非科班程序员才不知道的矩阵Matrix

有时，我们想用新技术解决旧技术的包袱，问题是新技术会带来更多的包袱。新技术的一个问题是，人们还不知道它到底有多糟糕。 -《选择乏味的技术》

此手记基于慕课网liuyubobobo老师的线代课程，感谢老师

• 大概来说：矩阵是对向量的拓展，一个矩阵表示一组向量
• 行数=列数->方阵
• 方阵有很多特殊的性质
  

运算

• 基本运算性质
• A+B=B+A
• (A+B)+C=A+(B+C)
• 存在矩阵O，满足:A+O=A
• 存在矩阵-A，满足:A+(-A)=O
• -A唯一，-A=-1·A
• (ck)A=c(kA)
• (c+k)·A=c·A+k·A
• k·(A+B)=k·A+k·B

矩阵和向量想乘

• 矩阵A的列数必须和向量u的元素个数一致！
• 矩阵A的行数没有限制
• 矩阵T实际上将向量a转换成了向量b！可以把矩阵理解成向量的函数！
  

矩阵和矩阵的乘法

• 矩阵A的列数必须和矩阵B的行数一致！
• A是m（行数）*k（列数）的矩阵；B是k（行数）*n（列数）的矩阵，则结果矩阵为m（行数）*n（列数）的矩阵
• 矩阵乘法不遵守交换律！AB≠BA 很有可能根本不能相乘，即使可以相乘，結果也不一樣！
• 矩阵乘法遵守：
  • (A·B)·C=A·(B·C)
  • A·(B+C)=A·B+A·C
  • (B+C)-A=B·A+C·A
  • 对任意rc的矩阵A，存在cx的矩阵O，满足：A*O(cx)=O(rx),反之亦然。
  • 矩阵的行数列数相等时，可幂。只有方阵才可以进行矩阵的幂运算！
  • （A+B)² ≠ A²+2AB+B²
    

变换矩阵

• 让每个点关于y轴翻转
  
• 让每个点关于x轴翻转

• 让每个点关于原点翻转（x轴，y轴均翻转）
  
  
• 沿x方向错切（反之亦然）
  
• 旋转角度
  
  
• 平移操作->仿射变换

平移矩阵不是正交矩阵。所有的矩阵运算都是线性变换，所以是仿射、线性变换。可逆，但是逆不等于其转置，所以满秩非正交

单位矩阵

让每个点的横坐标扩大1倍，纵坐标扩大1倍

矩阵的逆

• 矩阵中AB=BA=I，则称B是A的逆矩阵，记做：B=A^(-1）
• A称为可逆矩阵，或者叫非奇异矩阵（non-singular)，大多数
• 有些矩阵是不可逆的！称为不可逆矩阵，或者奇异矩阵（singular)
• 如果BA=I，则称B是A的左逆矩阵。
• 如果AC=I，则称C是A的右逆矩阵。
• 如果一个矩阵A既存在左逆矩阵B，又存在右逆矩阵C，则B=C
• 对于矩阵A，存在矩阵B，满足BA=AB=l，矩阵A可逆
• 可逆矩阵一定为方阵！
• 非方阵一定不可逆！
• 转置:行变列，列变行。单位矩阵转置后还是它自己。
  
  
  

列视角的好处（空间概念的形成）

• 由空间推导变换矩阵
• n维空间应该用n个轴来定义，方阵