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任务介绍

本题为2006年高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题：

艾滋病是当前人类社会最严重的瘟疫之一，从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命。

艾滋病的医学全名为“获得性免疫缺损综合症”，英文简称AIDS，它是由艾滋病毒（医学全名为“人体免疫缺损病毒”, 英文简称HIV）引起的。这种病毒破坏人的免疫系统，使人体丧失抵抗各种疾病的能力，从而严重危害人的生命。人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。

艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内HIV的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。

迄今为止人类还没有找到能根治AIDS的疗法，目前的一些AIDS疗法不仅对人体有副作用，而且成本也很高。许多国家和医疗组织都在积极试验、寻找更好的AIDS疗法。

现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。 ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine（奈韦拉平）。

请你完成以下问题：

（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。

（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

（3）艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。

附件下载地址

第一小问

读取数据

打开附件1：（以下只展示了极小部分的数据）

附件1 ACTG320数据

同时服用3种药物（zidovudine, lamivudine,indinavir）的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度。

第1列是病人编号，第2列是测试CD4的时刻（周），第3列是测得的CD4（乘以0.2个/ul），第4列是测试HIV的时刻（周），第5列是测得的HIV（单位不详）。

PtID	CD4Date	CD4Count	RNADate	VLoad
23424	0	178		0	5.5
23424	4	228		4	3.9
23424	8	126		8	4.7
23424	25	171		25	4
23424	40	99		40	5
23425	0	14		0	5.3

可以看到数据排列的方式非常整齐，这使得我们可以快速按行读取数据。首先，删掉文本的非数据部分：（以下只展示了极小部分的数据）

23496	0	57		0	5.3
23496	4	202		4	3.9
23496				9	2.6
23496	29	236		29	2.7
23496	39	260		39	3.5
23516	0	14		0	5.6
23516	4	27		4	3.4
23516	8	72		8	2.4
23516	24	0		
23516	42	237		42	2.5
23517	0	74		
23517	5	92		
23517	9	157		
23517	26	181		
23518	0	85		0	4.8
23518	3	60		3	2.3
23518	7	98		7	3.9
23518	24	54		24	3.7

在按行读取之前，还有一个比较关键的问题：有的数据是缺失的，且只有编号23496缺失第2、3列数据。因此，制定以下读取策略：

'''
Created by Han Xu
email:736946693@qq.com
'''
total=[]
f=open("附件1纯数据.txt",encoding="utf-8",mode="r")
lastID=""
currentID=""
for line in f:

    lineData=line.split()
    currentID = float(lineData[0])

    CD4Date = -1
    CD4Count = -1
    RNADate = -1
    VLoad = -1

    if (len(lineData) == 5):
        CD4Date = float(lineData[1])
        CD4Count = float(lineData[2])
        RNADate = float(lineData[3])
        VLoad = float(lineData[4])

    else:
        if (lineData[0] == "23496"):
            RNADate = float(lineData[1])
            VLoad = float(lineData[2])

        else:
            CD4Date = float(lineData[1])
            CD4Count = float(lineData[2])

    new_data={"CD4Date":CD4Date,"CD4Count":CD4Count,"RNADate":RNADate,"VLoad":VLoad}

    if(currentID!=lastID):
        individual = {"id": None, "data": []}
        individual["id"] = currentID
        individual["data"].append(new_data)
        total.append(individual)

    else:
        total[len(total)-1]["data"].append(new_data)

    lastID = currentID

在以上部分中，建立了一个名为total的列表，列表中每个元素是这样的：

print(total[0])

{'id': 23424.0, 'data': [{'CD4Date': 0.0, 'CD4Count': 178.0, 'RNADate': 0.0, 'VLoad': 5.5}, {'CD4Date': 4.0, 'CD4Count': 228.0, 'RNADate': 4.0, 'VLoad': 3.9}, {'CD4Date': 8.0, 'CD4Count': 126.0, 'RNADate': 8.0, 'VLoad': 4.7}, {'CD4Date': 25.0, 'CD4Count': 171.0, 'RNADate': 25.0, 'VLoad': 4.0}, {'CD4Date': 40.0, 'CD4Count': 99.0, 'RNADate': 40.0, 'VLoad': 5.0}]}

