一、决策树简介
决策树是一种特殊的树形结构，一般由节点和有向边组成。其中，节点表示特征、属性或者一个类。而有向边包含有判断条件。如图所示，决策树从根节点开始延伸，经过不同的判断条件后，到达不同的子节点。而上层子节点又可以作为父节点被进一步划分为下层子节点。一般情况下，我们从根节点输入数据，经过多次判断后，这些数据就会被分为不同的类别。这就构成了一颗简单的分类决策树。
dt1.jpg
例子：
dt2.jpg
二、理论知识
请参考周志华《机器学习》第4章：决策树
注意，第75页有一行内容：信息熵的值越小，则样本集合的纯度越高。这怎么理解呢？可举几个例子来帮助理解
例1：
p1 = 1, p2 = 0, 则Ent(D) = - (1 * log1 + 0 * log0) = 0
这表示样本集合里只有一种样本。纯度最高。
例2：
p1 = p2 = 0.5，则Ent(D) = - (0.5 * log0.5 + 0.5 * log0.5) = - (-0.5 - 0.5) = 1
样本集合中有两种样本，每种样本的纯度都是50%
例3：
p1 = 0.5, p2 = p3 = 0.25，则Ent(D) = -(0.5 * log0.5 + 0.25 * log0.25 + 0.25 * log0.25) = -(-0.5 - 0.5 - 0.5) = 1.5
例4：
p1 = p2 = p3 = p4 = 0.25，则Ent(D) = 2
例5：
p1 = p2 = p3 = p4 = 1/1024，则Ent(D) = 10
通过上面几个可以看出来，熵值越小，纯度越高，熵值越大，纯度越低。纯度范围为[0, log|y|]
三、测试数据
2,2,2,4,0,2,1 2,2,2,2,0,1,0 2,2,2,2,0,2,0 2,2,2,2,1,0,0 2,2,2,2,1,1,0 2,2,2,2,1,2,0 2,2,2,2,2,0,0 2,2,2,2,2,1,0 2,2,2,2,2,2,0 2,2,2,4,0,0,0 2,2,2,4,0,1,0 2,2,2,4,0,2,1 2,2,2,4,1,0,0 2,2,2,4,1,1,0 2,2,2,4,1,2,1
四、程序
（一）DecisionTree.py
# 具有两种剪枝功能的简单决策树# 使用信息熵进行划分，剪枝时采用激进策略（即使剪枝后正确率相同，也会剪枝）import numpy as npclass Tree:
def __init__(self, label, attr, pruning=None):
self.__root = None
boundary = len(label) // 3
if pruning is None:
self.__root = self.__run_build(label[boundary:], attr[boundary:],
np.array(range(len(attr.transpose()))), False) return
if pruning == 'Pre':
self.__root = self.__run_build(label[boundary:], attr[boundary:],
np.array(range(len(attr.transpose()))), True, attr[0:boundary], label[0:boundary]) elif pruning == 'Post':
self.__root = self.__run_build(label[boundary:], attr[boundary:],
np.array(range(len(attr.transpose()))), False)
self.print_tree()
self.__post_pruning(self.__root, attr[0:boundary], label[0:boundary]) else: raise RuntimeError('未能识别的参数：%s' % pruning) @staticmethod
# 返回使用特定属性划分下的信息熵之和
# label: 类别标签
# attr: 用于进行数据划分的属性
def __get_info_entropy(label, attr):
result = 0.0
for this_attr in np.unique(attr):
sub_label, entropy = label[np.where(attr == this_attr)[0]], 0.0
for this_label in np.unique(sub_label):
p = len(np.where(sub_label == this_label)[0]) / len(sub_label)
entropy -= p * np.log2(p)
result += len(sub_label) / len(label) * entropy return result # 递归构建一颗决策树
# label: 维度为1 * N的数组。第i个元素表示第i行数据所对应的标签
# attr: 维度为 N * M 的数组，每行表示一条数据的属性，列数随着决策树的构建而变化
# attr_idx: 表示每个属性在原始属性集合中的索引，用于决策树的构建
# pre_pruning: 表示是否进行预剪枝
# check_attr: 在预剪枝时，用作测试数据的属性集合
# check_label: 在预剪枝时，用作测试数据的验证标签
def __run_build(self, label, attr, attr_idx, pre_pruning, check_attr=None, check_label=None):
node, right_count = {}, None
max_type = np.argmax(np.bincount(label)) if len(np.unique(label)) == 1: # 如果所有样本属于同一类C，则将结点标记为C
node['type'] = label[0] return node if attr is None or len(np.unique(attr, axis=0)) == 1: # 如果 attr 为空或者 attr 上所有元素取值一致，则将结点标记为样本数最多的类
node['type'] = max_type return node
attr_trans = np.transpose(attr) #每一行就是原先的属性列，转置是为了计算方便
min_entropy, best_attr = np.inf, None
# 获取各种划分模式下的信息熵之和（作用和信息增益类似）
# 并以此为信息，找出最佳的划分属性
if pre_pruning:
right_count = len(np.where(check_label == max_type)[0]) for this_attr in attr_trans:
entropy = self.__get_info_entropy(label, this_attr) if entropy < min_entropy:
min_entropy = entropy
best_attr = this_attr # branch_attr_idx 表示用于划分的属性是属性集合中的第几个
branch_attr_idx = np.where((attr_trans == best_attr).all(1))[0][0] if pre_pruning:
sub_right_count = 0
check_attr_trans = check_attr.transpose() # branch_attr_idx 表示本次划分依据的属性属于属性集中的哪一个
for val in np.unique(best_attr): # 按照预划分的特征进行划分，并统计划分后的正确率
# branch_data_idx 表示数据集中，被划分为 idx 的数据的索引
branch_data_idx = np.where(best_attr == val)[0] # predict_label 表示一次划分以后，该分支数据的预测类别
print(label[branch_data_idx])
print(np.bincount(label[branch_data_idx]))
predict_label = np.argmax(np.bincount(label[branch_data_idx])) # check_data_idx 表示验证集中，属性编号为 branch_attr_idx 的属性值等于 val 的项的索引
