前言
所有自然数的和相加为多少呢，即 111+++222+++333+++444+++555+++666+++⋯\cdots⋯===???，估计我们都会说是 +∞+\infty+∞，但数学家说 111 +++ 222+++333+++444+++555+++666+++ ⋯\cdots⋯ === −112-\frac{1}{12}−121，那么数学家到底是如何计算的呢？以下是数学家使用的最简计算过程，大家自行体会：
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求值：S=1−1+1−1+1−1+1−1+⋯S=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdotsS=1−1+1−1+1−1+1−1+⋯
解： S=1−1+1−1+1−1+1−1+⋯S=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdotsS=1−1+1−1+1−1+1−1+⋯
即，S=S=S=1−(1−1+1−1+1−1+1−1+⋯)1-(1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots)1−(1−1+1−1+1−1+1−1+⋯)
则 S=1−SS=1-SS=1−S，解得 S=12S=\frac{1}{2}S=21 .
正式求解
求值：111+++222+++333+++444+++555+++666+++⋯\cdots⋯===???
解：令 S1=S_1=S1=111+++222+++333+++444+++555+++666+++⋯\cdots⋯ ①
再令 \quadS2=S_2=S2=111−-−222+++333−-−444+++555−-−666+++⋯\cdots⋯ ②
①-② 得到，S1S_1S1−-−S2S_2S2===444+++888+++121212+++161616+++⋯\cdots⋯ === 4(111+++222+++333+++444+++555+++666+++⋯\cdots⋯)=== 4S14S_14S1
即 −3S1=S2-3S_1=S_2−3S1=S2， 则 S1=−13S2S_1=-\frac{1}{3}S_2S1=−31S2，以下重点求解 S2S_2S2，
由于 S2S_2S2===111−-−222+++333−-−444+++555−-−666+++⋯\cdots⋯
则 \quadS2S_2S2 === 0+111−-−222+++333−-−444+++555−-−666+++⋯\cdots⋯ \quad 此处用 000 补位，是为了错位相加，
则 2S2=1−1+1−1+1−1+1−1+⋯2S_2=1-1+1-1+1-1+1-1+\cdots2S2=1−1+1−1+1−1+1−1+⋯，而由上题我们知道，1−1+1−1+1−1+1−1+⋯=121-1+1-1+1-1+1-1+\cdots=\frac{1}{2}1−1+1−1+1−1+1−1+⋯=21，
故 2S2=122S_2=\frac{1}{2}2S2=21， S2=14S_2=\frac{1}{4}S2=41，代入 S1=−13S2S_1=-\frac{1}{3}S_2S1=−31S2，
可得到， S1=−112S_1=-\frac{1}{12}S1=−121，即 111+++222+++333+++444+++555+++666+++⋯\cdots⋯===−112-\frac{1}{12}−121，逆天吧 .
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