正则：正则是一个汉语词汇，拼音为zhèng zé，基本意思是正其礼仪法则；正规；常规；正宗等。出自《楚辞·离骚》、《插图本中国文学史》、《东京赋》等文献。 —— 百度百科
基本形式
线性回归模型常常会出现过拟合的情况，由于训练集噪音的干扰，训练出来的模型抖动很大，不够平滑，导致泛化能力差，如下所示：
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.preprocessing import PolynomialFeaturesdef poly4(X, *theta): return theta[0] + theta[1] * X + theta[2] * X**2 + theta[3] * X**3 + theta[4] * X**4''' 创建样本数据 '''X = np.arange(0, 9, 1) Y = [-10, 1, 10, 19, 10, 10, 46, 49, 50]''' 用4次多项式拟合 '''pf = PolynomialFeatures(degree=4) featrues_matrix = pf.fit_transform(X.reshape(9, 1)) theta = tuple(np.dot(np.dot(np.linalg.pinv(np.dot(featrues_matrix.T, featrues_matrix)), featrues_matrix.T), np.array(Y).T)) Ycalculated = poly4(X, *theta) plt.scatter(X, Y, marker='x', color='k') plt.plot(X, Ycalculated, color='r') plt.show()
运行结果：
上面的代码中，大叔试图用多项式θ0+θ1x+θ2x2+θ3x3+θ4x4θ0+θ1x+θ2x2+θ3x3+θ4x4拟合给出的9个样本（如对以上代码有疑问，可参见大叔学ML第三：多项式回归），用正规方程计算出θ⃗θ，并绘图发现：模型产生了过拟合的情况。解决线性回归过拟合的一个方案是给代价函数添加正则化项。代价函数（参见大叔学ML第二：线性回归）形如：
j(θ0,θ1…θn)=12m∑k=1m(θ0x(k)0+θ1x(k)1+θ2x(k)2+⋯+θnx(k)n−y(k))2(1)(1)j(θ0,θ1…θn)=12m∑k=1m(θ0x0(k)+θ1x1(k)+θ2x2(k)+⋯+θnxn(k)−y(k))2
添加正则化后的代价函数形如：
j(θ0,θ1…θn)=12m[∑k=1m(θ0x(k)0+θ1x(k)1+θ2x(k)2+⋯+θnx(k)n−y(k))2+λ∑i=0nθ2i](2)(2)j(θ0,θ1…θn)=12m[∑k=1m(θ0x0(k)+θ1x1(k)+θ2x2(k)+⋯+θnxn(k)−y(k))2+λ∑i=0nθi2]
，其中λ>0λ>0。直观地理解：当我们不加正则化项时，上面的代码拟合出来的多项式某些项前面的系数θθ的绝对值可能很大，这将导致横轴数据的微小变化会对应纵轴数据的大幅度变化，使得图像抖动加剧，而加了正则化项后起到一个“惩罚”的作用：当λλ较大时，λ∑ni=1θ2iλ∑i=1nθi2会很大，使得代价函数变大，为了使代价函数尽可能地小，θθ只能取尽可能接近0的数，这样最终模型的抖动就变小了。
梯度下降法中应用正则化项
对（2）式中的θ⃗θ求偏导：
∂∂θ0j(θ0,θ1…θn)=1m[∑mk=1(θ0x(k)0+θ1x(k)1+⋯+θnx(k)n−y(k))x(k)0+λθ0]∂∂θ0j(θ0,θ1…θn)=1m[∑k=1m(θ0x0(k)+θ1x1(k)+⋯+θnxn(k)−y(k))x0(k)+λθ0]
∂∂θ1j(θ0,θ1…θn)=1m[∑mk=1(θ0x(k)0+θ1x(k)1+⋯+θnx(k)n−y(k))x(k)1+λθ1]∂∂θ1j(θ0,θ1…θn)=1m[∑k=1m(θ0x0(k)+θ1x1(k)+⋯+θnxn(k)−y(k))x1(k)+λθ1]
……
∂∂θnj(θ0,θ1…θn)=1m[∑mk=1(θ0x(k)0+θ1x(k)1+⋯+θnx(k)n−y(k))x(k)n+λθn]∂∂θnj(θ0,θ1…θn)=1m[∑k=1m(θ0x0(k)+θ1x1(k)+⋯+θnxn(k)−y(k))xn(k)+λθn]
有了偏导公式后修改原来的代码（参见大叔学ML第二：线性回归）即可，不再赘述。
正规方程中应用正则化项
用向量的形式表示代价函数如下：
J(θ⃗)=12m||Xθ⃗−y⃗||2(3)(3)J(θ)=12m||Xθ−y||2
观察（2）式，添加了正则化项的向量表示形式如下：
J(θ⃗)=12m[||Xθ⃗−y⃗||2+λ||θ⃗||2](4)(4)J(θ)=12m[||Xθ−y||2+λ||θ||2]
变形：
J(θ⃗)=12m[||Xθ⃗−y⃗||2+||θ⃗||2]=12m[(Xθ⃗−y⃗)T(Xθ⃗−y⃗)+λθ⃗Tθ⃗]=12m[(θ⃗TXT−y⃗T)(Xθ⃗−y⃗)+λθ⃗Tθ⃗]=12m[(θ⃗TXTXθ⃗−θ⃗TXTy⃗−y⃗TXθ⃗+y⃗Ty⃗)+λθ⃗Tθ⃗]=12m(θ⃗TXTXθ⃗−2y⃗TXθ⃗+y⃗Ty⃗+λθ⃗Tθ⃗)(1)(2)(3)(4)(5)(1)J(θ)=12m[||Xθ−y||2+||θ||2](2)=12m[(Xθ−y)T(Xθ−y)+λθTθ](3)=12m[(θTXT−yT)(Xθ−y)+λθTθ](4)=12m[(θTXTXθ−θTXTy−yTXθ+yTy)+λθTθ](5)=12m(θTXTXθ−2yTXθ+yTy+λθTθ)
对θ⃗θ求导：
ddθ⃗J(θ⃗)ddθ⃗J(θ⃗)=1m(XTXθ⃗−XTy⃗+λIθ⃗)=1m[(XTX+λI)θ⃗−XTy⃗](6)(7)(6)ddθJ(θ)=1m(XTXθ−XTy+λIθ)(7)ddθJ(θ)=1m[(XTX+λI)θ−XTy]