check_data_idx = np.where(check_attr_trans[branch_attr_idx] == val)[0] # check_branch_label 表示按照当前特征划分以后，被分为某一类的数据的标签
check_branch_label = check_label[check_data_idx] # 随后判断这些标签是否等于前面计算得到的类别，如果相等，则分类正确
sub_right_count += len(np.where(check_branch_label == predict_label)[0]) if sub_right_count <= right_count: # 如果划分后的正确率小于等于不划分的正确率，则剪枝
node['type'] = max_type return node
values = [] for val in np.unique(best_attr):
values.append(val)
branch_data_idx = np.where(best_attr == val)[0] if len(branch_data_idx) == 0:
new_node = {'type': np.argmax(np.bincount(label))} else: # 按照划分构造新数据，并开始递归
branch_label = label[branch_data_idx] # 哪几行branch_attr对应着上面的branch_label数组
branch_attr = np.delete(attr_trans, branch_attr_idx, axis=0).transpose()[branch_data_idx]
new_node = self.__run_build(branch_label, branch_attr,
np.delete(attr_idx, branch_attr_idx, axis=0),
pre_pruning, check_attr, check_label)
node[str(val)] = new_node
node['attr'] = attr_idx[branch_attr_idx]
node['type'] = max_type
node['values'] = values return node # 后剪枝
# node: 当前进行判断和剪枝操作的结点
# check_attr: 用于验证的数据属性集
# check_label: 用于验证的数据标签集
def __post_pruning(self, node, check_attr, check_label):
check_attr_trans = check_attr.transpose() if node.get('attr') is None: # attr 为 None 代表叶节点
return len(np.where(check_label == node['type'])[0])
sub_right_count = 0
for val in node['values']:
sub_node = node[str(val)] # 找到当前分支点中，数据属于 idx 这一分支的数据的索引
idx = np.where(check_attr_trans[node['attr']] == val)[0] # 使用上述数据，从子节点开始新的递归
sub_right_count += self.__post_pruning(sub_node, check_attr[idx], check_label[idx]) if sub_right_count <= len(np.where(check_label == node['type'])[0]): for val in node['values']: del node[str(val)] del node['values'] del node['attr'] return len(np.where(check_label == node['type'])[0]) return sub_right_count # 根据构建的决策树预测结果
# data: 用于预测的数据，维度为M
# return: 预测结果
def predict(self, data):
node = self.__root while node.get('attr') is not None:
attr = node['attr']
node = node.get(str(data[attr])) if node is None: return None
return node.get('type') # 以文本形式（类JSON）打印出决策树
def print_tree(self):
print(self.__root)（二）Main.py
import DecisionTreeimport numpy as npif __name__ == '__main__':
print('正在准备数据并种树……')
file = open('Data/car.data')
lines = file.readlines()
raw_data = np.zeros([len(lines), 7], np.int32) for idx in range(len(lines)):
raw_data[idx] = np.array(lines[idx].split(','), np.int32)
file.close() #np.random.shuffle(raw_data)
data = raw_data.transpose()[0:6].transpose()
label = raw_data.transpose()[6] # tree_no_pruning = DecisionTree.Tree(label, data, None)
# tree_no_pruning.print_tree()
# tree_pre_pruning = DecisionTree.Tree(label, data, 'Pre')
# tree_pre_pruning.print_tree()
tree_post_pruning = DecisionTree.Tree(label, data, 'Post')
tree_post_pruning.print_tree()
test_count = len(label) // 3
test_data, test_label = data[0:test_count], label[0:test_count]
times_no_pruning, times_pre_pruning, times_post_pruning = 0, 0, 0
print('正在检验结果（共 %d 条验证数据）' % test_count) for idx in range(test_count): # if tree_no_pruning.predict(test_data[idx]) == test_label[idx]:
# times_no_pruning += 1
# if tree_pre_pruning.predict(test_data[idx]) == test_label[idx]:
# times_pre_pruning += 1
if tree_post_pruning.predict(test_data[idx]) == test_label[idx]:
times_post_pruning += 1
#print('【未剪枝】：命中 %d 次，命中率 %.2f%%' % (times_no_pruning, times_no_pruning * 100 / test_count))
#print('【预剪枝】：命中 %d 次，命中率 %.2f%%' % (times_pre_pruning, times_pre_pruning * 100 / test_count))
print('【后剪枝】：命中 %d 次，命中率 %.2f%%' % (times_post_pruning, times_post_pru
作者：海天一树X
链接：https://www.jianshu.com/p/67405df35651
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