1、概念

回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点”。许多复杂的，规模较大的由多步骤组成，并且每一步都有多种选项，当我们在某一步选择了其中一项时就进入下一项，然后又面临新的选项之类的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法”的美称。

2、基本思想

回溯法思想简单描述：把问题的解空间转化为图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历过程中记录和寻找可行解或者最优解。基本思想类似二叉树的后序遍历。

回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：1. 使用约束函数，剪去不满足约束条件的路径；2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的路径。

3、用回溯法解题的一般步骤：

（1）针对所给问题，确定问题的解空间：首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

（2）确定结点的扩展搜索规则

（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4、算法框架

（1）问题框架

设问题的解是一个n维向量(a1,a2,………,an),约束条件是ai(i=1,2,3,…..,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

（2）非递归回溯框架

    int a[n],i;
    初始化数组a[];
    i = 1;
    while (i>0(有路可走)   and  (未达到目标))  // 还未回溯到头
    {
        if(i > n)                           // 搜索到叶结点
        {   
              搜索到一个解，输出；
        }
       else                           // 处理第i个元素
       { 
             a[i]第一个可能的值；
             while(a[i]在不满足约束条件且在搜索空间内)
             {
                a[i]下一个可能的值；
             }
             if(a[i]在搜索空间内)
            {
                 标识占用的资源；
                 i = i+1;           // 扩展下一个结点
            }
            else 
           {
                 清理所占的状态空间；   // 回溯
                 i = i –1; 
            }
   }

（3）递归的算法框架

回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度，框架如下：

    int a[n];
    try(int i)
    {
        if(i>n)
           输出结果;
         else
        {
          for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1)  // 枚举i所有可能的路径
           {
              if(fun(j))                 // 满足限界函数和约束条件
                {
                   a[i] = j;
                 ...                         // 其他操作
                   try(i+1);
                 回溯前的清理工作（如a[i]置空值等）;
                 }
            }
        }
   }

5、经典问题

（1）装载问题
（2）0-1背包问题
（3）旅行售货员问题
（4）八皇后问题
（5）迷宫问题
（6）图的m着色问题

1. 0-1背包问题

问题：给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为pi，背包的容量为C。问应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
分析：问题是n个物品中选择部分物品，可知，问题的解空间是子集树。比如物品数目n=3时，其解空间树如下图，边为1代表选择该物品，边为0代表不选择该物品。使用x[i]表示物品i是否放入背包，x[i]=0表示不放，x[i]=1表示放入。回溯搜索过程，如果来到了叶子节点，表示一条搜索路径结束，如果该路径上存在更优的解，则保存下来。如果不是叶子节点，是中点的节点（如B），就遍历其子节点（D和E），如果子节点满足剪枝条件，就继续回溯搜索子节点。

#include <stdio.h>
 
#define N 3         //物品的数量
#define C 16        //背包的容量
 
int w[N]={10,8,5};  //每个物品的重量
int v[N]={5,4,1};   //每个物品的价值
int x[N]={0,0,0};   //x[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入
 
int CurWeight = 0;  //当前放入背包的物品总重量
int CurValue = 0;   //当前放入背包的物品总价值
 
int BestValue = 0;  //最优值；当前的最大价值，初始化为0
int BestX[N];       //最优解；BestX[i]=1代表物品i放入背包，0代表不放入
 
//t = 0 to N-1
void backtrack(int t)
{
	//叶子节点，输出结果
	if(t>N-1) 
	{
		//如果找到了一个更优的解
		if(CurValue>BestValue)
		{
			//保存更优的值和解
			BestValue = CurValue;
			for(int i=0;i<N;++i) BestX[i] = x[i];
		}
	}
	else
	{
		//遍历当前节点的子节点：0 不放入背包，1放入背包
		for(int i=0;i<=1;++i)
		{
			x[t]=i;
 
			if(i==0) //不放入背包
			{
				backtrack(t+1);
			}
			else //放入背包
			{
 <span style="white-space:pre">				</span>//约束条件：放的下
				if((CurWeight+w[t])<=C)
				{
<span style="white-space:pre">					</span>CurWeight += w[t];
					CurValue += v[t];
					backtrack(t+1);
					CurWeight -= w[t];
					CurValue -= v[t];
				}
			}
		}
		//PS:上述代码为了更符合递归回溯的范式，并不够简洁
	}
}
 
int main(int argc, char* argv[])
{
	backtrack(0);
 
	printf("最优值：%d\n",BestValue);
 
	for(int i=0;i<N;i++)
	{
	   printf("最优解：%-3d",BestX[i]);
	}
	return 0;
}

2. 旅行售货员问题

回溯法----旅行售货员问题

3. 详细描述N皇后问题

问题：在n×n格的棋盘上放置彼此不受攻击的n个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。

N皇后问题等价于在n×n格的棋盘上放置n个皇后，任何2个皇后不放在同一行或同一列或同一斜线上。

分析：从n×n个格子中选择n个格子摆放皇后。可见解空间树为子集树。

使用Board[N][N]来表示棋盘，Board[i][j]=0 表示(I,j)位置为空，Board[i][j]=1 表示(I,j)位置摆放有一个皇后。

全局变量way表示总共的摆放方法数目。

使用Queen(t)来摆放第t个皇后。Queen(t) 函数符合子集树时的递归回溯范式。当t>N时，说明所有皇后都已经摆放完成，这是一个可行的摆放方法，输出结果；否则，遍历棋盘，找皇后t所有可行的摆放位置，Feasible(i,j) 判断皇后t能否摆放在位置(i,j)处，如果可以摆放则继续递归摆放皇后t+1，如果不能摆放，则判断下一个位置。

Feasible(row,col)函数首先判断位置(row,col)是否合法，继而判断(row,col)处是否已有皇后，有则冲突，返回0，无则继续判断行、列、斜方向是否冲突。斜方向分为左上角、左下角、右上角、右下角四个方向，每次从（row,col）向四个方向延伸一个格子，判断是否冲突。如果所有方向都没有冲突，则返回1，表示此位置可以摆放一个皇后。