versicolor 47 3
virginica 3 47
logit.predictions
versicolor virginica
versicolor 47 3
virginica 3 47
从上图与比较表格均可以看出，两者差别不大。
三、多项式logit与order logit
对于二项分类模型的一个自然而然的推广便是多项分类模型。
我们借鉴神经网络里提到的异或模型，有：
按照上面这种方法，给定一个输入向量x，获得最大hθ(x)的类就是x所分到的类。
选择最大的 hθ(x)十分好理解：在类别选择问题中，不论要选的类别是什么，每一个类别对做选择的经济个体来说都有或多或少的效用(没有效用的类别当然不会被考虑) ，一个类别的脱颖而出必然是因为该类别能产生出最高的效用。
我们将多项logit模型的数学表述叙述如下：
假定对于第i个观测，因变量Yi有M个取值：1,2，…，M，自变量为Xi，则多项logit模型为：
与logistic回归的似然估计类似，我们可以很容易写出多项logit的对数似然函数：
多项 Logit模型虽然好用，但从上面的叙述可以看出，多项 Logit 模型最大的限制在于各个类别必须是对
等的，因此在可供选择的类别中，不可有主要类别和次要类别混杂在一起的情形。例如在研究旅游交通工具的
选择时，可将交通工具的类别粗分为航空、火车、公用汽车、自用汽车四大类，但若将航空类别再依三家航空
公司细分出三类而得到总共六个类别，则多项 Logit 模型就不适用，因为航空、火车、公用汽车、自用汽车均
属同一等级的主要类别，而航空公司的区别则很明显的是较次要的类别，不应该混杂在一起。在这个例子中，
主要类别和次要类别很容易分辨，但在其他的研究中可能就不是那么容易，若不慎将不同层级的类别混在一起
，则由多项 Logit 模型所得到的实证结果就会有误差。
对于分类模型，我们还会遇到被解释变量中有分类变量的情形。对于连续变量解释离散变量，且被解释的离散变量是有顺序的(这个是和多项logit最大的区别)的情形，我们就需要考虑到order logit模型。
其数学模型叙述如下：
其中，F(.)表示累积分布函数，当F表示正态分布的分布函数时，对应的是order probit;F表示
logistic分布时，变对应order logit。
与logistic分布类似，我们可以很容易写出其对数似然函数：
四、dummy variable
在logistic回归中，经常会遇到解释变量为分类变量的情形，比如收入：高、中、低;地域：北京、上海
、广州等。这里对分类变量而言就涉及一个问题：要不要将分类变量设置dummy variable?
这个问题的答案在线性模型中很显然，必须要这么做!!!如果我们不设置哑变量，而是单纯地赋值：北
京=1，上海=2，广州=3，即我们将自变量视作连续性的数值变量，但这仅仅是一个代码而己，并不意味着地域间
存在大小次序的关系，即并非代表被解释变量(响应变量)会按此顺序线性增加或减少。即使是有序多分类变量，
如家庭收入分为高、中、低三档，各类别间的差距也是无法准确衡量的，按编码数值来分析实际上就是强行规定
为等距，这显然可能引起更大的误差。
但是在logistic回归中，由于logit(p)变化的特殊性，在解释定序变量时，为了减少自由度(即解释变量个数)，我们常常将定序变量(如家庭收入分为高、中、低)视为连续的数值变量，而且经济解释可以是XX每提高一个档次，相应的概率会提高expression(delta(XX))(expression的表达式还是很复杂的，不打了)。当然减少变量个数是以牺牲预测精度为代价的。毕竟数据处理是一门艺术而非一门技术，如何取舍还得具体问题具体分析。当然，非定序的分类变量是万万不可将其视为数值变量的。
五、广义线性模型的R实现
R语言提供了广义线性模型的拟合函数glm()，其调用格式如下：
glm(formula, family = gaussian, data,weights, subset,
na.action, start = NULL, etastart, mustart, offset,
control= list(...), model = TRUE, method = "glm.fit",
x =FALSE, y = TRUE, contrasts = NULL, ...)
