舞会上有多少顶黑帽？

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1. 题目描述

一群人开舞会，每人头上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的。主持人先让大家看看别人头上戴的是什么帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光。第一次关灯，没有声音。于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声。一直到第三次关灯，才有劈劈啪啪打耳光的声音响起。问有多少人戴着黑帽子？（假设每个人都足够聪明）

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2.解题关键

• 定义问题： 假设问题为 $y=F(n)$，表示当有 $n$ 顶黑帽时，会在第 $y$ 天打脸；
• 每个人都看不到自己的帽子，只能通过观察别人的帽子的表现猜测自己的帽子；
• 终止条件： 当一个人眼前都是白帽时，由于至少有一个黑帽，则说明他自己是黑帽。

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3. 题解

• $F(1)$：由于只且仅有 1 顶黑帽，那么黑帽 A 眼前全是白帽，他很清楚自己是黑帽，因此一定会在第 1 天打脸。即 $F(1)=1$；
• $F(2)$：由于只有 2 顶黑帽，大多数人眼前有 2 顶黑帽，而其中黑帽 A 和 B 最为特殊，他们眼前只有 1 顶黑帽。聪明的 A 知道 B 眼前只有两种情况：全是白帽 or 只有 A 头上的黑帽。聪明的 B 也知道 A 眼前只有两种情况：全是白帽 or 只有 B 头上的黑帽。因为 $F(2)$ 没有人眼前全是白色，所以第 1 天不会有人打脸。那么 A 和 B 观察到对方没有在第 1 天打脸，分别都知道自己是黑帽，因此会在第 2 天打脸。即 $F(2)=2$；
• $F(3)$：由于只有 2 顶黑帽，大多数人眼前有 3 顶黑帽，特殊的黑帽 A、B 和 C 眼前只有 2 顶。它们分别观察到其他两个人均没有在第 2 天打脸，同理，就确信自己是黑帽。即 $F(3)=3$。
• 一次类推，有 $F(x)=x$，有几顶黑帽，就会在第几天打脸。