线性变换及其与矩阵的关系——线性代数的本质（三）

unfortunately, no one can be told what the matrix is. you have to see it for yourself.

– morpheus

线性变换 linear transformation

通常 变换（transformation） 相当于函数（function）— $f(x)$ ，给它一定的输入，它会产生相应的输出。在线性代数的场景中，变换（transformation）可以想象为输入某个向量，然后输出另一个向量的过程。

如果是这样，为什么使用变换（transformation）这个词，而不直接使用函数（function）呢？因为变换有移动的含义在里面，而更好的理解输入向量到输出向量的过程的方式是移动向量。

如果一个变换（transformation）接收一个输入向量，并输出一个新的向量，我们可以想象它是从输入的向量 （vector）移动到了输出的向量（vector）。然后我们把这种变换当做一个整体来理解，想象整个平面内任何向量（vectors）都随着这个变换（transformation）发生了各自的移动，等同于平面内所有的点随着该变换（transformation）移动到了另一个点。

而线性代数中的线性变换（linear transformation）是一种更易理解的、特殊的变换，它具备两个的条件:

1. 向量在变换后仍然是直线，不会被扭曲；
2. 原点不会发生移动。

把一个平面想象为彼此间均匀且平行的网格，**线性变换会让网格中的线条依然保持平行且均匀。**例如下图是细实线组成的空间变换到粗实线组成的空间后的样子：

理解了线性变换后，我们如何用数学的方式来表示它呢？这样我们就可以把这个“公式”制作成计算机程序，然后输入一个向量的坐标，它就会给我们返回变换后的向量的坐标。

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