数据结构（十一）：最短路径(Bellman-Ford算法)-原创手记-慕课网

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最短路径是指连接图中两个顶点的路径中，所有边构成的权值之和最小的路径。之前提到的广度优先遍历图结构，其实也是一种计算最短路径的方式，只不过广度遍历中，边的长度都为单位长度，所以路径中经过的顶点的个数即为权值的大小。

最短路径中不能包含负权回路，因为每次经过负权回路，路径的权值会减少，所以这种情况下不存在最短路径。有些图结构中会存在负权边，用于表达通过某条途径可以降低总消耗，在有向图中，负权边不一定会形成负权回路，所以在一些计算最短路径算法中，负权边也可以计算出最短路径；在无向图中，负权边就意味着负权回路，所以无向图中不能存在负权边。后续的所有讨论都设定图中不存在负权回路的情况。

松弛函数

对边集合 $E$ 中任意边，以 $w(u,v)$ 表示顶点 $u$ 出发到顶点 $v$ 的边的权值，以 $d[v]$ 表示当前从起点 $s$ 到顶点 $v$ 的路径权值

若存在边 $w(u,v)$ ，使得：

$d[v] \gt d[u]+w(u,v)$

则更新 $d[v]$ 值：

$d[v]=d[u]+w(u,v)$

所以松弛函数的作用，就是判断是否经过某个顶点，或者说经过某条边，可以缩短起点到终点的路径权值。

为什么将缩短距离的操作称之为“松弛”，不妨理解为，选择某种方式后，到达目的的总代价降低了。什么名字无关紧要，不必纠结。

松弛函数代码示例

def releax(edge, distance, parent):    if distance[edge.begin - 1] == None:
        pass
    elif distance[edge.end - 1] == None or distance[edge.end - 1] > distance[edge.begin - 1] + edge.weight:
        distance[edge.end - 1] = distance[edge.begin - 1] + edge.weight
        parent[edge.end - 1] = edge.begin - 1
        return True    return False

distance 列表存储从起点到当前顶点的路径权值，parent 列表存储到当前顶点的前驱顶点下标值。初始 distance 列表和parent 列表元素皆为 None，表示路径权值为无穷大，处于不可达状态。

松弛函数执行次数

以对边集合 $E$ 中每条边执行一次松弛函数作为一次迭代，接下来判断需要执行多少次迭代，可以确保计算出起点到每个顶点的最短距离。

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digraph

以图 digraph 为例，各顶点之间边的长度如图中所示。以 $d[v]$ 表示起点 $s$ 到顶点 $v$ 的距离，以 $\delta(s,v)$ 表示起点 $s$ 到顶点 $v$ 的最短路径权值，以 $p=\langle v_0,v_1,...,v_k \rangle$ 表示从顶点 $v_0$ 到顶点 $v_k$ 的路径。初始情况 $d[a]=0$ ， $d[v]=\infty ,v \in V - \{a\}$

从 digraph 图中可以明显发现，若已知 $d[b]$ ，则对边 $w(b,c)$ 执行松弛函数后，即可更新 $d[c]$ 的值。若已更新 $d[c]$ 的值，则对边 $w(c,d)$ 执行松弛函数后，即可更新 $d[d]$ 的值。

最好情况下分析：

若遍历松弛的边顺序为： $w(a,b),w(b,c),w(c,d)$ ，其他两条边 $w(a,c),w(a,d)$ 顺序无影响

第一次迭代：

对边 $w(a,b)$ 执行松弛函数，则 $d[b]=d[a]+w(a,b)=1$
对边 $w(b,c)$ 执行松弛函数，则 $d[c]=d[b]+w(b,c)=3$
对边 $w(c,d)$ 执行松弛函数，则 $d[d]=d[c]+w(c,d)=8$

因为图结构比较简单，所以可以直接由观察得知，经过第一次迭代，即得出从起点到各个顶点的最短路径权值。

最坏情况下分析：

若遍历松弛的边顺序为： $w(c,d),w(b,c)$ 或 $w(b,c),w(c,d)$ ，其他三条边 $w(a,b),w(a,c),w(a,d)$ 顺序无影响

第一次迭代：

对边 $w(c,d)$ 执行松弛函数，则 $d[d]=\infty$
对边 $w(b,c)$ 执行松弛函数，则 $d[c]=\infty$
对边 $w(a,b)$ 执行松弛函数，则 $d[b]=d[a]+w(a,b)=1$
对边 $w(a,c)$ 执行松弛函数，则 $d[c]=d[a]+w(a,c)=6$
对边 $w(a,d)$ 执行松弛函数，则 $d[d]=d[a]+w(a,d)=10$

第一次迭代，有三条边起到了松弛的效果，直观的可以看出 $d[b]=\delta(a,b)$ ，第一次迭代可以获得经过一个顶点的最短路径，路径为 $p=\langle a,b \rangle$

第二次迭代：

对边 $w(c,d)$ 执行松弛函数，则 $d[d]=10$
对边 $w(b,c)$ 执行松弛函数，则 $d[c]=d[b]+w(b,c)=3$
对边 $w(a,b)$ 执行松弛函数，则 $d[b]=1$
对边 $w(a,c)$ 执行松弛函数，则 $d[c]=6$
对边 $w(a,d)$ 执行松弛函数，则 $d[d]=10$

