流网络（Flow Networks）指的是一个有向图 G = (V, E)，其中每条边 (u, v) ∈ E 均有一非负容量 c(u, v) ≥ 0。如果 (u, v) ∉ E 则可以规定 c(u, v) = 0。流网络中有两个特殊的顶点：源点 s （source）和汇点 t（sink）。为方便起见，假定每个顶点均处于从源点到汇点的某条路径上，就是说，对每个顶点 v ∈ E，存在一条路径 s --> v --> t。因此，图 G 为连通图，且 |E| ≥ |V| - 1。
下图展示了一个流网络实例。
设 G = (V, E) 是一个流网络，其容量函数为 c。设 s 为网络的源点，t 为汇点。G 的流的一个实值函数 f：V×V → R，且满足下列三个性质：
容量限制（Capacity Constraint）：对所有顶点对 u, v ∈ V，要求 f(u, v) ≤ c(u, v)。
反对称性（Skew Symmetry）：对所有顶点对 u, v ∈ V，要求 f(u, v) = - f(v, u)。
流守恒性（Flow Conservation）：对所有顶点对 u ∈ V - {s, t}，要求 Σv∈Vf(u, v) = 0。
f(u, v) 称为从顶点 u 到顶点 v 的流，流的值定义为：|f| =Σv∈Vf(s, v)，即从源点 s 出发的总流。
最大流问题（Maximum-flow problem）中，给出源点 s 和汇点 t 的流网络 G，希望找出从 s 到 t 的最大值流。
满足流网络的性质的实际上定义了问题的限制：
经过边的流不能超过边的容量；
除了源点 s 和汇点 t，对于其它所有顶点，流入量与流出量要相等；
上面的图中描述的流网络可简化为下图，其中源点 s = 0，汇点 t = 5。
上图的最大流为 23
Ford-Fulkerson 算法是一种解决最大流的方法，其依赖于三种重要思想：
残留网络（Residual networks）
增广路径（Augmenting paths）
割（Cut）
这些思想是最大流最小割定理的精髓，该定理用流网络的割来描述最大流的值。
最大流最小割定理
如果 f 是具有源点 s 和汇点 t 的流网络 G = (V, E) 中的一个流，则下列条件是等价的：
f 是 G 的一个最大流。
残留网络 Gf 不包含增广路径。
对 G 的某个割 (S, T)，有 |f| = c(S, T)。
Ford-Fulkerson 算法是一种迭代方法。开始时，对所有 u, v ∈ V 有 f(u, v) = 0，即初始状态时流的值为 0。在每次迭代中，可通过寻找一条增广路径来增加流值。增广路径可以看做是从源点 s 到汇点 t 之间的一条路径，沿该路径可以压入更多的流，从而增加流的值。反复进行这一过程，直至增广路径都被找出为止。最大流最小割定理将说明在算法终止时，这一过程可产生出最大流。
1 FORD-FULKERSON-METHOD(G, s, t) 2 initialize flow f to 0 3 while there exists an augmenting path p 4 do augment flow f along p 5 return f
上述伪码实现的时间复杂度为 O(max_flow * E)。
C# 代码实现如下：
1 using System;
2 using System.Collections.Generic;
3 using System.Linq;
4
5 namespace GraphAlgorithmTesting
6 {
7 class Program
8 {
9 static void Main(string[] args)
10 {
11 Graph g = new Graph(6);
12 g.AddEdge(0, 1, 16);
13 g.AddEdge(0, 2, 13);
14 g.AddEdge(1, 2, 10);
15 g.AddEdge(1, 3, 12);
16 g.AddEdge(2, 1, 4);
17 g.AddEdge(2, 4, 14);
18 g.AddEdge(3, 2, 9);
19 g.AddEdge(3, 5, 20);
20 g.AddEdge(4, 3, 7);
21 g.AddEdge(4, 5, 4);
22
23 Console.WriteLine();
24 Console.WriteLine("Graph Vertex Count : {0}", g.VertexCount);
25 Console.WriteLine("Graph Edge Count : {0}", g.EdgeCount);
26 Console.WriteLine();
27
28 int maxFlow = g.FordFulkerson(0, 5);
29 Console.WriteLine("The Max Flow is : {0}", maxFlow);
30
31 Console.ReadKey();
32 }
33
34 class Edge
35 {
36 public Edge(int begin, int end, int weight)
37 {
38 this.Begin = begin;
39 this.End = end;
40 this.Weight = weight;
41 }
42
43 public int Begin { get; private set; }
44 public int End { get; private set; }
45 public int Weight { get; private set; }
46
47 public override string ToString()
48 {
49 return string.Format(
50 "Begin[{0}], End[{1}], Weight[{2}]",
51 Begin, End, Weight);
52 }
53 }
54
55 class Graph
56 {
57 private Dictionary<int, List<Edge>> _adjacentEdges
58 = new Dictionary<int, List<Edge>>();
59
60 public Graph(int vertexCount)
61 {
62 this.VertexCount = vertexCount;
63 }
64
65 public int VertexCount { get; private set; }
66
67 public IEnumerable<int> Vertices
68 {
69 get
70 {
71 return _adjacentEdges.Keys;
72 }
73 }
74
75 public IEnumerable<Edge> Edges