令其等于0，得：
θ⃗=(XTX+λI)−1XTy⃗(5)(5)θ=(XTX+λI)−1XTy
小试牛刀
对本文开头所给出的代码进行修改，加入正则化项看看效果：
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.preprocessing import PolynomialFeaturesdef poly4(X, *theta): return theta[0] + theta[1] * X + theta[2] * X**2 + theta[3] * X**3 + theta[4] * X**4''' 创建样本数据 '''X = np.arange(0, 9, 1) Y = [-10, 1, 10, 19, 10, 10, 46, 49, 50]''' 用4次多项式拟合 '''pf = PolynomialFeatures(degree=4) featrues_matrix = pf.fit_transform(X.reshape(9, 1)) ReM = np.eye(5) #正则化矩阵ReM[0, 0] = 0theta1 = tuple(np.dot(np.dot(np.linalg.pinv(np.dot(featrues_matrix.T, featrues_matrix) + 0 * ReM), featrues_matrix.T), np.array(Y).T)) Y1 = poly4(X, *theta1) theta2 = tuple(np.dot(np.dot(np.linalg.pinv(np.dot(featrues_matrix.T, featrues_matrix) + 1 * ReM), featrues_matrix.T), np.array(Y).T)) Y2 = poly4(X, *theta2) theta3 = tuple(np.dot(np.dot(np.linalg.pinv(np.dot(featrues_matrix.T, featrues_matrix) + 10000 * ReM), featrues_matrix.T), np.array(Y).T)) Y3 = poly4(X, *theta3) plt.scatter(X, Y, marker='x', color='k') plt.plot(X, Y1, color='r') plt.plot(X, Y2, color='y') plt.plot(X, Y3, color='b') plt.show()
运行结果：
上图中，红线是没有加正则化项拟合出来的多项式曲线，黄线是加了λλ取1的正则化项后拟合出来的曲线，蓝线是加了λλ取10000的正则化项拟合出来的曲线。可见，加了正则化项后，模型的抖动变小了，曲线变得更加平滑。
调用类库
sklean中已经为我们写好了加正则化项的线性回归方法，修改上面的代码：
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.linear_model import Ridgefrom sklearn.preprocessing import PolynomialFeaturesdef poly4(X, *theta): return theta[0] + theta[1] * X + theta[2] * X**2 + theta[3] * X**3 + theta[4] * X**4''' 创建样本数据 '''X = np.arange(0, 9, 1) Y = [-10, 1, 10, 19, 10, 10, 46, 49, 50]''' 用4次多项式拟合 '''pf = PolynomialFeatures(degree=4) featrues_matrix = pf.fit_transform(X.reshape(9, 1)) ridge_reg = Ridge(alpha=100) ridge_reg.fit(featrues_matrix, np.array(Y).reshape((9, 1))) theta = tuple(ridge_reg.intercept_.tolist() + ridge_reg.coef_[0].tolist()) Y1 = poly4(X, *theta) plt.scatter(X, Y, marker='x', color='k') plt.plot(X, Y1, color='r') plt.show()
运行结果：
哇，调库和自己写代码搞出的模型差距居然这么大。看来水很深啊，大叔低估了ML的难度，路漫漫其修远兮......将来如果有机会需要阅读一下这些库的源码。大叔猜测是和样本数量可能有关系，大叔的样本太少，自己瞎上的。园子里高人敬请在评论区指教哦。
扩展
正则化项不仅如本文一种添加方式，本文所用的加λ||θ⃗||2λ||θ||2的方式被称为“岭回归”，据说是因为给矩阵XTXXTX加了一个对角矩阵，此对角矩阵的主元看起来就像一道分水岭，所以叫“岭回归”。代码中用的sklean中的模块名字就是Ridge，也是分水岭的意思。
除了岭回归，还有“Lasso回归”，这个回归算法所用的正则化项是λ||θ⃗||λ||θ||，岭回归的特点是缩小样本属性对应的各项θθ，而Lasso回归的特点是使某些不打紧的属性对应的θθ为0，即：忽略掉了某些属性。还有一种回归方式叫做“弹性网络”，是一种对岭回归和Lasso回归的综合应用。大叔在以后的日子研究好了还会专门再写一篇博文记录。
通过这几天的研究，大叔发现其实ML中最重要的部分就是线性回归，连高大上的深度学习也是对线性回归的扩展，如果对线性回归有了透彻的了解，定能在ML的路上事半功倍，一往无前。祝大家圣诞快乐！
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