第二次迭代，有一条边起到了松弛的效果，直观的可以看出 $d[c]=\delta(a,c)$ ，第二次迭代可以获得经过两个顶点的最短路径，路径为 $p=\langle a,b,c \rangle$

第三次迭代：

对边 $w(c,d)$ 执行松弛函数，则 $d[d]=d[c]+w(c,d)=8$
对边 $w(b,c)$ 执行松弛函数，则 $d[c]=3$
对边 $w(a,b)$ 执行松弛函数，则 $d[b]=1$
对边 $w(a,c)$ 执行松弛函数，则 $d[c]=6$
对边 $w(a,d)$ 执行松弛函数，则 $d[d]=10$

第三次迭代，有一条边起到了松弛的效果，直观的可以看出 $d[d]=\delta(a,d)$ ，第三次迭代可以获得经过三个顶点的最短路径，路径为 $p=\langle a,b,c,d \rangle$ ，路径如下图所示：

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迭代次数分析：

为了方便后续讨论，对于顶点 $v$ ，若已确定 $d[v]=\delta(s,v)$ ，即已确定从起点到该顶点的最短路径权值，这里不妨称该顶点 $v$ 为已确认顶点。后续以路径长度表示从起点到顶点 $v$ 的路径上，经过的顶点个数。例如，对于路径 $p=\langle s,v_1,v_2,v \rangle$ ，路径权值为 $d[v]$ ，路径长度为 3。

通过前面的示例过程可以推论：

若图中存在未确认的顶点，则对边集合的一次迭代松弛后，会增加至少一个已确认顶点

推论的意思是指，对图中顶点的确认，是以一种波纹扩散的方式进行的，这里增长的扩散半径是指路径中已确认顶点的个数，而不是路径的权值，并且路径中不包含未确认顶点。

注意路径长度和路径权值并无绝对关系，例如若 $\delta(s,v_1)$ 的最短路径为 $p_1=\langle s,v_1 \rangle$ ， $\delta(s,v_2)$ 的最短路径为 $p_2=\langle s,v_1,v_2\rangle$ ，虽然 $p_2$ 的路径长度大于 $p_1$ ，但是 $\delta(s,v_2)$ 的权值并不一定大于 $\delta(s,v_1)$ 。例如上图中，若边 $w(b,c)$ 的权值为 -2 而不是 2，则 $\delta(a,c)$ 的值为 -1，而不是 3，即路径 $\langle a,b,c \rangle$ 的权值要小于路径 $\langle a,b \rangle$ 。

推论证明

初始情况下，只有起点 $s$ 属于已确认顶点，根据邻接表记录，若起点存在相邻顶点，则对边集进行一次迭代松弛后，会增加至少一个已确认顶点。

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反证说明：

若一次迭代后，起点 $s$ 的所有相邻顶点都仍处于未确认状态，即一次迭代后，对于任意相邻顶点 $v$ ，存在 $d[v] \gt \delta(s,v)$ 。

则对于任意由起点 $s$ 出发到相邻顶点 $v_i$ 的路径 $p_i=\langle s,v_i \rangle$ ，存在由起点 $s$ 出发经过相邻顶点 $v_j$ 到达顶点 $v_i$ 的路径 $p_j=\langle s,v_j,...,v_i \rangle$ ，使得路径 $p_j$ 的权值小于路径 $p_i$ 的权值，即可以减小 $d[v_i]$ 的值。

若 $j = i$ ，则 $p_j=\langle s,v_i,...,v_i \rangle$ ，路径 $p_j$ 的权值小于路径 $p_i$ 的权值，说明路径 $\langle v_i,...,v_i \rangle$ 权值为负数，即图中存在负权回路，与讨论背景不符，如下图所示。

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若 $j \neq i$ ，对于路径 $p_j=\langle s,v_j,...,v_i \rangle$ 中的 $\langle s,v_j \rangle$ 部分，因为对于任意相邻顶点 $v$ ，存在 $d[v]>\delta(s,v)$ ，所以同样存在由起点 $s$ 出发经过相邻顶点 $v_k$ 到达顶点 $v_j$ 的路径 $p_k=\langle s,v_k,...,v_j \rangle$ ，使得路径 $p_k$ 的权值小于路径 $\langle s,v_j \rangle$ 的权值，更新路径 $p_j$ 为 $p_j=\langle s,v_k,...,v_j,...,v_i \rangle$ 。如此重复，若起点 $s$ 的相邻顶点不为无穷多，则必然在某一时刻，更新路径 $p_j$ 为 $p_j=\langle s,v_i...,v_k,...,v_j,...,v_i \rangle$ ，使得路径 $p_j$ 的权值小于路径 $p_i$ 的权值，即图中存在负权回路，与讨论背景不符，如下图所示。

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所以对于初始状态的起点 $s$ 而言，执行一次迭代后，至少会增加一个已确认顶点。

一般性的，当图中已经存在一个或多个已确认顶点时，即图处于任意一种状态，若图中尚存在未确认顶点，则执行一次迭代后，会增加至少一个已确认顶点。

证明过程与上面类似，使用下图作为辅助说明：

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example

作者：zhipingChen
链接：https://www.jianshu.com/p/b876fe9b2338