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任务介绍

本题为2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题：

艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。

艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。

艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。

迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。

现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。 ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。

请你完成以下问题：

（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。

（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

（3）艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。

附件下载地址

第一小问

读取数据

打开附件1：（以下只展示了极小部分的数据）


附件1 ACTG320数据

  

同时服用3种药物（zidovudine, lamivudine,indinavir）的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度。

  

第1列是病人编号，第2列是测试CD4的时刻（周），第3列是测得的CD4（乘以0.2个/ul），第4列是测试HIV的时刻（周），第5列是测得的HIV（单位不详）。

  

PtID CD4Date CD4Count RNADate VLoad

23424 0 178 0 5.5

23424 4 228 4 3.9

23424 8 126 8 4.7

23424 25 171 25 4

23424 40 99 40 5

23425 0 14 0 5.3

可以看到数据排列的方式非常整齐，这使得我们可以快速按行读取数据。首先，删掉文本的非数据部分：（以下只展示了极小部分的数据）


23496 0 57 0 5.3

23496 4 202 4 3.9

23496 9 2.6

23496 29 236 29 2.7

23496 39 260 39 3.5

23516 0 14 0 5.6

23516 4 27 4 3.4

23516 8 72 8 2.4

23516 24 0

23516 42 237 42 2.5

23517 0 74

23517 5 92

23517 9 157

23517 26 181

23518 0 85 0 4.8

23518 3 60 3 2.3

23518 7 98 7 3.9

23518 24 54 24 3.7

在按行读取之前，还有一个比较关键的问题：有的数据是缺失的，且只有编号23496缺失第2、3列数据。因此，制定以下读取策略：


'''

Created by Han Xu

email:underturrets@163.com

'''

total=[]

f=open("附件1纯数据.txt",encoding="utf-8",mode="r")

lastID=""

currentID=""

for line in f:

  

lineData=line.split()

currentID = float(lineData[0])

  

CD4Date = -1

CD4Count = -1

RNADate = -1

VLoad = -1

  

if (len(lineData) == 5):

CD4Date = float(lineData[1])

CD4Count = float(lineData[2])

RNADate = float(lineData[3])

VLoad = float(lineData[4])

  

else:

if (lineData[0] == "23496"):

RNADate = float(lineData[1])

VLoad = float(lineData[2])

  

else:

CD4Date = float(lineData[1])

CD4Count = float(lineData[2])

  

new_data={"CD4Date":CD4Date,"CD4Count":CD4Count,"RNADate":RNADate,"VLoad":VLoad}

  

if(currentID!=lastID):

individual = {"id": None, "data": []}

individual["id"] = currentID

individual["data"].append(new_data)

total.append(individual)

  

else:

total[len(total)-1]["data"].append(new_data)

  

lastID = currentID

在以上部分中，建立了一个名为total的列表，列表中每个元素是这样的：


print(total[0])


{'id':  23424.0,  'data': [{'CD4Date':  0.0,  'CD4Count':  178.0,  'RNADate':  0.0,  'VLoad':  5.5},  {'CD4Date':  4.0,  'CD4Count':  228.0,  'RNADate':  4.0,  'VLoad':  3.9},  {'CD4Date':  8.0,  'CD4Count':  126.0,  'RNADate':  8.0,  'VLoad':  4.7},  {'CD4Date':  25.0,  'CD4Count':  171.0,  'RNADate':  25.0,  'VLoad':  4.0},  {'CD4Date':  40.0,  'CD4Count':  99.0,  'RNADate':  40.0,  'VLoad':  5.0}]}

这样，我们就完成了附件1的数据的读取

数据补完

在所给数据中，有不少的数据是缺失的，为了尽可能地利用数据，利用拉格朗日线性插值法对空缺数据进行补充。方法如下：

y=y_{k} \times \frac{x-x_{k+1}}{x_{k}-x_{k+1}}+y_{k+1} \times \frac{x-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}}


23516 8 72 8 2.4

23516 24 0

23516 42 237 42 2.5

举例而言，在如上的数据中，要补全编号23516个体的第3、4列数据，则：先指定x=24

y=?,y_{k}=2.4,y_{k+1}=2.5 \

x_{k}=8,x_{k+1}=42

可以轻松计算出预测的y值。

详细的代码在源码的repairData.py中。

模型一的建立与分析

概述

首先，根据文本中的大量数据，拟定针对CD4浓度和VLoad浓度分别拟合出关于时间t的函数，此为总体方针。CD4浓度越大越好，VLoad浓度越小越好。为了统筹两条函数曲线，可以对VLoad浓度进行取负，然后将二者相加。当然，必须要先将数据标准化才可以相加。

标准化

在所给的数据文本中，CD4Date数据（第三列）的极差非常大，而且VLoad数据的单位也不确定。因此，首先要对数据进行标准化处理。这里采用Z-score 标准化：

对于样本 X 中的每个特征:

X_{normalized} = \frac{(X - \mu)}{\sigma}

其中，μ 是该特征的平均值，σ 是该特征的标准差。

标准化的代码在源码的dataProcessing.py中。

处理相同时刻的数据

读取完数据后，注意到，在文本中，有很多的数据具有相同的时刻t，如下：


23424 0 178 0 5.5

23425 0 14 0 5.3

23426 0 101 0 4.5

23427 0 10 0 5.3

拟针对具有相同时刻t的数据组 (x,y₁),(x,y₂),(x,y₃),(x,y₄)，求出其平均值 (x,y_average)，然后进行拟合。

此部分的代码在源码的dataProcessing.py中。

模型二的建立与分析

在模型一中，拟合方法是，直接对具有相同时刻t的数据组 (x,y₁),(x,y₂),(x,y₃),(x,y₄)，求出其平均值 (x,y_average)。然而，在拟合过程中，这些具有相同时刻t的数据组，和孤立的数据，起到同样的拟合作用。也就是说，它们的重要程度是相同的。但是，具有相同时刻t的数据组显然要比孤立的数据要更加精确。因此，模型一的拟合是不合理的。

