首先得知道什么是二叉搜索树：二叉搜索树又叫做有序二叉树、排序二叉树，是指一颗空树或者具有下列性质的树：
①若任意节点的左子树不为空，则左子树上所有结点的值均小于它根节点的值
②若任意节点的右子树不为空，则右子树上所有结点的值均大于它根节点的值
③任意结点的左、右子树也是二叉搜索树
④所有结点的值均不相同
假设n个结点上的值由1，2，...，n构成，则搜索二叉树按照中序遍历输出的结果是就是1、2、...、n。
设num(a)表示有a个结点时搜索二叉树有多少种可能，则
Ⅰ.当头结点的值为1时，左子树为空，右子树上有a - 1个结点，右子树的搜索二叉树个数为num(a - 1)
Ⅱ.当头结点的值为i(1 < i < n)时，左子树由结点1—i-1构成，右子树由结点i+1—n构成；左子树的搜索二叉树个数为num(i-1),右子树的搜索二叉树个数为num(n - i);此时搜索二叉树总的个数为num(i - 1) * num(n - i)
Ⅲ.当头结点的值为a时，右子树为空，左子树上有a - 1个结点，左子树的搜索二叉树个数为num(a - 1)
所以，a个结点时搜索二叉树的个数上述三个步骤的和。
从步骤Ⅱ可以看出来，这种算式与斐波拉契数列非常相似，那就直接用动态规划计算，时间复杂度为O(n^2)
Java实现
package Leetcode;/* *@author: David *@Time: 2018年4月27日下午9:10:38 *@Description: *Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1 ... n?*/public class BST_num { //TIME : O(n^2) private static int Solution(int n) { if (n < 2) return 1; int[] num = new int[n+1]; num[0] = 1; for(int i = 1;i < n + 1;i++){ for(int j = 1;j < i+1 ;j++){ num[i] += num[j - 1] * num[i - j]; } } return num[n]; } public static void main(String[] args){ int n = 3; System.out.println(Solution(n)); }}
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