这样，我们就完成了附件1的数据的读取

数据补完

在所给数据中，有不少的数据是缺失的，为了尽可能地利用数据，利用拉格朗日线性插值法对空缺数据进行补充。方法如下：

$y=y_{k} \times \frac{x-x_{k+1}}{x_{k}-x_{k+1}}+y_{k+1} \times \frac{x-x_{k}}{x_{k+1}-x_{k}}$

23516	8	72		8	2.4
23516	24	0		
23516	42	237		42	2.5

举例而言，在如上的数据中，要补全编号23516个体的第3、4列数据，则：先指定x=24

$KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\\' at position 28: ….4,y_{k+1}=2.5 \̲\̲ x_{k}=8,x_{k+1…$

可以轻松计算出预测的y值。

详细的代码在源码的repairData.py中。

模型一的建立与分析

概述

首先，根据文本中的大量数据，拟定针对CD4浓度和VLoad浓度分别拟合出关于时间t的函数，此为总体方针。CD4浓度越大越好，VLoad浓度越小越好。为了统筹两条函数曲线，可以对VLoad浓度进行取负，然后将二者相加。当然，必须要先将数据标准化才可以相加。

标准化

在所给的数据文本中，CD4Date数据（第三列）的极差非常大，而且VLoad数据的单位也不确定。因此，首先要对数据进行标准化处理。这里采用Z-score 标准化：

对于样本 $X$ 中的每个特征:

$X_{normalized} = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$

其中， $μ\mu$ 是该特征的平均值， $σ\sigma$ 是该特征的标准差。

标准化的代码在源码的dataProcessing.py中。

处理相同时刻的数据

读取完数据后，注意到，在文本中，有很多的数据具有相同的时刻t，如下：

23424	0	178		0	5.5
23425	0	14		0	5.3
23426	0	101		0	4.5
23427	0	10		0	5.3

拟针对具有相同时刻t的数据组 $x,y_{1}),(x,y_{2}),(x,y_{3}),(x,y_{4})$ ，求出其平均值 $x,y_{average})$ ，然后进行拟合。

此部分的代码在源码的dataProcessing.py中。

模型二的建立与分析

在模型一中，拟合方法是，直接对具有相同时刻t的数据组 $x,y_{1}),(x,y_{2}),(x,y_{3}),(x,y_{4})$ ，求出其平均值 $x,y_{average})$ 。然而，在拟合过程中，这些具有相同时刻t的数据组，和孤立的数据，起到同样的拟合作用。也就是说，它们的重要程度是相同的。但是，具有相同时刻t的数据组显然要比孤立的数据要更加精确。因此，模型一的拟合是不合理的。

出于以上考虑，现使用一种创新性的数据处理办法，使得在拟合时，体现出具有相同时刻t的数据组的重要性，方法如下：

假如有如下数据组： $x,y_{1}),(x,y_{2}),(x,y_{3}),(x,y_{4})$ ，它们的x数据是相同的。首先，先求出其y值的均值， $x,y_{average})$ 。然后，尝试增加其数据密度，要求其在拟合时起到更加显著的作用。原数据组样本容量为4，然后确定x的数量级，以小于n个x的数量级为基准，对数据组中每个坐标的x添加偏置offset，使得数据组中每个坐标的x都各不相同但差别极小可以忽略不计。

举例而言，假如有数据组 $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4)$ ，按照以上方法，可以获得数据组 $(0.9998, 2.5), (0.9999, 2.5), (1.0001, 2.5), (1.0002, 2.5)$

这种方法的代码在源码的dataProcessing.py中。

接下来同样进行拟合。然后把拟合好的曲线进行融合，结果如下：
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述

此部分代码在在源码的combine2func.py中

第二小问

数据分布

首先，附件2文本中的数据是这样的：（以下只展示了极小部分的数据）

附件2  193A数据

1300多名病人按照4种疗法服药大约每隔8周测试的CD4浓度。

第1列是病人编号，第2列是4种疗法的代码：
1 = 600mg zidovudine 与400mg didanosine按月轮换使用；
2 = 600mg zidovudine 加2.25mg zalcitabine；
3 = 600mg zidovudine 加400mg didanosine；
4 = 600mg zidovudine 加400mg didanosine 加400mg nevirapine。

第3列是病人年龄，第4列是测试CD4的时刻（周），第5列是测得的CD4，取值log(CD4+1).


