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从150盏灯这道奥数题说起......

jackyBu
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前几天(本文写于2016.11.13),成都9岁学生纠错奥赛名题这篇文章在网上爆红。
本文不关注神童之类的新闻,仅仅从计算机实现的角度来验证题目正确性。

题目描述(需求描述):

150盏亮着的电灯,各有一个拉线开关控制,按顺序编号为1,2,3,…,150。将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下,再将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下,拉完后亮着的灯数为__盏。

使用暴力穷举法来获得正确答案:

为了简单期间,我们可以将150盏灯缩小10倍,变为15盏灯,这样就很容易用暴力穷举法来标记出灯的最终结果:
图片描述

答案:

第一遍拉灭3的倍数,15÷3=5个
第二遍拉灭5的倍数,15÷5=3个

重点!!!
问题就出在第二遍上,第二遍真的拉灭3个灯吗,不对!!!

算出3和5的公倍数有15÷(3×5)=1个,就是说第二次的时候,有1盏(15号)灯是第一次拉灭的,第二次再拉是不是又亮了呢?

那么第二次实际上是拉灭了2盏灯(5号灯,10号灯),同时拉亮了1盏(15号灯),那么最后是多少灯亮着呢?

15-5-2+1=9盏

通过上面的缩小10倍,暴力穷举后,你会发现正确的答案!

然后再扩大10,就知道90是正确答案!

这道题目,目的是考察公倍数相关知识,只是饶了几个圈。

提炼关键点(需求分析)

  1. 150盏灯,按顺序1-150编号,初始处于亮着的状态,每个灯有两种状态变化:亮/暗(开关变量)。
    由上面这句话,我们可以提炼出一个数据结构 Light,具有两个关键的属性,具体见下面代码:

    struct Light
    {
    int index; //第一个属性,index表示当前灯的编号
    int isOn;  //第二个属性,isOn表示当前灯是不是亮着
    
    //构造函数
    Light() 
    {
             index = 0;  //初始化时候,编号为0,后面代码会设置到底是哪个编号
             isOn  = 1; //根据题意,初始化时候,所有灯是属于亮着状态,因此设置为1,表示灯亮着,如果isOn为0,表示灯暗着
    }
    };
  2. 将编号为3的倍数的灯的拉线各拉一下,再将编号为5的倍数的灯的拉线各拉一下。
    1) 在计算机代码中,我们如何来表示整除这个概念呢?
    很简单,用c语系的%符号,该符号表示取模操作(或叫取余操作)。
    例如: 15%5 = (15-3*5) = 0 表示余数为0,则15被5整除,而15整除5。
          15%4 = (15-3*4)=3 表示余数为3,有余数情况下,就没有整除和被正处的概念

    所以,使用计算机代码表示整除,我们可以使用条件语句加取模操作来表示:

    int x = 15; //int 是c关键词,表示整数(包括自然数和负数)
    if((x % 5) == 0) //如果 x%5 的结果为0
    {
    //则说明x能被5整除
    //下面就进行结果处理
    }
    else 
    {
    //否者不能被5整除
    //你可以处理不能被5整除的情况,也可以不处理
    //如果不处理else状态,那么你可以将else{}这段代码全部不写,就当作什么都不发生
    }

    2) 在计算机代码中,我们如何表示开关状态?
    两种方式:

    //条件语句,繁琐
    int onoff = 1; //0表示关,1表示开,初始化,onoff = 1表示开
    //markA:
    if(onoff == 1) //如果onoff ==1 ,说明是开的情况下
    {
        onoff = 0; //则把他关闭
    }
    else //否则onoff == 0,说明是关的情况
    {
        onoff = 1; //则把他打开
    }

    你会发现使用条件判断方式,很繁琐,而且不高效。这时候我们可以引入c语系的一个经典的操作符^(异或操作)
    由于开关操作表示的状态就是0(关)/1(开),那么我们很容易使用异或来表示开关

    int onoff = 1; //0表示关,1表示开,初始化,onoff = 1表示开
    onoff ^= 1; // 表示如果onoff=1,则变为0, 如果onoff=0,则变为1
    //只要这么一句话,就相当于上面的markA下所有条件判断代码,你会发现,真是少写了很多代码,而且相当具有美感

    有了上面这些基础知识,我们就很容易写出代码来通过计算机程序进行验证

代码实现:

#define LIGHTCOUNT 150

int main()
{
    //分配150个灯的内存,初始化时候,isOn为true,说明灯是亮着
    Light lights[LIGHTCOUNT];

    //将150个灯进行编号,index = [1-150]
    for (int i = 0; i < LIGHTCOUNT; i++)
    {
        lights[i].index = i+1;
    }

    //遍历150个灯,凡是能被3整除的(%取模操作=0),则将标记变量进行异或操作(x^1表示,如果x为0,则变为1,如果x为1,则变为0,经典的开关变量)
    for (int i = 0; i < LIGHTCOUNT; i++)
    {
        if ((lights[i].index) % 3 == 0)
        {
            lights[i].isOn ^= 1; //由于初始化都是亮着,所以能被3整除的灯,异或后,变为关状态
        }
    }

    //遍历150个灯,凡是能被5整除的(%取模操作=0),则将标记变量进行异或操作(x^1表示,如果x为0,则变为1,如果x为1,则变为0,经典的开关变量)
    for (int i = 0; i < LIGHTCOUNT; i++)
    {
        if ((lights[i].index) % 5 == 0)
        {
            lights[i].isOn ^= 1;
        }
    }

    //到上面代码,凡是inOn = 1的,表示灯开着,否者关闭,我们来输出计数器,看看有多少灯是亮着的

    int count = 0; //计数器初始化为0个

    //遍历150个灯,凡是isOn = 1的话,则计数器加1,并且打印出亮着的灯的索引号以及isOn状态(此时,肯定isOn = 1)
    for (int i = 0; i < LIGHTCOUNT; i++)
    { 
        if (lights[i].isOn)
        {
            count++;
            if(count % 3 == 0)
               printf("亮着的灯的索引号:%03d 状态:%d\n", lights[i].index, lights[i].isOn);
            else
               printf("亮着的灯的索引号:%03d 状态:%d    ", lights[i].index, lights[i].isOn);
        }
    }

    //最后打印出到底还有多少灯亮着
    printf("一共有多少个灯亮呢? 答案是:%d\n", count);

    getchar();
    return 0;
}

运行一下代码:

图片描述

我们将150盏灯:

#define LIGHTCOUNT 150

改为15盏灯:

#define LIGHTCOUNT 15

运行一下代码:

图片描述

由此,我们用c语言验证了这道题目。

在这段简单的代码中,涉及了c语言程序的大部分基本核心要素:

struct定义了数据结构Light以及两个属性(成员变量)
任何程序语言,总归能用三种类型的语句来解决任何变成问题:

for ---> 循环语句
if   ---> 条件语句
除此之外的语句,称为顺序语句

天道循环,不出这三种语句。上亿行的操作系统,几十行的简单程序,都是由这三种语句组合而成。

由此可见,c语言是简单,强大的语言,特别适合三年级及以上的学生学习
由:

1、例如 struct/for/if/int 等32个固定的关键词
2、3大语句(循环语句,条件语句以及顺序语句)
3、例如 + - * / % > == < ^... 几十个操作符

组合而成。

c语言绝对是开拓思维的好工具。

当思维练习在纸上做的时候, 那叫奥林匹克数学!
当思维联系用计算机做的时候,那叫信息奥林匹克!

拿了奥数杯赛好名次,小升初有加分
拿了信息奥林匹克,清华北大就直接抢,最后都成了微软,谷歌,facebook的菜。

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