76 {
77 get
78 {
79 return _adjacentEdges.Values.SelectMany(e => e);
80 }
81 }
82
83 public int EdgeCount
84 {
85 get
86 {
87 return this.Edges.Count();
88 }
89 }
90
91 public void AddEdge(int begin, int end, int weight)
92 {
93 if (!_adjacentEdges.ContainsKey(begin))
94 {
95 var edges = new List<Edge>();
96 _adjacentEdges.Add(begin, edges);
97 }
98
99 _adjacentEdges[begin].Add(new Edge(begin, end, weight));
100 }
101
102 public int FordFulkerson(int s, int t)
103 {
104 int u, v;
105
106 // Create a residual graph and fill the residual graph with
107 // given capacities in the original graph as residual capacities
108 // in residual graph
109 int[,] residual = new int[VertexCount, VertexCount];
110
111 // Residual graph where rGraph[i,j] indicates
112 // residual capacity of edge from i to j (if there
113 // is an edge. If rGraph[i,j] is 0, then there is not)
114 for (u = 0; u < VertexCount; u++)
115 for (v = 0; v < VertexCount; v++)
116 residual[u, v] = 0;
117 foreach (var edge in this.Edges)
118 {
119 residual[edge.Begin, edge.End] = edge.Weight;
120 }
121
122 // This array is filled by BFS and to store path
123 int[] parent = new int[VertexCount];
124
125 // There is no flow initially
126 int maxFlow = 0;
127
128 // Augment the flow while there is path from source to sink
129 while (BFS(residual, s, t, parent))
130 {
131 // Find minimum residual capacity of the edhes along the
132 // path filled by BFS. Or we can say find the maximum flow
133 // through the path found.
134 int pathFlow = int.MaxValue;
135 for (v = t; v != s; v = parent[v])
136 {
137 u = parent[v];
138 pathFlow = pathFlow < residual[u, v]
139 ? pathFlow : residual[u, v];
140 }
141
142 // update residual capacities of the edges and reverse edges
143 // along the path
144 for (v = t; v != s; v = parent[v])
145 {
146 u = parent[v];
147 residual[u, v] -= pathFlow;
148 residual[v, u] += pathFlow;
149 }
150
151 // Add path flow to overall flow
152 maxFlow += pathFlow;
153 }
154
155 // Return the overall flow
156 return maxFlow;
157 }
158
159 // Returns true if there is a path from source 's' to sink 't' in
160 // residual graph. Also fills parent[] to store the path.
161 private bool BFS(int[,] residual, int s, int t, int[] parent)
162 {
163 bool[] visited = new bool[VertexCount];
164 for (int i = 0; i < visited.Length; i++)
165 {
166 visited[i] = false;
167 }
168
169 Queue<int> q = new Queue<int>();
170
171 visited[s] = true;
172 q.Enqueue(s);
173 parent[s] = -1;
174
175 // standard BFS loop
176 while (q.Count > 0)
177 {
178 int u = q.Dequeue();
179
180 for (int v = 0; v < VertexCount; v++)
181 {
182 if (!visited[v]
183 && residual[u, v] > 0)
184 {
185 q.Enqueue(v);
186 visited[v] = true;
187 parent[v] = u;
188 }
189 }
190 }
191
192 // If we reached sink in BFS starting from source,
193 // then return true, else false
194 return visited[t] == true;
195 }
196 }
197 }
198 }运行结果如下：
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