参数说明：
Formula：回归形式，与lm()函数的formula参数用法一致
Family：设置广义线性模型连接函数的典则分布族，glm()提供正态、指数、gamma、逆高斯、Poisson、二项分
布。我们的logistic回归使用的是二项分布族binomial。Binomial族默认连接函数为logit，可设置为probit。
Data：数据集
鸢尾花例子使用的R代码：
logit.fit <- glm(Species~Petal.Width+Petal.Length,
family = binomial(link = 'logit'),
data = iris[51:150,])
logit.predictions <- ifelse(predict(logit.fit) > 0,'virginica', 'versicolor')
table(iris[51:150,5],logit.predictions)
probit.fit <- glm(Species~Petal.Width+Petal.Length,
family = quasibinomial(link = 'probit'),
data = iris[51:150,])
probit.predictions <- ifelse(predict(probit.fit) >0,'virginica', 'versicolor')
table(iris[51:150,5],probit.predictions)
程序包mlogit提供了多项logit的模型拟合函数：
mlogit(formula, data, subset, weights,na.action, start = NULL,
alt.subset = NULL, reflevel = NULL,
nests = NULL, un.nest.el = FALSE, unscaled = FALSE,
heterosc = FALSE, rpar = NULL, probit = FALSE,
R = 40, correlation = FALSE, halton = NULL,
random.nb = NULL, panel = FALSE, estimate = TRUE,
seed = 10, ...)
mlogit.data(data, choice, shape = c("wide","long"), varying = NULL,
sep=".",alt.var = NULL, chid.var = NULL, alt.levels = NULL,id.var = NULL, opposite = NULL, drop.index = FALSE,
ranked = FALSE, ...)
参数说明：
formula：mlogit提供了条件logit，多项logit，混合logit多种模型，对于多项logit的估计模型应写为：因变量~0|自变量,如：mode ~ 0 | income
data：使用mlogit.data函数使得数据结构符合mlogit函数要求。
Choice：确定分类变量是什么
Shape：如果每一行是一个观测，我们选择wide，如果每一行是表示一个选择，那么就应该选择long。
alt.var：对于shape为long的数据，需要标明所有的选择名称
选择wide的数据示例：
选择long的数据示例：
以fishing数据为例，来说明如何使用mlogit。
library(mlogit)
data("Fishing", package = "mlogit")
Fish <- mlogit.data(Fishing,shape = "wide",choice = "mode")
summary(mlogit(mode ~ 0 | income, data = Fish))
这个输出的结果与nnet包中的multinom()函数一致。由于mlogit包可以做的logit模型更多，所以这里就不在对nnet
包的multinom作介绍了，可以参见《根据Econometrics in R一书，将回归方法总结一下》一文。
程序包MASS提供polr()函数可以进行ordered logit或probit回归。用法如下：
polr(formula, data, weights, start, ..., subset, na.action,
contrasts = NULL, Hess = FALSE, model = TRUE,
method = c("logistic", "probit", "cloglog", "cauchit"))
参数说明：
Formula：回归形式，与lm()函数的formula参数用法一致
Data：数据集
Method：默认为order logit，选择probit时变为order probit模型。
以housing数据为例说明函数用法：
house.plr <- polr(Sat ~ Infl + Type + Cont, weights = Freq, data = housing)
house.plr
summary(house.plr, digits = 3)
这些结果十分直观，易于解读，所以我们在这里省略所有的输出结果。
再看手写数字案例：
最后，我们回到最开始的那个手写数字的案例，我们试着利用多项logit重做这个案例。(这个案例的描述与数据参见《kNN算法》一章)
特征的选择可参见《神经网络》一章。
由于手写数字的特征选取很容易导致回归系数矩阵是降秩的，所以我们使用nnet包的multinom()函数代替mlogit()。
运行下列代码：
setwd("D:/R/data/digits/trainingDigits")
names<-list.files("D:/R/data/digits/trainingDigits")
data<-paste("train",1:1934,sep="")
for(i in 1:length(names))
assign(data[i],as.matrix(read.fwf(names[i],widths=rep(1,32))))
label<-factor(rep(0:9,c(189,198,195,199,186,187,195,201,180,204)))
feature<-matrix(rep(0,length(names)*25),length(names),25)
for(i in 1:length(names)){
feature[i,1]<-sum(get(data[i])[,16])
feature[i,2]<-sum(get(data[i])[,8])
feature[i,3]<-sum(get(data[i])[,24])
feature[i,4]<-sum(get(data[i])[16,])
feature[i,5]<-sum(get(data[i])[11,])
feature[i,6]<-sum(get(data[i])[21,])
feature[i,7]<-sum(diag(get(data[i])))
feature[i,8]<-sum(diag(get(data[i])[,32:1]))