ID    疗法       年龄   时间 Log(CD4 count+1) 
1	2	36.4271	0	3.1355 
1	2	36.4271	7.5714	3.0445 
1	2	36.4271	15.5714	2.7726 
1	2	36.4271	23.5714	2.8332 
1	2	36.4271	32.5714	3.2189 
1	2	36.4271	40	3.0445 
2	4	47.8467	0	3.0681 
2	4	47.8467	8	3.8918 
2	4	47.8467	16	3.9703 
2	4	47.8467	23	3.6109 
2	4	47.8467	30.7143	3.3322 
2	4	47.8467	39	3.0910 
3	1	60.2875	0	3.7377 
4	3	36.5969	0	4.1190 
4	3	36.5969	7.1429	4.1109 
4	3	36.5969	16.1429	4.7095 
4	3	36.5969	32.4286	2.8332 
5	1	35.948	0	3.5835 
5	1	35.948	8	3.4340 
5	1	35.948	16	3.4340 
5	1	35.948	24	3.7136 
5	1	35.948	32	3.0445 
5	1	35.948	40	2.3979

由于病人的年龄差别较大，且不同年龄的病人的抵抗力差别也比较大，因此，将病人按照年龄划分为4个样本组：14~25岁、25~35岁、36~45岁、45岁以上。

此外，可以发现CD4浓度的测试时间集中在以下几个时间段：第0周、第7~9周、第15~17周、第23~25周、第31~33周、第38周以上。因此，基于测量时刻，对每个样本组划分出若干个数据组。

读取数据的代码在源码的readDataTxt2.py中。

数据处理

首先，针对一个数据组 $x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})$ ，求出其平均值 $x_{average},y_{average})$ ，由于针对时间t分成了6个数据组，因此会得到6个数据点。

接下来，为了描绘CD4浓度的变化，对这六个点，相邻的两点y值做减法，最终得到5个点，然后用这5个点进行拟合。下面展示一个年龄组的拟合结果：

在这里插入图片描述
此部分的代码在源码的Task2_fit.py中。

第三小问

计算疗法的得分

在第二小问中，我们拟合出了CD4浓度变化量的函数曲线。对于某种疗法的某个病人来说，CD4浓度变化量大于0且越大，表明CD4增加得越多，说明该疗法越有效。而当CD4浓度变化量小于或等于0且越小时，说明该疗法对于病人是没有效果甚至是有副作用的，因此对于疗法失效，且另作统计为疗法的失效率，记为 $Q$ 。我们对得到的的数据进行统计，利用以下公式：

CD4浓度变化量数据组： ${D1,D2,...,DN}\left \{ D_{1},D_{2},...,D_{N} \right \}$ ，根据拟合得到的函数生成数据
平均值： $Daverage=1n∑i=1nDiD_{average}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}{D_{i}}$
标准差： $σ\sigma$
失效率： $KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '为' at position 16: q=\frac{N}{n},N为̲数据组\left \{ D_…$

根据以上分析，我们计算每个疗法的得分： $g=Daverage×(1−q)2÷σg=D_{average} \times (1-q)^{2} \div \sigma$

个性化处理

如果病人考虑到四种疗法的费用，结合自身的经济承受能力来选择疗法。我们引入了价格因素r，其中p是疗法所需的费用，r是病人对费用的敏感指数。由于个人经济承受能力的不同，每个人对费用的敏感程度是不同的。因此，我们在模型中引入了费用敏感指数，费用敏感指数越大，说明病人对费用越敏感。当r=0（即 $p^{r}=1$ ）时，价格因素不起作用，病人对费用不敏感，表示病人只追求最好的治疗效果，无论付出多大的费用。当r=1（即 $p^{r}=p$ ）时，价格因素对病人选择的疗法有较大的影响，此时病人会折中考虑费用和疗效。

综合考虑效果和费用的共同作用，对刚刚得到的疗法得分进行如下处理，来评价疗法的优劣： $\div p^{r}$

计算最终得分的代码在源码的Task3.py中。

本文由博客一文多发平台 OpenWrite 发布！

【python】实战：大批量数据的处理和拟合