出于以上考虑，现使用一种创新性的数据处理办法，使得在拟合时，体现出具有相同时刻t的数据组的重要性，方法如下：

假如有如下数据组：(x,y₁),(x,y₂),(x,y₃),(x,y₄)，它们的x数据是相同的。首先，先求出其y值的均值，(x,y_average)。然后，尝试增加其数据密度，要求其在拟合时起到更加显著的作用。原数据组样本容量为4，然后确定x的数量级，以小于n个x的数量级为基准，对数据组中每个坐标的x添加偏置offset，使得数据组中每个坐标的x都各不相同但差别极小可以忽略不计。

举例而言，假如有数据组(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)，按照以上方法，可以获得数据组(0.9998,2.5),(0.9999,2.5),(1.0001,2.5),(1.0002,2.5)

这种方法的代码在源码的dataProcessing.py中。

接下来同样进行拟合。然后把拟合好的曲线进行融合，结果如下：

此部分代码在源码的combine2func.py中

第二小问

数据分布

首先，附件2文本中的数据是这样的：（以下只展示了极小部分的数据）


附件2 193A数据

  

1300多名病人按照4种疗法服药大约每隔8周测试的CD4浓度。

  

第1列是病人编号，第2列是4种疗法的代码：

1 = 600mg zidovudine 与400mg didanosine按月轮换使用；

2 = 600mg zidovudine 加2.25mg zalcitabine；

3 = 600mg zidovudine 加400mg didanosine；

4 = 600mg zidovudine 加400mg didanosine 加400mg nevirapine。

  

第3列是病人年龄，第4列是测试CD4的时刻（周），第5列是测得的CD4，取值log(CD4+1).

  
  

ID 疗法 年龄 时间 Log(CD4 count+1)

1 2 36.4271 0 3.1355

1 2 36.4271 7.5714 3.0445

1 2 36.4271 15.5714 2.7726

1 2 36.4271 23.5714 2.8332

1 2 36.4271 32.5714 3.2189

1 2 36.4271 40 3.0445

2 4 47.8467 0 3.0681

2 4 47.8467 8 3.8918

2 4 47.8467 16 3.9703

2 4 47.8467 23 3.6109

2 4 47.8467 30.7143 3.3322

2 4 47.8467 39 3.0910

3 1 60.2875 0 3.7377

4 3 36.5969 0 4.1190

4 3 36.5969 7.1429 4.1109

4 3 36.5969 16.1429 4.7095

4 3 36.5969 32.4286 2.8332

5 1 35.948 0 3.5835

5 1 35.948 8 3.4340

5 1 35.948 16 3.4340

5 1 35.948 24 3.7136

5 1 35.948 32 3.0445

5 1 35.948 40 2.3979

由于病人的年龄差别较大，且不同年龄的病人的抵抗力差别也比较大，因此，将病人按照年龄划分为4个样本组：14~25岁、25~35岁、36~45岁、45岁以上。

此外，可以发现CD4浓度的测试时间集中在以下几个时间段：第0周、第7~9周、第15~17周、第23~25周、第31~33周、第38周以上。因此，基于测量时刻，对每个样本组划分出若干个数据组。

读取数据的代码在源码的readDataTxt2.py中。

数据处理

首先，针对一个数据组 (x₁,y₁),(x₂,y₂),(x₃,y₃),(x₄,y₄)，求出其平均值 (x_average,y_average)，由于针对时间t分成了6个数据组，因此会得到6个数据点。

接下来，为了描绘CD4浓度的变化，对这六个点，相邻的两点y值做减法，最终得到5个点，然后用这5个点进行拟合。下面展示一个年龄组的拟合结果：

此部分的代码在源码的Task2_fit.py中。

第三小问

计算疗法的得分

在第二小问中，我们拟合出了CD4浓度变化量的函数曲线。对于某种疗法的某个病人来说，CD4浓度变化量大于0且越大，表明CD4增加得越多，说明该疗法越有效。而当CD4浓度变化量小于或等于0且越小时，说明该疗法对于病人是没有效果甚至是有副作用的，因此对于疗法失效，且另作统计为疗法的失效率，记为Q。我们对得到的的数据进行统计：

CD4浓度变化量数据组：{D₁,D₂,…,D_N}，根据拟合得到的函数生成数据：

平均值：D_{average}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{D_{i}} \

标准差：σ \

失效率：q=\frac{N}{n}, \

N为数据组\left { D_{1},D_{2},…,D_{N} \right }中小于或等于0的个数

根据以上分析，我们计算每个疗法的得分：

g=D_{average} \times (1-q)^{2} \div \sigma

个性化处理

如果病人考虑到四种疗法的费用，结合自身的经济承受能力来选择疗法。我们引入了价格因素r，其中p是疗法所需的费用，r是病人对费用的敏感指数。由于个人经济承受能力的不同，每个人对费用的敏感程度是不同的。因此，我们在模型中引入了费用敏感指数，费用敏感指数越大，说明病人对费用越敏感。当r=0（即p^r=1）时，价格因素不起作用，病人对费用不敏感，表示病人只追求最好的治疗效果，无论付出多大的费用。当r=1（即p^r=p）时，价格因素对病人选择的疗法有较大的影响，此时病人会折中考虑费用和疗效。

综合考虑效果和费用的共同作用，对刚刚得到的疗法得分进行如下处理，来评价疗法的优劣：

U=g \div p^{r}

计算最终得分的代码在源码的Task3.py中。

【python】实战：大批量数据的处理和拟合