feature[i,9]<-sum((get(data[i])[17:32,17:32]))
feature[i,10]<-sum((get(data[i])[1:8,1:8]))
feature[i,11]<-sum((get(data[i])[9:16,1:8]))
feature[i,12]<-sum((get(data[i])[17:24,1:8]))
feature[i,13]<-sum((get(data[i])[25:32,1:8]))
feature[i,14]<-sum((get(data[i])[1:8,9:16]))
feature[i,15]<-sum((get(data[i])[9:16,9:16]))
feature[i,16]<-sum((get(data[i])[17:24,9:16]))
feature[i,17]<-sum((get(data[i])[25:32,9:16]))
feature[i,18]<-sum((get(data[i])[1:8,17:24]))
feature[i,19]<-sum((get(data[i])[9:16,17:24]))
feature[i,20]<-sum((get(data[i])[17:24,17:24]))
feature[i,21]<-sum((get(data[i])[25:32,17:24]))
feature[i,22]<-sum((get(data[i])[1:8,25:32]))
feature[i,23]<-sum((get(data[i])[9:16,25:32]))
feature[i,24]<-sum((get(data[i])[17:24,25:32]))
feature[i,25]<-sum((get(data[i])[25:32,25:32]))
}
data1 <- data.frame(feature,label)
#降秩时mlogit不可用
#data10<- mlogit.data(data1,shape = "wide",choice = "label")
#m1<-mlogit(label~0|X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18+X19+X20+X21+X22+X23+X24+X25,data=data10)
library(nnet)
m1<-multinom(label ~ ., data = data1)
pred<-predict(m1,data1)
table(pred,label)
sum(diag(table(pred,label)))/length(names)
setwd("D:/R/data/digits/testDigits")
name<-list.files("D:/R/data/digits/testDigits")
data1<-paste("train",1:1934,sep="")
for(i in 1:length(name))
assign(data1[i],as.matrix(read.fwf(name[i],widths=rep(1,32))))
feature<-matrix(rep(0,length(name)*25),length(name),25)
for(i in 1:length(name)){
feature[i,1]<-sum(get(data1[i])[,16])
feature[i,2]<-sum(get(data1[i])[,8])
feature[i,3]<-sum(get(data1[i])[,24])
feature[i,4]<-sum(get(data1[i])[16,])
feature[i,5]<-sum(get(data1[i])[11,])
feature[i,6]<-sum(get(data1[i])[21,])
feature[i,7]<-sum(diag(get(data1[i])))
feature[i,8]<-sum(diag(get(data1[i])[,32:1]))
feature[i,9]<-sum((get(data1[i])[17:32,17:32]))
feature[i,10]<-sum((get(data1[i])[1:8,1:8]))
feature[i,11]<-sum((get(data1[i])[9:16,1:8]))
feature[i,12]<-sum((get(data1[i])[17:24,1:8]))
feature[i,13]<-sum((get(data1[i])[25:32,1:8]))
feature[i,14]<-sum((get(data1[i])[1:8,9:16]))
feature[i,15]<-sum((get(data1[i])[9:16,9:16]))
feature[i,16]<-sum((get(data1[i])[17:24,9:16]))
feature[i,17]<-sum((get(data1[i])[25:32,9:16]))
feature[i,18]<-sum((get(data1[i])[1:8,17:24]))
feature[i,19]<-sum((get(data1[i])[9:16,17:24]))
feature[i,20]<-sum((get(data1[i])[17:24,17:24]))
feature[i,21]<-sum((get(data1[i])[25:32,17:24]))
feature[i,22]<-sum((get(data1[i])[1:8,25:32]))
feature[i,23]<-sum((get(data1[i])[9:16,25:32]))
feature[i,24]<-sum((get(data1[i])[17:24,25:32]))
feature[i,25]<-sum((get(data1[i])[25:32,25:32]))
}
labeltest<-factor(rep(0:9,c(87,97,92,85,114,108,87,96,91,89)))
data2<-data.frame(feature,labeltest)
pred1<-predict(m1,data2)
table(pred1,labeltest)
sum(diag(table(pred1,labeltest)))/length(name)
经整理，输出结果如下：(左边为训练集，右边为测试集)
Tips: oddsratio=p/1-p 相对风险指数贝努力模型中 P是发生A事件的概率，1-p是不发生A事件的概率所以p/1-p是 发生与不发生的相对风险。OR值等于1，表示该因素对A事件发生不起作用;OR值大于1，表示A事件发生的可能性大于不发生的可能性;OR值小于1，表示A事件不发生的可能性大于发生的可能性。
Further reading：
Yves Croissant：Estimation of multinomial logit models in R : The mlogit Packages
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